BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Lê Thị Ngọc Quỳnh PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà[.]
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− Lê Thị Ngọc Quỳnh PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− Lê Thị Ngọc Quỳnh PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐINH NHO HÀO Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Đinh Nho Hào Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 11 năm 2020 Học viên Lê Thị Ngọc Quỳnh LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đinh Nho Hào, người trực tiếp hướng dẫn tìm hướng nghiên cứu Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cơ, anh chị, bạn bè Viện Tốn học giúp đỡ, góp ý tạo điều kiện q trình học tập, nghiên cứu để tơi thực tốt luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 11 năm 2020 Học viên Lê Thị Ngọc Quỳnh Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức sở 2 Phương pháp bình phương tối thiểu 11 2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu phương trình tốn tử số tính chất 12 2.2 Phân tích giá trị kỳ dị 21 2.2.1 Toán tử compact 21 2.2.2 Phổ toán tử compact tự liên hợp 23 2.2.3 Phân tích giá trị kỳ dị 30 2.3 Tiêu chuẩn Picard 36 Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu 40 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị cho ma trận 40 3.2 Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu khơng gian hữu hạn chiều 50 3.3 Ứng dụng phân tích kỳ dị nghiên cứu toán ngược 54 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 MỞ ĐẦU Giải tích số hay cịn gọi phương pháp số mơn khoa học thuộc lĩnh vực Tốn ứng dụng, nhằm mục đích nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ, toán tối ưu, Trong việc giải gần nghiệm phương trình, tơi xin đề cập luận văn phương pháp bình phương tối thiểu cho việc giải hệ phương trình tuyến tính Bình phương tối thiểu tuyến tính kỹ thuật để xấp xỉ nghiệm gần cho hệ phương trình tuyến tính với kiện khơng xác ứng dụng rộng rãi thống kê Hệ phương trình trường hợp xét thường hệ mà có số phương trình lớn số biến Các tốn bình phương tối thiểu chia thành hai loại: bình phương tối thiểu tuyến tính bình phương tối thiểu phi tuyến Trong luận văn này, nghiên cứu phương pháp bình phương tối thiểu cho hệ phương trình tuyến tính Cụ thể là, chúng tơi tập trung trình bày cách hệ thống số tính chất nghiệm bình phương tối thiểu, phương pháp phân tích giá trị kỳ dị số ứng dụng đại số tuyến tính giải tốn ngược Luận văn chia làm ba chương sau: Chương 1: Chương nhắc lại số định nghĩa, định lý tính chất quan trọng Giải tích hàm phục vụ cho luận văn Chương 2: Nội dung phần trình bày định nghĩa, tính chất nghiệm bình phương tối thiểu, nghịch đảo suy rộng chứng minh tiêu chuẩn Picard, có mối liên hệ quan trọng với phương pháp bình phương tối thiểu việc phân tích giá trị kỳ dị Chương 3: Trong chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu đại số tuyến tính tốn ngược CHƯƠNG Một số kiến thức sở Trong chương trình bày số khái niệm tính chất quan trọng Giải tích hàm để hỗ trợ cho phần sau Một số tính chất định lý khác chưa đề cập chương chúng tơi nêu cách xen kẽ chương Định nghĩa 1.0.1 [1], [2] Cho không gian vectơ X trường K = R Một ánh xạ cho k.k : X → K, x 7→ kxk gọi chuẩn X thỏa mãn tính chất sau: (i) kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ X (ii) kαxk = |α|kxkvới x ∈ X , α ∈ K (iii) kxk ≥ với x ∈ X kxk = x = Khi khơng gian vectơ X với chuẩn gọi không gian định chuẩn Hơn nữa, không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy (dãy Cauchy) X hội tụ tới điểm X , hay nói cách khác X không gian định chuẩn đầy đủ Định nghĩa 1.0.2 [1], [2] Cho không gian vectơ X trường K (K = R C) Một ánh xạ cho h.i : X × X → K, (x, y) 7→ hx, yi gọi tích vơ hướng X thỏa mãn tính chất sau (i) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ X (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ X (iii) hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ X α ∈ K (iv) hx, xi ≥ với x ∈ X hx, xi = x = Một không gian vectơ X trường K với tích vơ hướng X gọi khơng gian tiền Hilbert Từ ta có định nghĩa khơng gian Hilbert khơng gian tiền Hilbert mà đồng thời không p gian Banach với chuẩn kxk = hx, xi, ∀x ∈ X Định nghĩa 1.0.3 [1], [2] Một tập M không gian metric X gọi compact dãy M chứa dãy hội tụ tới điểm thuộc M Từ ta có tính chất: tập compact khơng gian metric đóng hồn tồn bị chặn, mệnh đề ngược chưa đúng, ví dụ đơn giản hình cầu đóng khơng gian định chuẩn vơ hạn chiều khơng compact Tập M gọi compact tương đối (hay tiền compact) bao đóng compact Nói cách khác, M gọi compact tương đối dãy M chứa dãy hội tụ không gian X Tập M gọi hoàn toàn bị chặn với ε > cho trước, tồn phủ gồm hữu hạn hình cầu mở (Si ) với bán kính ε chứa M Và ta có tính chất tập hồn tồn bị chặn bị chặn Định lý 1.0.4 [1] Định lý Heine-Borel: Một tập M không gian metric X gọi compact phủ mở M chứa phủ hữu hạn chứa M Chứng minh Giả sử M có tính chất Heine-Borel Xét dãy (xn ) ⊂ M Với k = 1, 2, , kí hiệu Ak = {xn : n ≥ k} Cho Ak bao đóng T Ak Gk = X \ Ak Với tập hữu hạn I ⊂ {1, 2, }, rõ ràng k∈I Ak 6= S S T ∅, k∈I Ak 6= ∅, X \ k∈I (X \ Ak ) = X \ k∈I Gk 6= ∅, tức hợp tập mở Gk (k ∈ I ) không phủ X Vì điều với họ hữu hạn {Gk , k ∈ I} nên theo tính chất Heine-Borel họ phủ M Vậy phải có x 6∈ Gk = X \ Ak , tức x ∈ Ak ∀k = 1, 2, Từ dễ dàng suy dãy (xnk ) hội tụ Thật vậy, với k , x ∈ Ak nên hình cầu tâm x bán kính 1/k phải chứa xnk ∈ (xn ) Ta có d(xnk , x) ≤ 1/k → k → ∞ Vậy M compact Để chứng minh phần đảo, giả sử M compact có phủ mở {Gα } không chứa phủ hữu hạn Ta lấy dãy số dương εn → Vì M compact nên phủ số hữu hạn hình cầu bán kính ε1 Trong số hình cầu phải có hình cầu, giả sử S1 cho T M1 = M S phủ số hữu hạn tập Gα (nếu khơng M phủ số hữu hạn tập Gα ) Tập M1 compact (vì tập đóng tập compact) nên phủ số hữu hạn T hình cầu bán kính ε2 , số có cái, giả sử S2 cho M2 = M1 S phủ số hữu hạn tập Gα Tập M2 compact nên phủ số hữu hạn hình cầu bán kính ε3 Tiếp tục thế, T ta thu dãy hình cầu Sn tập Mn = Mn−1 S n (n = 1, 2, ) Ta lấy tập Mn điểm xn Dĩ nhiên Mn ⊂ Mn−1 ⊂ ⊂ M nên xn ∈ M M compact nên có dãy (xnk ) hội tụ tới điểm x0 ∈ M Ta có x0 ∈ Gα0 Gα0 mở nên có hình cầu K tâm x0 nằm trọn Gα0 Gọi r bán kính K , ta chọn k0 đủ lớn