II Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết I PHẦN MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Đối với học sinh lớp 6, trong chương I "Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên", sau 17 tiế[.]
Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết I PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Đối với học sinh lớp 6, chương I "Ôn tập bổ túc số tự nhiên", sau 17 tiết ôn tập bổ túc tập hợp số tự nhiên phép tính tập hợp đó, chương trình tiếp tục với tiết tính chất chia hết tổng dấu hiệu chia hết Thực Tiểu học học sinh học dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, nhờ bảng chia chưa học tính chất chia hết tổng nên chưa đủ sở lý luận để giải thích dấu hiệu chia hết Các hạn chế khắc phục lớp Trong chương I, dấu hiệu chia hết cho 2, cho học sinh học bài; dấu hiệu chia hết cho 3, cho vậy, nhờ vừa giảm số tiết học, vừa làm bật nét chung hai dấu hiệu chia hết Tuy với tiết bố trí song kiến thức trang bị có mơt ý nghĩa lớn chúng làm sở cho việc trình bày tiếp thu nhiều kiến thức sau như: số nguyên tố - Hợp số, ƯC-BC, ƯCLN-BCNN, rút gọn, quy đồng so sánh, cộng trừ phân số lớp 6; phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng mẫu thức lớp Mặt khác góp vai trị quan trọng việc nghiên cứu đa thức, phân thức môn đại số lớp sau Phần kiến thức có ý nghĩa đặc biệt trang bị cho học sinh phương pháp tư có hệ thống, logic chặt chẽ, giúp học sinh phương pháp suy luận từ dự đoán -> chứng minh, từ phân tích -> tổng hợp, từ cụ thể -> khái quát Mở rộng khả đào sâu suy nghĩ, phát vận dụng vấn đề có liên quan Rèn luyện khả sử dụng ngơn ngữ xác, bồi dưỡng phát triển lực tư duy, óc linh hoạt, tính độc lập sáng tạo bước đầu hình thành thói quen tự học, tự nghiên cứu, biết diễn đạt xác, khoa học ý tưởng hiểu ý tưởng người khác Chương trình Số học góp phần giúp học sinh chủ động khám phá kiến thức Khai thác kiến thức áp dụng vào việc hoàn chỉnh toán liên quan việc xây dựng quy trình suy luận có lý xuất phát từ điều biết để đến kết cuối GV: Bùi Thị Nga -1- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết 1.2 Tính cần thiết đề tài Trong q trình giảng dạy tơi thấy có nhiều vấn đề nảy sinh: Học sinh lớp tiếp cận với phương pháp suy luận cụ thể, giải toán đơn lẻ Suy luận logic hạn chế ảnh hưởng đến lực tiếp thu mở rộng kiến thức học sinh trung bình, Đối với học sinh giỏi em có nhu cầu tìm hiểu kiến thức cao song sách giáo khoa chưa đáp ứng (sách giáo khoa dừng kiến thức bản) Sử dụng kiến thức em giải tập ứng dụng đơn Đối với tập địi hỏi có suy luận phát triển hầu hết học sinh gặp khó khăn Vì em thường trình bày khơng rõ ràng, giải thích thiếu hệ thống vấn đề Ví dụ: Học sinh gặp nhiều lúng túng giải tập: Chứng minh rằng: Với n N số 5n - hay chứng minh số gồm 27 chữ số chia hết cho 27 Mặt khác sau chương I, học sinh lại tiếp tục làm việc với toán chia hết (ước bội) số nguyên Vậy làm để vừa sử dụng tốt kiến thức