Đang tải... (xem toàn văn)
Theo quan sát của chúng tôi, hệ phương trình trong những kỳ thi tuyển sinh đại học gần đây theo chiều hướng khó dần lên. Nó có những bài toán không đơn giản đối với học sinh dự thi tuyển sinh đại học. Mà trong khung cấu trúc đề thi của Bộ giáo dục và Đào tạo, cũng gắn liền với việc giải bài toán này ở những câu khó hơn. Mang trong nó nhiều kỹ năng tính toán và phương pháp giải không đơn thuần như hầu hết chúng ta đã học ở hệ phương trình lớp 10. Do đó, chúng tôi viết riêng quyển sách này như một vấn đề then chốt. Những vấn đề có thể nói là chuyên đề phục vụ cho các em luyện thi tuyển sinh đại học. Cũng chính vì điều này, các hệ phương trình cơ bản, cơ sở đơn giản trước đây chúng tôi không trình bày ở đây. Chẳng hạn: Hệ phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại I đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại II đối với ẩn, Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai đối với ẩn. Mà nó được xem kẻ vào những bài toán trong tài liệu sau chúng tôi trình bày. Bởi sau khi dùng những phép biến đổi mà các em sắp được học sau thì chúng ta sẽ chuyển nó về những hệ phương trình đơn giản hơn rất nhiều mà tất cả chúng ta đều có thể giải được.
TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com - Trang - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 L I NÓI ð U Trong nh ng kỳ thi n sinh ñ i h c hàng năm H phương trình ln m t đ tài m t toán h p d n ñ i v i t ñ i ña s em luy n thi n sinh ñ i h c B i ch a nhi u k năng, tư ki n th c toán h c ði kèm v i hàng lo t nh ng phương pháp gi i, nh ng cách nhìn nh n v n đ xung quanh vi c gi i h phương trình Theo quan sát c a chúng tơi, h phương trình nh ng kỳ thi n sinh ñ i h c g n ñây theo chi u hư ng khó d n lên Nó có nh ng tốn khơng đơn gi n đ i v i h c sinh d thi n sinh ñ i h c Mà khung c u trúc ñ thi c a B giáo d c ðào t o, g n li n v i vi c gi i toán nh ng câu khó Mang nhi u k tính tốn phương pháp gi i khơng đơn thu n h u h t ñã h c h phương trình l p 10 Do đó, chúng tơi vi t riêng quy n sách m t v n ñ then ch t Nh ng v n ñ có th nói chuyên ñ ph c v cho em luy n thi n sinh ñ i h c Cũng u này, h phương trình b n, s đơn gi n trư c chúng tơi khơng trình bày Ch ng h n: H phương trình bao g m m t phương trình b c nh t phương trình b c hai đ i v i n, H phương trình đ i x ng lo i I đ i v i n, H phương trình đ i x ng lo i II ñ i v i n, H phương trình đ ng c p b c hai đ i v i n Mà đư c xem k vào nh ng toán tài li u sau chúng tơi trình bày B i sau dùng nh ng phép bi n ñ i mà em s p đư c h c sau s chuy n v nh ng h phương trình đơn gi n r t nhi u mà t t c đ u có th gi i đư c Trư ng h p b n ñ c quên khơng gi i đư c, chúng tơi khun b n nên ñ c l i nh ng ph n ñơn gi n v y ñ có th ơn t p đ luy n thi đ i h c đư c t t nh t có th Hơn n a Xuctu.com chúng tơi cho ñăng hàng ch c ñăng ñơn gi n v y Ngồi b n đ c cịn có th h c đư c nh ng cách làm thông qua nh ng Video tutorial c a tác gi -th y giáo Nguy n Qu c Tu n kênh h c toán http://www.youtube.com/user/quoctuansp