SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) 2 x + y = x − y = Khơng dùng máy tính, giải phương trình: Q=( x +2 x −2 x +1 − ) ; x > 0, x ≠ x + x +1 x −1 x 2.Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên lớn Câu (2.0 điểm) 1.Cho phương trình x − ( m + 1) x + m − = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm tích chúng Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y = − x + điểm A(2, 2) a) Chứng tỏ điểm A thuộc đường thẳng (d ) b) Tìm a để parabol (P) : y = ax qua điểm A Với giá trị a tìm xác định tọa độ điểm B giao điểm thứ hai (d ) ( P) c) Tính diện tích tam giác OAB Câu (1,5 điểm) Tam giác vng có cạnh huyền 13cm , diện tích 30cm Tính độ dài cạnh góc vng Câu (3,5điểm) Từ điểm S ngồi đường trịn (O ) kẻ hai tiếp tuyến SB,SC (B,C tiếp điểm) cát tuyến cắt (O ) D E (D nằm S E) Qua B kẻ đường thẳng song song với DE cắt đường tròn (O ) điểm thứ hai A BC AC cắt DE F I a)Chứng minh: SIC = SBC b) Chứng minh điểm S,B,O,I,C nằm đường tròn c)Chứng minh FI FS = FD.FE d) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) M n (M thuoccj cung nhỏ AB) Đường thẳng NF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh điểm S,K,M thẳng hàng Câu (1.0 điểm) Cho số a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c + + ≥ b+c−a a+c−b a+b−c - Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2,0 điểm) 2 x + y = x − y = Khơng dùng máy tính, giải phương trình: Q=( x +2 x −2 x +1 − ) ; x > 0, x ≠ x + x +1 x −1 x 2.Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên lớn Lời giải x + y = 2 x + y = x − y = x = ⇔ ⇔ ⇔ x − y = x − y = 12 11 y = − 11 y = − Ta có Vậy nghiệm hệ phương trình : ( x; y ) = (2; −1) a) Với x > 0, x ≠ 1, ta có Q=( x +2 x −2 x +1 x +2 x −2 x +1 − ) = − ) x + x +1 x −1 x ( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x = ( x + 2)( x − 1) − ( x + 1)( x − 2) x + ( x − 1)( x + 1) x = x x +1 2 = = ( x − 1)( x + 1) x ( x − 1)( x + 1) x − x − với x > 0, x ≠ 1, Vậy b) Theo yêu cầu toán x ∈ Z Q ∈ Z nên x − 1∈ U(2) ⇒ x − ∈ { − 2; −1;1; 2} ⇒ x ∈ { − 1;0; 2;3} Kết hợp với điều kiện suy x ∈{2,3} Q= -Với x = ⇒ Q = -Với x = ⇒ Q = Vậy số nguyên x thỏa mãn đê Q đạt giá trị lớn x = Câu (2.0 điểm) 1.Cho phương trình x − (m + 1) x + m − = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm tích chúng Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d ) : y = − x + điểm A(2, 2) a) Chứng tỏ điểm A thuộc đường thẳng (d ) b) Tìm a để parabol (P) : y = ax qua điểm A Với giá trị a tìm xác định tọa độ điểm B giao điểm thứ hai ( d ) ( P) c) Tính diện tích tam giác OAB Lời giải m −1 1, a + b + c = + [ − ( m + 1)] + m − = 1.Nhận thấy nên phương trinh có nghiệm Khơng tính tổng qt giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 , theo u cầu tốn ta có x1 − x2 = x1.x2 m −1 m −1 m −1 x1 = 1, x2 = ⇒ 1− = ⇔m=2 2 +Nếu m −1 m −1 m −1 x2 = 1, x1 = ⇒ −1 = ⇔0=2 2 + Nếu khơng có giá trị m thỏa mãn Vậy m = giá trị cần tìm 2.a) Thay x = 2, y = vào phương trình đường thẳng (d)ta = −2 + (luôn đúng) A ∈ (d ) = a.22 ⇔ a = b) Thay x = 2, y = vào phương trinh (P) ta có 1 a= ( P) : y = x 2 ta phương trình Với Phương trình hồnh độ giao điểm (d ), ( P) x = 2 x = − x + ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 2)( x + 4) = ⇔ x = −4 Suy hoành độ điểm B x = −4 toaaj độ điểm B(−4;8) a= B (−4;8) Vậy với Thay x = vào