vừa khai thác sâu chúng để phát triển, mở rộng theo hệ thống chặt chẽ giúp học sinh phát huy tích cực, chủ động tìm tịi vận dụng sáng tạo vào việc giải tập có nội dung liên quan, đồng thời dễ dàng tiếp thu kiến thức Số học mênh mông! Kiến thức vơ tận! Trong phạm vi đề tài tơi trình bày số kinh nghiệm thân "Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết" Hy vọng kiến thức giúp đỡ phần cho em trình vươn lên chinh phục đỉnh cao kiến thức nhân loại 1.3 Mục đích nghiên cứu đề tài Dựa sở khoa học thực tiễn giảng dạy, để góp phần nâng cao chất lượng dạy học giảng dạy tơi ln có ý thức tìm biện pháp thích hợp hiệu cách: - Khắc sâu kiến thức mở rộng phát triển từ biết: Tính chất chia hết tổng, dấu hiệu chia hết, sau khai thác hướng dẫn cho học sinh phát tính chia hết có liên quan đến kiến thức GV: Bùi Thị Nga -2- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết - Hướng dẫn học sinh phân loại dạng tập khác liên quan đến chia hết giải chúng nào? Từ xây dựng lời giải hoàn thiện hệ thống tư logic chặt chẽ với mục đích học sinh xây dựng phương pháp tư tích cực học tốn giải tốn Từ em phấn khởi tự tin hình thành thói quen phân tích tổng hợp học toán 1.4 Đối tượng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 4.2 Phạm vi nghiên cứu: Trong lớp 6A1, 6A2 - Trường THCS Mạo Khê 4.3 Thời gian nghiên cứu: năm (2008 - 2010) 1.5 Đóng góp mặt lý ln thực tiễn Mơn số học thực lĩnh vực có nhiều hấp dẫn từ số quen thuộc, đơn giản Song chúng tạo giới đầy bí ẩn có sức thu hút kỳ diệu Nghiên cứu nó, ta thấy có nhiều tính chất hay, quy luật đẹp đến bất ngờ Vì thơng qua tập liên quan đến tính chất chia hét, giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học tập Đồng thời rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh II PHẦN NỘI DUNG II.1 Thực trạng vấn đề II.1.1 Sơ lược trường THCS Mạo Khê Trường THCS Mạo Khê II có 1018 học sinh chia làm 28 lớp theo khối 6,7,8,9 khối lớp Những vấn đề lớn nhà trường quan tâm trì chất lượng đại trà hàng năm đạt: Tốt nghiệp 99 - 100% Lên lớp 98% giữ vững chất lượng mũi nhọn - 10% học sinh đạt học sinh giỏi cấp hàng năm Năm học 2008 - 2009 học sinh giỏi cấp huyện có 43 em (lớp 9); Tỉnh có 21 em (lớp 9) Giữ vững nề nếp kỷ cương dạy học, tăng cường hoạt động giáo dục quản lý học sinh đặc biệt đưa nội dung dạy pháp luật có chất lượng Thực tốt số chuyên đề lớn giáo dục - dân số - mơi trường phịng chống ma tuý Phấn đấu theo hiệu nhà trường “Một địa tin cậy GV: Bùi Thị Nga -3- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết nhân dân khu vực” Do với nhiệm vụ đáp ứng nhu cầu bậc học trung học sở khu trung tâm thị trấn phấn đấu đạt chuẩn quốc gia giai đoạn ngành Nhà trường phải tăng cường sở vật chất: đến năm 2015 tăng 100% số phòng học (28 lớp), đủ phịng thiết bị mơn Tiếp tục bồi dưỡng chuẩn hoá đội ngũ giáo viên đạt 50% đại học 2015 Tích cực thực đổi phương pháp dạy học và tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin đáp ứng việc đổi chương trình THCS Bộ II.1.2 Một số thành tựu đạt được: Sau giảng dạy tính chất chia hết tổng dấu hiệu chia hết, HS hai lớp 6A1, 6A2 vận dụng thành thạo tính chất dấu hiệu chia hết vào giải tập có liên quan Đặc biệt HS làm diễn đạt xác, có nhiều cách giải hay, lập luận logic, hợp lý em hăng hái xây dựng bài, tạo học thoải mái, tiếp thu kiến thức cách nhẹ nhàng, từ giúp em thêm yêu mơn Tốn bước đầu hình thành khả vận dụng kíên thức tốn học vào đời sống môn khoa học khác II.1.3 Một số tồn nguyên nhân Học sinh lớp 6A1, 6A2 học lực khơng đồng đều, cịn số học sinh chưa chăm học: Trong lớp cịn hay nói chuyện, ghi không đầy đủ, lười học làm tập Một số em hổng kiến thức từ cấp 1, gia đình thiếu quan tâm đơn đốc, mải chơi => kết học tập chưa cao II.1.4 Vấn đề đặt GV cần giúp học sinh suy đoán, suy diễn, hoạt động tư để dẫn đến tính chất chia hết, từ học sinh vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, vào tình cụ thể hoạt động giải tốn Rèn luyện tư linh hoạt sáng tạo: tìm thêm cách giải khác chọn cách giải tối ưu Nghiên cứu khả ứng dụng kết hay phương pháp cho toán khác, đề xuất toán II.2 Áp dụng giảng dạy II.2.1 Các bước tiến hành Qua khảo sát chất lượng đầu năm học, thu kết sau: Lớp GV: Bùi Thị Nga SS Nữ Giỏi Khá -4- TB Yếu Kém Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết 6A1 43 23 39.5% 45.9% 7.6% 7% 6A2 39 22 53.3% 28.9% 15.3% 2.5% II.2.2 Bài dạy minh hoạ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa: Cho số tự nhiên a; b (b 0) ta nói a chia hết cho b tồn số tự nhiên q cho a = b.q 1.2 Các tính chất 1.2.1 Tính chất chung: 1.2.1.1 Bất số khác chia hết cho 1.2.1.2 Số chia hết cho số khác 1.2.1.3 Tính chất bắc cầu: a b b c a c 1.2.2 Tính chất chia hết tổng hiệu: 1.2.2.1 a m; b m => a + b * Hệ quả: Nếu a + b 1.2.2.2 a / m; b m; a - b m a m b m => a + b m (a b) m / m; a - b / m (a b) 1.2.2.3 Tính chất chia hết tích + Nếu a m => ab + Nếu b m b * Hệ quả: Nếu a m n => ab b an mn bn 1.3 Một số dấu hiệu chia hết: 1.3.1 n Chữ số tận n chẵn => n : dư r => n = 2k + r (k 1.3.2 n N), r = 0;1 Chữ số tận n => n : dư r => n = 5k + r (k N), r = 0;1;2;3;4 1.3.3 n 1.3.4 n 25 1.3.5 n Số tạo ba chữ số tận n chia hết cho 1.3.6 n 2k Số tạo k chữ số tận n chia hết cho 2k 1.3.7 n 5k Số tạo k chữ số tận n chia hết cho 5k GV: Bùi Thị Nga Số tạo hai chữ số tận n chia hết cho Số tạo hai chữ số tận n chia hết cho 25 -5- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết 1.3.8 n Tổng chữ số n chia hết cho 1.3.9 n Tổng chữ số n chia hết cho n => n 1.3.10 n Điều ngược lại không 11 Tổng Tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ có hiệu chia hết cho 11 NỘI DUNG CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHIA HẾT 2.1 BÀI TỐN VỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG: 2.1.1 Ví dụ 1: Cho A = 51n + 47102 ( n N) Chứng tỏ A 10 * Hướng dẫn: Mấu chốt toán học sinh phải nắm số chia hết cho 10 Trong trường hợp muốn chứng tỏ A 10 ta cần giải theo hướng tìm chữ số tận A Bài tốn trở tốn dạng: Tìm chữ số tận A Nếu A có chữ số tận chứng tỏ A 10 Ta có: 51n có tận 47102 = 47100 472 = (474)25.472 = ( => A = + ).