Nh ng phương pháp tr ng tâm v h phương trình đư c chúng tơi chia thành Phương pháp 1: Gi i h phương trình b ng phương pháp th Phương pháp 2: Gi i h phương trình b ng phương pháp đ t n ph Phương pháp 3: Gi i h phương trình b ng phương pháp bi n thiên hàm s Phương pháp 4: Gi i h phương trình b ng phương pháp ñánh giá M i phương pháp ñ u ñư c chúng tơi trích d n l i gi i thi u Lúc dùng phương pháp đ gi i Và th n a m i lo i chúng tơi sưu t m t hàng trăm tài li u ch t lư ng toàn qu c ñ gi i thi u ñ n b n ñ c Do đó, tính bao qt c a tài li u có m c đ ng d ng luy n t p r t cao cho luy n thi n sinh ñ i h c Ch c h n, bi t ñ n quy n sách đ u có bi t nh ng Video Tutorial c a tác gi (Th y giáo Nguy n Qu c Tu n) gi ng d y Xuctu.com Do quy n sách m t s k t h p t v i dành cho quý ñ c gi s h u theo ñúng ch nhân c a Ch nhân c a mua s n ph m g c s ñư c h tr nh ng Video Tutorial hư ng d n gi i chi ti t ch phát hành cho ch nhân Do đó, tác gi khun b n nên ng h sách s h u trí tu mà website đưa B i nh ng t p mà có hư ng d n gi i khó hi u Tác gi đ u cung c p link ñ n video hư ng d n c th Cũng xin lưu ý r ng, nh ng Video Tutorial khơng đư c tác gi chia s m ng mà ch cung c p ñư ng d n cho ch nhân ði u th t quan tr ng b i n u b n khơng s h u theo trình t mà tác gi mong mu n Hu , 4-2014 http://www.xuctu.com - Trang - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 Phương pháp 1: Gi i h phương trình b ng phương pháp th Cách nh n bi t: Là lo i h phương trình mà có th dùng phương pháp phân tích đa th c thành nhân t ho c dùng phương pháp đ i n s chuy n m t hai phương trình c a h phương trình v hai ho c phương trình b c nh t Cách th c hi n: + T phương trình (1) ho c (2) c a h ta chuy n thành ña th c nh v n d ng A = B = công th c A.B = ⇔ + T phương trình (1) ho c (2) c a h phương trình Ta xem x n y tham s (ho c ngư c l i) Gi i phương trình b c hai theo tham s l i ta s đư c phương trình b c nh t m i Thay vào phương trình th hai c a h ñ gi i b ng phương pháp th BÀI T P M U CÓ L I GI I xy − y − x + = x, y ∈ ℝ 2 x − y − x − y + 22 = Bài t p m u 1: Gi i h phương trình sau Hư ng d n gi i H phương trình ñã cho tương ñương v i y − = (I ) 2 ( y − )( x − y − ) = x − y − x − y + 22 = ⇔ 2 x− y−2 = x − y − 3x − y + 22 = ( II ) x − y − 3x − y + 22 = Gi i h pt (I) (II) ta ñư c nghi m − 17 + 17 15 − 321 −1 − 321 15 + 321 −1 + 321 ; ; , ; 2, ;2, 8 8 2 x − xy − y = Bài t p m u 2: Gi i h phương trình: x, y ∈ ℝ 3 x + xy − y − x + y + = Hư ng d n gi i H phương trình chơ tương ñương v i 2 x − xy − y = x − xy + x − y = x ( x − y ) + ( x − y )( x + y ) = ⇔ ⇔ 2 2 3 x + xy − y − x + = 3 x + xy − y − x + y + = 3 x + xy − y − x + y + = x − y = (I ) 2 ( x − y )( x + y ) = 3 x + xy − y − x + y + = ⇔ ⇔ 2x + y = 3 x + xy − y − x + y + = ( II ) 3 x + xy − y − x + y + = Ta có: x − y = x = y x = y ⇔ ⇔ ⇔x= y= 2 2 3x + xy − y − 3x + y + = 3x + x − x − x − x + = 4 x − x + = http://www.xuctu.com - Trang - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 2 x + y = y = −2 x y = −2 