Sáng kiến kinh nghiệm sử dụng hằng đẳng thức hệ thức vi ét đảo, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

UỶ BAN NHÂN DÂN HUYỆN ĐAN PHƯỢNG TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ HỆ THỨC VI- ÉT ĐẢO RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI Lĩnh vực/ Môn: Toán Cấp học: THCS Tên Tác giả: Nguyễn Thị Lộc Đơn vị công tác: Trường THCS Lương Thế Vinh Chức vụ: Giáo viên NĂM HỌC 2021-2022 1/15 RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI  I/ ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài: * Qua năm giảng dạy ở trường THCS Tôi nhận thấy rằng các em học sinh, nhất là lớp phải chịu nhiều áp lực việc thi cử vào các trường chuyên, trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức bản không thể thiếu đó là chương thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính Phần lớn các em không làm được bài, bởi vì các em chưa nhận thấy được các biểu thức đã cho có liên quan đến một kiến thức rất quan trọng là hằng đẳng thức (hệ thức VI-ÉT đảo) mà các em đã được học ở lớp 8, Xuất phát từ tình hình đó, qua những năm giảng dạy và học hỏi ở đồng nghiệp, rút được một số kinh nghiệm cho bản thân để có thể truyền dạy cho các em những kiến thức bản để có thể giải quyết được vấn đề khó khăn ở Chính vì vậy mới chọn đề tài "Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai " Đối tượng phạm vi nghiên cứu: * Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 9C trường THCS Lương Thế Vinh năm học 2021 – 2022 * Đề tài được thực hiện các giờ luyện tập, ôn tập, ôn thi vào lớp 10 về giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa thức và thực hiện phép tính có chứa Kết khảo sát đầu học kì lớp 9C chưa thực đề tài: Sĩ số Số 47 47 Giỏi Khá Trung bình 12 (26%) 15 (31%) 20 (43%) Yếu Kém 0 II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 1) Cơ sở lý luận vấn đề: Ở các kì thi học kì I, học kì II, ôn thi vào lớp 10, vào các trường chuyên, học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính có chứa thức bậc hai Muốn giải được bài tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập 2/15 2) Cơ sở thực tiễn vấn đề: Cái khó ở là các em học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp viết dưới dạng biểu thức chứa chữ, không có chứa căn, mà ở lớp bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn Vì vậy ta phải làm cho học sinh nhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp và hằng đẳng thức lớp để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó vào việc giải bài tập Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỹ bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp (theo thứ tự): 1) Bình phương một tổng : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2) Bình phương một hiệu : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 3) Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) Lập phương một tổng : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lập phương một hiệu : (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) Tổng hai lập phương : a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) 7) Hiệu hai lập phương : a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) Biết vận dụng nó để đưa những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp (theo thứ tự) viết dưới dạng có dấu : *Chú ý : +a;b>0 + Hằng đẳng thức số 4; ở lớp ít được sử dụng ở lớp 9, nên không đưa vào phần ghi nhớ ở lớp Khi làm được điều này học sinh sẽ có cứ để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai 3) Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề: Trong phần này sẽ trình bày hai nội dung chính : 3/15 A/ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC , RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI : * Sách giáo khoa lớp và sách bài tập, tập đưa rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai sau : Bài tập 64 (sgk trang 33) : Chứng minh các đẳng thức sau : a) Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : tương tự hđt (hằng đẳng thức) số ; lớp Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái : Giải Đến ta lại thấy xuất hiện hđt : tương tự hđt số lớp Tiếp tục biến đổi ta được kết quả : với a+b >0 Nhận xét : a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 hđt số lớp Áp dụng vào bài toán ta biến đổi vế trái : Giải Bài 65 (sgk trang 34): Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với , biết : 4/15 Nhận xét : ; có dạng đẳng thức Áp dụng vào