( có tận A ) 0= số có tận 10 Cho A = + 22 + 23 + +220 2.1.2 Ví dụ Tìm chữ số tận A * Hướng dẫn: Bài tốn thuộc loại tốn tìm chữ số tận tổng luỹ thừa nên ta phải xét xem tổng có đặc điểm gì? Tìm chữ số tận cách nào? * Lời giải: Bài tập có nhiều cách giải, song nên hướng dẫn học sinh theo hai cách sau: * Cách 1: A = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + +28)+ +(217 + 218+219+220) = (2 + 22 + 23 + 24) + (1 + 24 + +216) = 30(1 + 24 + +216) Mà 30 10 => A 10 => A có tận * Cách 2: A = + 22 + 23 + +220 GV: Bùi Thị Nga -6- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết => 2A = 22 + 23+ + 221 2A - A = 221 - A = 221 - = (24)5.2 - A = 165.2 - = - = số có tận * Nhận xét: Bản chất dạng tốn: Tìm chữ số tận cùng, giải thơng qua tính chất chia hết Hai tốn có u cầu ngược nhau: Để có chia hết phải tìm chữ số tận ( Ví dụ 1) Để biết chữ số tận phải xét tính chia hết (ví dụ 2) Tuy nhiên chất hai toán xác định chữ số tận Để thành thạo loại toán đòi hỏi học sinh phải xác dịnh chữ số tận luỹ thừa, tích từ định hướng cách giải 2.2.3 Bài tốn tương tự 2.2.3.1 - Cho A = 119 + 118 + 117 + + 11 + Chứng minh A chia hết cho * Hướng dẫn: Tìm chữ số tận A cách nhóm số hạng chứng minh A có tận nên chia hết cho 2.2.3.2 Chứng minh rằng: n N n2 + n + /5 * Hướng dẫn: Lưu ý n2 + n = n(n+1), tích số tự nhiên liên tiếp tận 0; 2; => n2 + n + tận 6; 8; 2.2.3.3 Chứng tỏ rằng: 175 + 244 - 1321 /5 10 * Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 2.2 BÀI TỐN VỀ SỐ NGUN TỐ Ngồi tính chất nêu trên, với kiến thức số nguyên tố, nguyên tố ta cần ý thêm số tính chất chia hết sau: 1) Nếu tích chia hết cho số nguyên tố p tồn thừa số tích chia hết cho p * Hệ quả: an+ 2) Nếu ab p => a p m ; (b,m) = => a m 2.2.1 Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n cho 18n + * Hướng dẫn: GV: Bùi Thị Nga -7- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết * Cách 1: 18n + 14n + 4n + 4n + 4n + - 4n -7 7 4(n - 1) Vậy n = 7k + (n * Cách 2: 7 Do (4;7) = nên n - N) 18n + 18n + - 21 18n -18 18(n -1) Do (18;7) = => n = 7k + ( k N) Đây tập khơng khó Nó khắc sâu cho học sinh tính chất chia hết có tổng (hiệu) mối quan hệ số nguyên tố, số nguyên tố - Việc thêm bớt bội hai cách giải nhằm đến tốn chia hết cho mà hệ số n 2.2.2 Ví dụ 2: Cho a + 4b 13 ( a, b * Hướng dẫn: Đặt N) Chứng minh : 10a + b 13 (1) * Cách 1: Từ (1) => => 10x - y = 39b => 10 x - y 13 13 mà x 13 => y 13 hay 10a + b 13 * Cách 2: Từ (1) => => 4y - x = 39a Do x 13 => 4y 13 13 13 Do (4;13) = => y 13 (đpcm) * Cách 3: Xét: 3x + y = 2(a+4b) + 10a + b = 13a + 13b = 13(a + b) Như vậy: 3x + y Do x 13 => 3x GV: Bùi Thị Nga 13 13 13 -8- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết * Cách 4: Xét x + 9y = a + 