phương trình đường thẳng (d) ta y = + = ,suy giao điểm với trục Oy với (d) có tọa độ I (0, 4) Biểu diễm điểm A,I,B lên mặt phẳng tọa độ Oxy ta hình vẽ Gọi H,K hình chiếu B,A lên Oy ta có BH = 4, A K = 2, OI = 1 1 S∆OAB = S∆OBI + S ∆OAI = BH OI + AK OI = 4.4 + 2.4 = 12 2 2 Ta có (đvdt) Câu (1,5 điểm) Tam giác vng có cạnh huyền 13cm , diện tích 30cm Tính độ dài cạnh góc vng Lời giải Gọi x,y cạnh góc vng, điều kiên < x, y < 13 60 xy = 30 ⇔ x = (1) y Vì diện tích tàm giác vng 30cm nên ta có 2 2 Vì tam giác vng có cạnh huyền 13 nên ta có phương trình x + y = 13 (2) 60 x + ( )2 = 132 ⇔ x − 169 x + 3600 = 0(*) x Thay (1) vào(2) ta u = 144 u − 169u + 3600 = ⇔ u2 = 25 Đặt u = x , u > phương trình (*) trở thành 60 u = 144 ⇒ x = 144 ⇒ x = 12 ⇒ y = = 12 Với (do x > ) 60 u = 25 ⇒ x = 25 ⇒ x = ⇒ y = = 12 Với (do x > ) Vậy độ dài hai cạnh góc vng 5(cm) 12(cm) Câu (3,5 điểm) Từ điểm S ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến SB,SC (B,C tiếp điểm) cát tuyến cắt (O ) D E (D nằm S E) Qua B kẻ đường thẳng song song với DE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai A BC AC cắt DE F I a)Chứng minh: SIC = SBC b) Chứng minh điểm S,B,O,I,C nằm đường tròn c)Chứng minh FI FS = FD.FE d) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) M n (M thuoccj cung nhỏ AB) Đường thẳng NF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh điểm S,K,M thẳng hàng Lời giải Ta có SBC góc tạo tia tiếp tuyến BS dây cung BC chắn cung BDC nên SBC = 1 sd BDC = ( BKD + DC ), (1) 2 Vì SIC góc có đỉnh nằm bên đường tròn nên SIC = ( AE + DC )(2) Vì DE song song với AB nên suy SBK = AE (3) Từ (1),(2),(3) suy SIC = SBC b) Tứ giác SBIC có SIC = SBC suy tứ giác SBIC nội tiếp suy bốn điểm S;I;B;C (4)cùng nằm đường trị Ta có SB,SC tiếp tuyến đường tròn nên SBO = SCO = 90o ⇒ SBO + SCO = 180o ⇒ tứ giác SCOB nơi tiếp đường trịn suy S,C,B,O thc đường trịn (5) Từ(4),(5) suy năm điểm S,I,B,C,O nằm đường tròn c) Xét ∆FSC ∆FBI ta có SCP = IBF ( tứ giác SCIB nội tiếp) SFC = BFI (đ đ) nên ∆FSC : ∆FBI ( g − g ) ⇒ SF FC = ⇔ FI FS = FB.FC (6) FB FI Xét ∆FCD ∆FEB ta có DCF = BEF ( tứ giác BDCE nội tiếp) DFC = BFE (đ đ) nên ∆FCD : ∆FEB( g − g ) ⇒ FD FC = ⇔ FD.FE = FB.FC (7) FB FE Từ (6),(7) suy FI FS = FD.FE (8) d) Xét ∆FDK ∆FNE ta có FDK = FNE ( tứ giác DNEK nội tiếp) DFK = NFE (đ đ) nên ∆FDK : ∆FNE ( g − g ) ⇒ FD FN = ⇔ FD.FE = FK FN (9) FK FE Từ (8),(9) suy FK FN = FI FS FS FK = ( FD.FE = FI FS ) Xét ∆FKS ∆FIN ta có SEK = NFI (dd ) FN FI Suy ∆FKS : ∆FIN ( g − g ) ⇒ SKF = NIF hay SKN = SIN (10) Theo câu b ta có điểm S , I , B, O, C nằm đường tròn nên tứ giác SIOB nội tiếp o o o suy SBO = 90 ⇒ SIO = 90 ⇒ SIN = 90 (11) o Từ (10), (11) suy SKN = 90 hay NK ⊥ SK (12) o Ta có dây cung DE không qua tâm O mà OI ⊥ DE ( SIO = 90 ) ⇒ MN đường kính đường o tròn (O) ⇒ MKN = 90 hay MK ⊥ NK (13) Từ (12),(13) suy S,K,M thẳng hàng Câu (2,5 điểm) Cho số a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c + + ≥ b+c−a a+c−b a+b−c Lời giải b + c − a = x > a + c − b = y > ⇒ a = y + z , b = x + z , c = x + y a + b − c = z > a b c + + b + c − a a + c − b a + b − c Đặt y+z x+z x+ y y x x z y z A= + + = [( + ) + ( + ) + ( + )] ≥ (2 + + 2) = 2x 2y 2z x y z x z y Khi y x x z y z = , = , = ⇒ x = y = z ⇒ a = b = c Dấu “=” xảy x y z x z y A= Vậy A ≥ dấu “=” xảy a = b = c tức tam giác cho tam giác