bài toán: Giải Bài 75 (sgk trang 41): Chứng minh các đẳng thức sau Nhận xét : Hai câu gồm có các hđt số & lớp : Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số lớp : Giải Bài 76 (gk trang 41): Cho biểu thức a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị của Q a = 3b 5/15 Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số lớp Áp dụng vào bài toán ta rút gọn câu a: Giải Bài 85 (sbt trang 16): Cho biểu thức : a) Rút gọn P b) Tìm x để P = Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức : và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P Giải Bài 86 (sbt trang 16): Cho biểu thức : 6/15 a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị của a để Q dương Nhận xét : Sau quy đồng mẫu thức , ta thấy xuất hiện dạng hđt số lớp Giải Bài 105 (sbt trang 20): Chứng minh các đẳng thức (với a,b không âm và ) Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng đẳng thức số lớp kết hợp với quy tắc đổi dấu Áp dụng vào bài toán, biến đổi vế trái: Giải 7/15 Bài 106 (sbt trang 20): Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Khi A có nghĩa Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau : Áp dụng vào bài toán ta có lời giải: Giải Biểu thức A không phụ thuộc vào a Bài 107 (sbt trang 20): Cho biểu thức : a) Rút gọn B b) Tìm x để B = Nhận xét : Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau : Áp dụng vào bài toán ta có : Giải 8/15 Bài 108 (sbt trang 20): Cho biểu thức : a) Rút gọn C b) Tìm x cho C < -1 Nhận xét : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : Áp dụng vào bài toán ta có : Giải 9/15 Bài (sbt trang 148): Rút gọn : Nhận xét : bài toán có hđt sau : Áp dụng vào bài toán Giải Bài (sbt trang 148): Chứng minh đẳng thức Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau : Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái : Giải Bài (sbt trang 148): Rút gọn biểu thức : Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau : Áp dụng vào bài toán ta có lời giải : Giải 10/15 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH Bài : Rút gọn Nhận xét : bài toán cho có hằng đẳng thức : Áp dụng vào bài toán ta có : Giải Bài : Cho biểu thức a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Trong điều kiện đó, hãy rút gọn P Nhận xét : Bài toán cho có hđt : Giải Áp dụng vào bài toán ta có : 11/15 Bài 3: Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x cho P < c) Tính giá trị của P nếu Nhận xét : Sau phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta sẽ có hđt dạng số lớp 9: Giải B/ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐẢO VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 12/15 * Bên cạnh bài toán cho rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, còn có những câu đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức biết giá trị của biến Đối với những câu yêu cầu tính mà chỉ có một dấu thức bậc hai thì không nói gì , có những câu mà ở các trường chuyên đưa lại có những biểu thức chứa chồng Gặp trường hợp này đòi hỏi học sinh phải biết cách đưa biểu thức về lũy thừa bậc chẳn (thường viết dưới dạng bình phương) để khai phương Muốn làm được điều đó , cần phải biết vận dụng thành thạo định lí đảo VI-ÉT (tìm hai số biết tổng và tích) và hằng đẳng thức (bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu) Sau đưa một vài ví dụ đơn giản, để từ đó học sinh nắm bắt được cách làm để áp dụng vào bài toán Ví dụ : Rút gọn : Nhận xét : Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức : dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu lớn Để làm được điều này ta làm các bước sau : Bước : Làm thế nào đó biến đổi trước dấu nhỏ phải có thừa số (bài toán đã cho ) Bước : Tìm hai số biết tổng bằng và tích bằng => hai số đó là: và Bước : Ta lấy bậc hai của từng số vừa tìm được ở bước 2, rồi viết chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu lớn) Chú ý : + Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau : " Nếu hai số a & b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai : X2 – SX + P = " Điều kiện tồn tại hai số a & b là : Có thể cho học sinh giải nhẩm hoặc gặp trường hợp khó thì dùng máy tính casio fx-570 để giải phương trình bậc hai tìm hai số a & b cho nhanh + Khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trị dương (số bị trừ lớn số trừ) để khai phương, khỏi phải dùng dấu giá trị tuyệt đối Áp dụng các bước vào ví dụ, ta có lời giải sau : Giải Ví dụ : bài tập 15 (sbt trang 5, tập 