4b + (10a+b) = 91a + 13b = 13(7a + b) Do x 13 => 9y 13 mà (9;13) = => y 13 13 * Nhận xét: Trong cách giải ta đưa toán mà sau rút gọn có số hạng bội 13; số hạng thứ hai (nếu có) bội 13 Hệ số a x 1; hệ số a y 10; nên xét toán 10x - y nhằm tạo hệ số a 13 Hệ số b x 4; hệ số b y nên xét toán 4y - x nhằm khử b, xét toán x + 9y nhằm tạo hệ số b 13 Bài tốn giải cách khác nhờ việc chọn hệ số phù hợp 2.2.3 Ví dụ 3: Chứng minh p số nguyên tố lớn (p-1)(p+1) 24 * Hướng dẫn: Giáo viên gợi mở học sinh thông qua câu hỏi: 1) p số nguyên tố lớn chẵn hay lẻ? 2) Từ suy p - p + số chẵn hay lẻ? 3) Hai số chẵn liên tiếp chia cho có đặc điểm gì? Tích chúng có chia hết cho khơng? Cụ thể: Ta có (p-1)p(p+1) nên (p-1)(p+1) mà (p;3) = (1) p số nguyên tố lớn nên p số lẻ => p -1 p + số chẵn liên tiếp Trong số chẵn liên tiếp có số chia hết tích chúng chia hết cho (2) Do (3;8) = Từ (1) (2) => (p-1)(p+1) Hay (p-1)(p+1) 3.8 24 2.3 BÀI TOÁN VỀ ƯCLN, BCNN Trên sở kiến thức SGK chia hết, ƯC-BC, ƯCLN-BCNN, thực tế tơi cung cấp thêm cho học sinh tính chất sau: * Nếu a m a n => a * Nếu ƯCLN (a,b) = d GV: Bùi Thị Nga BCNN(m,n) a', b' N/a = da' ; b = db'; (a',b') = -9- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết 2.3.1 Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên b biết chia 326 cho b dư 11; cịn chia 553 cho b dư 13 * Hướng dẫn: Mấu chốt toán chỗ: giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi đưa phép chia có dư chia hết Sau dẫn dắt đến phương pháp làm: b có quan hệ với 315; 540? Tìm ƯC? * Cách giải: 326 chia cho b dư 11 => 326 - 11 = 315 b (b > 11) 553 chia cho b dư 13 => 553 - 13 = 540 b (b + 13) => b ƯC(315;540) với b > 13 ta tìm ƯCLN (315;540) = 45 => ƯC(315;540) = ƯC(45) = {1;3;5;9;15;45} => b {1;3;5;9;15;45} Do b > 13 => b {15;45} Bài tốn có hai đáp số 2.3.2 Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84; ƯCLN chúng * Hướng dẫn: Giáo viên gợi mở Giả sử hai số a,b (a b) ƯCLN (a;b) = Mối quan hệ a b với 6? Hãy thiết lập mối tương quan a b với 84? Cụ thể: Gọi số a b (a b) Ta có: (a,b) = nên: với (a',b') = 1; (a',b',a,b N; a' b') Do a + b = 84 => 6(a'+b') = 84 => a'+b' = 14 Lập bảng xét trường hợp Sau chọn cặp số a',b' nguyên tố có tổng 14 (a' b'), ta được: a' b' 13 11 a 18 30 b 78 66 54 Do 2.3.3 Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên biết: ƯCLN chúng 15 BCNN chúng 300 GV: Bùi Thị Nga -10- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết * Hướng dẫn: Giống trên: Giáo viên hướng dẫn học sinh: - Tạo hai số cần tìm ? ƯCLN chúng 15 suy điều gì? ? Quan hệ ƯCLN BCNN? * Cách giải: Gọi số phải tìm a, b (a b) Ta có (a,b) = 15 nên a = 15a'; b=15b' (a' bvà ('a',b')=1) Do đó: ab=[a,b].