x ⇔ ⇔ 2 2 3 x + xy − y − x + y + = 3 x − x − x − x − x + = 5 x + x − = −5 + 45 x = 10 y = −2 x −5 + 45 y = x = −5 + 45 −5 ⇔ ⇔ 10 x = −5 − 45 −5 − 45 x = 10 10 y = + 45 1 −5 + 45 −5 + 45 −5 − 45 + 45 ; ; , −5 10 10 V y h phương trình có nghi m là: ; , 2 2 2 x − xy − x + y = x, y ∈ ℝ 2 x − xy + y − x + = Bài t p m u 3: Gi i h phương trình: Hư ng d n gi i H phương trình cho tương đương v i x − y = 2 x ( x − y ) − ( x − y ) = ( x − y ) x − = ⇔ ⇔ 2 x2 − = 2 2 x − xy + y − x + = x − xy + y − x + = x − xy + y − x + = ( ) −1 + x = −1 + y = x = y x = y * ⇔ ⇔ x − xy + y − x + = x + x −1 = −1 − x = y = −1 − 5 5 2 x = x = ± * ⇔ 2 x − xy + y − x + = x − xy + y − x + = x = 2 x = x = +V i ⇔ ⇔ y = + + 24 2 12 6 y − y + − = x − xy + y − x + = y = − + 24 12 2 x = − x = − +V i ⇔ 2 x − xy + y − x + = 6 y + y + + = (VN ) http://www.xuctu.com - Trang - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 −1 + −1 + −1 − −1 − ; ; , 2 2 + + 24 − + 24 , ; ; 12 12 2 x + xy + y − 11x − 18 y + 15 = Bài t p m u 4: Gi i h phương trình: x, y ∈ ℝ x − xy + y + x − = V y h phương trình có nghi m là: Hư ng d n gi i H phương trình ñã cho tương ñương v i 2 x + xy + y − 11x − 18 y + 15 = x + ( y − 11) x + y − 18 y + 15 = (1) ⇔ 2 ( 2) x − xy + y + x − = x − xy + y + x − = Ta có bi n đ i phương trình (1): x + ( y − 11) x + y − 18 y + 15 = (1) ( ) ∆ = ( y − 11) − y − 18 y + 15 = 25 y − 10 y + = ( y − 1) 2 10 − y − y x = = ⇒ x = 12 − 12 y = − y 5− y x = ( *) 2 Do ñó ta có: x − xy + y + 3x − = x = − y x − xy + y + x − = (**) 8 Gi i h phương trình (*) (*) ta đư c nghi m c a h phương trình ( 0;1) , −5; Bài t p m u 5: 2 ( x + y ) − x + y − 13 = Gi i h phương trình: x, y ∈ ℝ 2 x + xy + y − ( x − y ) − x + y + 46 = Hư ng d n gi i u = x + y h phương trình tr thành v = x − y ð t u − v − 13 = ⇔ 2 u − v − v + 46 = 13 + v u = ⇔ 13 + v − v − v + 46 = 13 + v u = 13 + v − v − v + 92 = u = 13 + v u = v = 13 + v u = ⇔ ⇔ v = ⇔ u = 31 v + v − 105 = v = − 21 21 v = − http://www.xuctu.com - Trang - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 u = x + y = x = u = v = x − y = y = −1 V i ⇔ ⇔ ⇔ u = −3 x + y = −3 x = v = v = x + y = y = −4 31 u = V i Th c hi n tương t ta ñư c nghi m là: 21 v = − −21− 62 21− 62 −21+ 62 21+ 62 ; ; , 8 8 V y h phương trình có nghi m là: −21 − 62 21 − 62 −21 + 62 21 + 62 ; ; , 8 8 x + x3 y + x y = x + Bài t p m u 6: Gi i h phương trình: x + xy = x + ( 4; −1) , (1; −4 ) , (1) ( 2) x, y ∈ ℝ Hư ng d n gi i Phương trình (2) tương đương v i xy = 6x + − x2 thay vào phương trình (1) ta ñư c 2 x + − x2 6x + − x2 x + 2x + = x + ⇔ x + 12 x + 64 x = 2 x = ⇔ x ( x + 4) = ⇔ x = −4 Thay x = vào phương trình c a h phương trình ta th y không th a mãn 17 Thay x = −4 vào phương trình (2) ta thu đư c y = 17 V y nghi m c a h phương trình −4; 4 xy + x + y = x − y Bài t p m u 7:Gi i h phương trình x, y ∈ ℝ x y − y x −1 = 2x − y Hư ng d n gi i x ≥ Phương trình (1) tương ñương y ≥ ði u ki n: x + y = x − xy − y − ( x + y ) = ⇔ ( x + y )( x − y − 1) = ⇔ x − y −1 = V i x = − y vơ lí