1): Chứng minh 13/15 Nhận xét : Trước dấu nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu lớn có thừa số đều khác ( ), vì vậy ta phải biến đổi chúng sau ( dùng phương pháp đưa thừa số vào dấu ): Bước : Bước : a) Tìm hai số biết tổng bằng , tích bằng 20 => hai số đó là: và (dùng máy tính casio fx-500 giải phương trình : ) b) Tìm hai sớ biết tởng bằng 23 , tích bằng 112 => hai số đó là: 16 và Bước : Lấy bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu lớn) Giải Ví dụ : Chứng minh đẳng thức (bài 98 sbt trang 18 tập 1) Nhận xét : Trước dấu nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu lớn có thừa số ( ) vì vậy ta phải biến đổichúng sau: Nhân tử mẫu cho Bước : Bước : Tìm hai số biết tổng bằng 4, tích bằng => hai số đó là và Bước : Lấy bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu lớn) Giải 14/15 Ba ví dụ lấy phía là ba trường hợp mà chúng ta thường gặp Tùy theo từng loại bài, ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, bản là biết vận theo ba bước ở là ta có thể giải quyết được rất nhiều bài dạng vậy Sau là một số bài tập sách giáo khoa và một số bài các kì thi tuyển vào lớp 10 mà chỉ giải dựa vào ba bước đã phân tích ở để giải, không phải làm chi tiết theo từng mục ở Bài 21 (sbt trang 6): Rút gọn biểu thức Bài 100 (sbt trang 19): Rút gọn biểu thức : * Còn rất nhiều bài tập mà ta có thể sử dụng hằng đẳng thức hoặc hệ thức VI-ÉT đảo để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính thức bậc hai Những bài tập đưa ở đã được chọn làm đề thi, để cho các em học sinh nhận thấy được tầm quan trọng của hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ thức VI-ÉT đảo, qua đó các em có thể biết cách học và cách áp dụng vào việc rèn luyện giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai và thực hiện phép tính có dấu Mục đích của nội dung này là nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường mà hiện có chiều hướng xuống bởi vì một số em chưa nắm bắt được kiến thức bản và chưa biết cách vận dụng kiến thức vào làm bài tập III/ KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ: Kết luận: a) Đối với học sinh: - Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuất phát từ đâu gặp một số bài mà đã trình bày ở Nguyên nhân chính ở là các em chưa thuộc hằng đẳng thức hoặc có thuộc thì chỉ thuộc lòng, không biết cách vận dụng chúng thế nào để giải bài tập dạng nêu Chính vì vậy phần lớn các em rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính có chứa dấu không đến kết quả cuối cùng - Sau áp dụng đề tài nhận thấy rằng các em bắt đầu hiểu và biết cách áp dụng chúng một cách triệt để Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được 15/15 bài tăng lên rõ rệt Sau là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai và thực hiện phép tính có chứa dấu căn: Giỏi Kết quả điểm kiểm tra Khá Trung Yếu bình Kém Thời gian Áp dụng đề tài Đầu học kì Chưa áp dụng 26% 31% 43% 0 Cuối học kì Đã áp dụng 40% 38% 22% 0 Học kì Đã áp dụng 60% 33% 7% 0 b) Đối với thân: Qua việc áp dụng đề tài nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều khâu phải giải bài tập cho học sinh (phần lớn các em giải không được) mà kết quả đem lại không được nhiều, giáo viên phải làm việc nhiều học sinh, học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau sử dụng đề tài này thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện kiến thức và biết áp dụng chúng, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện Khuyến nghị: Để nâng cao nghiệp vụ giảng dạy cho thân đồng nghiệp, nâng cao kết học tập học sinh, tơi có số ý kiến đề xuất sau: - Nhà trường cần cung cấp thêm số tài liệu tham khảo, đồ dùng dạy học mơn tốn Bộ Giáo Dục; tạo sở vật chất tốt để thầy trị dạy học cơng nghệ thơng tin thuận lợi - Bộ phận chuyên môn nhà trường phân chun mơn phịng giáo dục thường xuyên tổ chức lớp chuyên đề để giáo viên có điều kiện trau dồi, tích luỹ kinh nghiệm, nâng cao nghiệp vụ chuyên môn Trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hòa vào không khí thi đua đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, xin góp một số kinh nghiệm của mình để trao đổi với các đồng nghiệp, mục đích là nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường Bài viết chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý của đồng nghiệp để đề tài được áp dụng rộng rãi học sinh Xin chân thành cảm ơn! 16/15 Đan Phượng, ngày 20 tháng năm 2022 Người viết: NGUYỄN THỊ LỘC