(a,b) = 300.15 = 4500 ab = 225 a'b' => a'b' = 20 Lập bảng xét trường hợp Ta chọn trường hợp: a' b' 20 Do a 15 60 b 300 75 * Nhận xét: Trong cách giải này: Giáo viên củng cố thêm cho học sinh tính chất: ab = ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) Với học sinh đại trà yêu cầu công nhận công thức, với học sinh giỏi giáo viên hướng dẫn để học sinh chứng minh cụ thể Loại tốn địi hỏi học sinh thật nhuần nhuyễn kiến thức chia hết, số nguyên tố, nguyên tố nhau, ƯCLN, BCNN, mối quan hệ ƯC-ƯCLN BC - BCNN từ giải tốn 2.3.4 Bài tốn tương tự 2.3.4.1 Tìm hai số biết hiệu chúng 90 ƯCLN chúng 105 2.3.4.2 Tìm hai số tự nhiên biết tích chúng 8748 ƯCLN chúng 27 2.3.4.3 Tìm hai số tự nhiên biết tích chúng 2940 BCNN chúng 210 * Hướng dẫn: Cách làm ví dụ 2.3.2 2.3.4.4 Tìm số tự nhiên a nhỏ có chữ số chia cho 11 dư 5, chia cho 13 dư * Hướng dẫn: Phân tích suy cách làm ví dụ 2.3.1 (song liên quan đến BCNN) 2.4 BÀI TỐN VỀ TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN TRONG BIỂU THỨC: GV: Bùi Thị Nga -11- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết 2.4.1 Ví dụ 1: Tìm số x, y N cho: (3x - 2)(2y-3) = * Hướng dẫn: Giáo viên rõ cho học sinh thấy biến đổi vế trái cách áp dụng việc nhân phá dẫn đến biểu thức vơ phức tạp, việc giải tốn để tìm x, y khó khăn chí đến bế tắc Giáo viên gợi mở cho học sinh sau: 1) (3x-2) (2y-3) có quan hệ với 1? 2) Nhận xét thừa số (2y - 3) * Cách giải: x, y N => (3x - 2)(2y-3) ước Trong N số có ước Nên có bảng sau: 3x - 2y - x y Vậy có cặp số thoả mãn * Nhận xét: Dưới phân tích hướng dẫn giáo viên toán tương đối đơn giản song thực tế dạy học tốn có tốn phức tạp Chẳng hạn: 2.4.2 Ví dụ 2: Tìm x, y N biết: (x+1)(2y-5) = 143 * Hướng dẫn: Như ví dụ 2.4.1 * Cách giải: x, y N => 2y - x + ước 143 (y > ) ƯC (143) = {1;11;13;143} Mặt khác 2y - số lẻ => 2y - {11;13;143} Lập bảng 2y-5 11 13 143 y 74 x 12 10 Nhận xét Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Vậy có cặp số (x,y) thoả mãn là: GV: Bùi Thị Nga -12- ; ; Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết * Nhận xét: Với dạng tốn tập số N cịn mở rộng tập số nguyên Z Cách làm tương tự Song có số tập phức tạp địi hỏi người học sinh phải linh hoạt, sáng tạo để tìm hướng giải không dễ rơi vào bế tắc 2.4.3 Bài tập tương tự 2.4.3.1 Tìm số x, y N cho: a) (2x+1)(y-3) = 10 b) (x+1)(2y-1) = 12 c) (x-3) = y(x+2) d) x + = y(x-1) Riêng phần c, d ta phân tích theo cácch khác sau: x+6 = y(x-1) => x + x - => x - + => Ư(7) x - => x - 2.4.3.2 Tìm x, y x-1 Z biết: a) (x+2)(y-3) = b) (x+1)(xy-1) = 2.5 BÀI TỐN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHÂN SỐ CĨ GIÁ TRỊ NGUYÊN * Hướng dẫn: Nhìn chung, dạng tốn khó đói với học sinh đại trà giảng dạy phần áp dụng cho học sinh giỏi Sau số ví dụ minh hoạ 2.5.1 Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị số nguyên * Hướng dẫn: Đối với tập yêu cầu học sinh hiểu chất phân số = a : b ( b khác 0) Vậy để Z phép chia a : b (b khác )) có đặc biệt? Suy học sinh phải kết luậnđược : a b ( b khác 0) * Cách giải: Để phân số A có giá trị số ngun tử phải chia hết cho mẫu GV: Bùi Thị Nga -13- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết Ta có: 3n - n+4 => 3(n + 4) - 17 => 17 n+4 n + Do n + Ư(17) = { Ư(17) } Ta có nhận xét: n + 4 n N => n + nhận giá trị 17 Ta có: n + = 17 => n = 13 (thoả mãn) Vậy với n = 13 phân số A có giá trị số ngun 2.5.2 Ví dụ 2: Tìm n N để phân số có giá trị số nguyên * Hướng dẫn: Ví dụ 2.5.2 giống ví dụ 2.5.1 yêu cầu, điều kiện dạng phân số Song phân số ví dụ 2.5.2 khác phân số ví dụ 2.5.1 chỗ: Biểu thức tử có hệ số n nhỏ hệ số n biểu thức mẫu Vì hiểu diễn biểu thức tử thông qua biểu thức mẫu Vậy phải làm nào? Đây khó học sinh nhiệm vụ giáo viên phải hướng dẫn * Cách giải: Để phân số có giá trị số ngun tử phải chia hết cho mẫu Ta có: n + 10 => n + 10 n-4 n - => n - Do n - 2(n - 4) n-4 => n - + 14 => 14 2n - tức n + 10 -4 (n Ư(14) Ư(14) = { N ) => n - { } } Ta có: n-4 -1 -2 14 n 11 18 Loại Loại Thoả Thoả Loại Thoả mãn mãn A Nhận xét mãn Vậy n có giá trị: n = => A = n = => A = -3 n = 18 => A = GV: Bùi Thị Nga -14- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết * Chú ý: Các giá trị n = 5;3;11 làm cho giá trị tương ứng A không số nguyên Sở dĩ phải tính giá trị A kết luận n = 6;2;18 lời giải có: n + 10 2n - => n + 10 n - mà khơng có điều ngược lại Phương pháp làm nói chung tập dạng là: biến đổi biểu thức tử thông qua biểu thức mẫu Từ tìm mối quan hệ chia hết thành phần tử mẫu Tuy nhiên trường hợp cụ thể cần linh hoạt để lựa chọn cách biến đổi cho phù hợp 2.5.3 Bài tập tương tự 2.5.3.1 Tìm giá trị nguyên n để phân số sau có giá trị số nguyên: a) ; 2.5.3.2 Tìm số nguyên n cho phân số sau đồng thời có giá trị nguyên a) ; 2.6 BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN Với dạng cần bổ sung kiến thức phân số tối giản: Nếu ( |a|, |b| ) = phân số tồn số k 2.6.1 Ví dụ 1: Cho phân số tối giản Nếu dạng tối giản | a = mk b = nk với n N, n > Các số tự nhiên n phải thoả mãn điều kiện để Q phân số tối giản? * Hướng dẫn: ta xét giá trị n để Q phân số rút gọn Gọi k ước chung lớn n -2 n + thì: => n + => k n - k => [(n+1) - (n - 2)] k k Do k > => k = GV: Bùi Thị Nga -15- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết Như n số tự nhiên cho n + chia hết cho n - chia hết cho tức n chia cho dư Q phân số rút gọn Để Q phân số tối giản phải lấy giá trị n khác giá trị n chia cho dư Tức n chia hết cho chia cho dư => n =3k n =3k =1 VD: n = n = 13 2.6.2 Ví dụ 2: Cho phân số tối giản hỏi phân số có phải phân số tối giản không? II.3 Phương pháp nghiên cứu, kết sau thực nghiệm II.3.1 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận qua đọc tài liệu tham khảo, học tập chun mơn trường, cụm, Phịng Giáo dục, Sở giáo dục đào tạo tổ chức - Tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy Bồi dưỡng học sinh giỏi thân, học hỏi, trao đổi với đồng nghiệp - Cập nhật thông tin qua mạng Internet ứng dụng CNTT vào việc soạn giáo án dạy học - Quan sát sư phạm qua dự thăm lớp hội thảo chuyên môn II.3.2 Kết nghiên cứu Với kiến thức phép chia hết dạng tập điển hình có liên quan, đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh tinh thần "Đổi phương pháp dạy học tón trường phổ thơng" dược tơi áp dụng thực nghiệm đơn vị học sinh lớp 6A1 6A2 Lớp 6A2 giảng tập theo hướng dẫn sách giáo viên, lớp 6A1 theo nội dung nghiên cứu để tài Qua kiểm tra thấy: - Học sinh lớp 6A1 hầu hết biết phân tích đề bài, xác định hướng giải, xây dựng hệ thống lập luận rõ ràng Trình bày khoa học gọn gàng, hoàn chỉnh GV: Bùi Thị Nga -16- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết - Học sinh lớp 6A2 đa số em cịn lúng túng phân tích đề đề xuất hướng giải Bài làm chưa thể tính hệ thống, cịn lủng củng, chưa hoàn thiện Kết đối chứng sau: Lớp Giỏi Khá TB Yếu Kém 6A1 32 0 Mặc dù 6A2 23 16 0 vấn đề trình bày đề tài tương đối khó với học sinh đại trà Song nội dung quan trọng chương trình số học 6, kết rõ ràng tỷ lệ học sinh giỏi lớp tăng, tỷ lệ học sinh yếu giảm rõ rệt Đặc biệt không khí học tập 6A1 hẳn lớp 6A2 Các em hăng hái số học sinh hiểu vận dụng tốt 6A1 hẳn so với 6A2 tích cực làm Đề tài áp dụng với hầu hết học sinh lớp song tuỳ đối tượng học sinh, giáo viên nên cung cấp mức độ vừa sức với học sinh + Với học sinh đại trà: Giáo viên cung cấp cho học sinh dạng 1, dạng kết hợp dạng với số tập dạng đơn giản + Với học sinh giỏi: Ngoài nội dung đề tài nên sưu tầm giới thiệu thêm cho học sinh tập mức độ khó phức tạp Như đề tài tơi hình thành việc triển khải liên quan tính chia hết với kiến thức: chữ số tận cùng, số nguyên tố, ƯCLN-BCNN, phân số tối giản phân số giá trị nguyên, tìm điều kiện bíên biểu thức Đây vấn đề thường gặp: Song thời gian nghiên cứu đề tài hạn chế nên số vấn đề liên quan mà chưa giải Ví dụ: số phương Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu vấn đề với tinh thần khai thác sâu rộng tính chia hết GV: Bùi Thị Nga -17- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ III.1 Kết luận Trên tơi trình bày xong phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết: "Trong trình bày tơi cố gắng chọn lọc kiến thức, ví dụ minh hoạ tiêu biểu đảm bảo vừa sức có sáng tạo, phát triển tư với đối tượng học sinh." Tuy nhiên thời gian hạn chế, lực cịn có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, nên nội dung đề tài không tránh khỏi hạn chế Rất mong nhận đóng góp chân tình từ bạn đồng nghiệp III.2 Kiến nghị Việc nghiên cứu đạt chất lượng cao Để việc ứng dụng đề tài rộng rãi thì: - Lượng sách tham khảo Tốn nói chung số học nói riêng cần cung cấp nhiều Sở Phòng cần tăng cường tổ chức buổi thảo luận ngoại khoá trao đổi trường, trường vấn đề liên quan để học hỏi, nâng cao chất lượng giảng dạy - Đầu tư sở vật chất, trang thiết bị dạy học Mạo Khê, ngày 20 tháng năm 2009 NGƯỜI VIẾT Bùi Thị Nga GV: Bùi Thị Nga -18- Trường THCS Mạo Khê II Phân loại hướng dẫn học sinh giải tập liên quan đến tính chia hết ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS MẠO KHÊ II PHÒNG GD - ĐT HUYỆN ĐÔNG TRIỀU GV: Bùi Thị Nga -19- Trường THCS Mạo Khê II