V i x = y + thay vào phương trình (2) c a h phương trình thu g n ta đư c ( y + 1) ( ) 2y − = ⇔ y = ⇒ x = V y nghi m c a h phương trình ( x; y ) = ( 5; ) 1+ x + 1− y = Bài t p m u 8: Gi i h phương trình: x, y ∈ ℝ x − y + y = x + y + y ( http://www.xuctu.com - Trang - ) E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 Hư ng d n gi i 1+ x + 1− y = x − y + y = x + y + y ði u ki n: y ≤ ( ) (1) ( 2) x = y T phương trình (2) c a h phương trình ta có ( x − y ) ( x + y − ) = ⇔ V i x = y thay vào phương trình (1) ta có 3 x + y − = x = y = x +1 + 1− x = ⇔ x = y = −11 ± + Do y ≤ ta có phương trình (1) x + = − − y ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x + y − ≤ −1 < Suy phương trình (2) vơ nghi m V y h phương trình có nghi m ( x; y ) = ( 0;0 ) , −11 + 3; −11 + , −11 − 3; −11 − ( )( x+ y =4 Bài t p m u 9: Gi i h phương trình: x+5 + y+5 = ) x, y ∈ ℝ Hư ng d n gi i x ≥ H hương trình dã cho tương ñương v i: y ≥ ði u ki n: x + + x + y + + y = 10 x + + x + y + + y = 10 ⇔ 5 x+5 − x + y+5 − y = x+5 + x + y+5 + y = ( ( ⇔ ) ( y + + y ) = 10 ⇔ x )( y + + y ) = 25 x+5 + x + x+5 + x+5 + x = x = ⇔ y+5 + y = y = x − y (x + y ) + = x, y ∈ ℝ x + (x + y − 2) + y = Bài t p m u 10: Gi i h phương trình: ( ) Hư ng d n gi i x − y (x + y ) + = ⇔ x + (x + y − 2) + y = x + = y(x + y ) ⇔ ( x + y )( x + y − 2) + = ( ) x + = y(x + y ) y ( x + y )( x + y − ) + y = ( Vì: y = không nghi m c a h ) x + = y(x + y ) x + = y (x + y ) ⇔ ⇔ ( x + y ) − 2( x + y ) + = ( x + y − 1)2 = 2 x + = y(x + y ) x + = y x + = − x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x + y = x + y = y = 1− x x + x = x = ∨ x = −1 ⇔ y = 1− x y = 1− x Nghi m c a h : (0 ; 1) , ( –1 ; 2) http://www.xuctu.com - Trang - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 x − x − y −1 = Bài t p m u 11: Gi i h phương trình: 2 y + x + 2y x − y x = x, y ∈ ℝ Hư ng d n gi i x ≥ Bi n đ i phương trình đ u c a h phương trình ta có x ≥ y +1 ði u ki n: x = x − y − + ⇒ y = x − y − ⇒ y ≥ ñư c ( y + ) = x Do đó, y = = x Bi n đ i phương trình dư i ta đư c x + y = y x y = Thay vào ta ñư c y − y − = ⇔ y = −1( loai ) Tính ta đư c x = V y nghi m c a h phương trình là: ( 4; ) Bài t p m u 12: 33 x −2 y − 5.6 x + 4.23 x −2 y = Gi i h phương trình: x − y = y + 2y − x ( )( 2y + x ) x, y ∈ ℝ Hư ng d n gi i x, y ≥ x ≥ y ði u ki n: ( Xét phương trình (2): x − y = y + y − x N u N u x − x− y − y =0⇔ th a mãn y = x − y − y ≠ đó: x − 2y = ( x − 2y) ( x − y ) ( ( 2y + x 2y + x )( )( x− y + y )( ) y + x ⇔ x − y − y = ( y − x) ( 2y + x ) ) x − 2y = x − y + y + 1 = ⇔ 2y + x ) ( )( ) x − y + y +1 = H phương trình tr thành 33 x − y − 5.6 x + 4.23 x − y x = y x = x = ⇒ y = ( loai ) 32 x − 5.6 x + 4.22 x = =0 ⇔ ⇔ ⇔ x = log ⇒ y = log x 3 x = 2y = 2 V y h phương trình có hai nghi m ( x; y ) = ( 0;0 ) , log 4;log y + 19 = 20 ( x + y ) Bài t p m u 13: Gi i h phương trình: x, y ∈ ℝ x + x + 2y = http://www.xuctu.com - Trang - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 Hư ng d n gi i x ≥ x + y ≥ ði u ki n: x + x + y = ⇔ 2x + y + x ( x + y) = ⇔ x ( x + y ) = 1− ( x + y) x + y ≤ x + y ≤ ⇔ ⇔ 2 x + xy = − ( x + y ) + x + xy + y 2 ( x + y ) = + y Thay ( x + y ) = + y vào phương trình y + 19 = 20 ( x + y ) ta ñư c ( y + 19 = 10 + y ) y2 = ⇔ y − 10 y + = ⇔ y = V i y = 10 = + y = ( x + y ) ≤ vơ lí y =1 x = ⇔ (TM ) y = −1 x = V i y2 = ⇔ V y nghi m c a h phương trình là: ( x; y ) = ( 0;1) , ( 2; −1) y − xy + y = − x + x + Bài t p m u 14: Gi i h phương trình: x, y ∈ ℝ y + 13 − 15 − x = x + Hư ng d n gi i 15 ði u ki n: ≤ x ≤ Ta có: ( ) ( ) ( )( ) y − xy + y = − x + x + ⇔ y − x + y − x − = ⇔ y − x − y − x + = (1) 15 15 ; y > ⇒ x < y + Khi 2 (1) ⇔ y − x − = ⇔ y = x + Vì x ≤ Thay y = x + vào phương trình dư i ta đư c x + 16 − 15 − x = x + ⇔ x + 16 = x + + 15 − x ⇔ x = ( x + 1)(15 − x ) x ≥ x ≥ x = ⇔ ⇔ ⇔ x=3 6 x − 13 x − 15 = x = − V i x = ⇒ y = ⇔ y = ±2 V y nghi m c a h phương trình là: ( 3; ) , ( 3; −2 ) log ( x + y ) + log ( x − 1) = Bài t p m u 15: Gi i h phương trình: x, y ∈ ℝ 3x + 3−4 y = Hư ng d n gi i http://www.xuctu.com - Trang - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 x > ði u ki n: x + y > Ta có: log ( x + y ) + log ( 3x − 1) = ⇔ − log ( x + y ) + log ( 3x − 1) = 3x − ⇔ log = ⇔ x = y +1 x + 2y Thay x = y + vào phương trình 3x + 3−4 y V y nghi m c a h phương trình là: (1; ) 34 y = y = 4y = ⇔ 3.3 + y = ⇔ y ⇔ 3 = y = − log x ( xy ) + log y x = Bài t p m u 16: Gi i h phương trình: x, y ∈ ℝ 2 log y = log x.log ( − x ) Hư ng d n gi i 0 < x < 6, x ≠ y > 0, y ≠ ði u ki n: x = y log x y = ⇔ log x y = x = y Phương trình (1) c a h ta có log x y + log y x = ⇔ V i x = y t phương trình (2)c a h ta có log x = log x = log x log ( − x ) ⇔ log x = log ( − x ) x =1 ⇔ ⇔ x = x + x − = x = y = V y nghi m c a h phương trình là: x = V i y = x t phương trình (2) c a h ta có log 2 x = log x.log ( − x ) ⇔ x = 1( loai ) x = y = V y nghi m c a h phương trình là: x4 − y = x2 y − x2 Bài t p m u 17: Gi i h phương trình: x, y ∈ ℝ x y − + x = x2 − Hư ng d n gi i x2 ≥ ði u ki n: y ≥ x4 − y = x2 y − x2 ⇔ ( x4 + x2 ) − ( x2 y + y ) = ( )( ) ⇔ x2 − y x2 + = ⇔ x2 = y http://www.xuctu.com - Trang 10 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 ( ) ( ) x3 y + + x + x = Bài t p m u 9: Gi i h phương trình x, y ∈ ℝ 2 x y + y +1 = x x +1 ( ) Hư ng d n gi i ði u ki n: x ≥ D th y x = không th a mãn h phương trình Khi x > ( ) T h phương trình ta suy x + x + > ⇒ x y + y + > ⇒ y > Chia c hai v c a phương trình th c a h phương trình cho x ≠ 1 ( 2) ⇔ y + y ( y ) + = + + x x x Xét hàm s f ( t ) = t + t t + ( 0; +∞ ) Ta có: f ' ( t ) = + t + + Suy f ( t ) hàm s ñ ng bi n ( 0; +∞ ) ⇒ y = t2 t2 +1 (∀ > 0) x Vào phương trình (2) c a h phương trình ta đư c x x3 + x + x + x = Thay y = ( ) D th y v trái c a phương trình hàm s đ ng bi n ( 0; +∞ ) Nên x = nghi m nh t c a phương trình Suy y = 1 V y nghi m c a h phương trình là: 1; x3 ( y + 1) + ( x + 1) x = Bài t p m u 10: Gi i h phương trình x, y ∈ ℝ x y + y2 +1 = x + x2 + ) ( Hư ng d n gi i ðK: x ≥ Nh n th y (0; y) không nghi m c a h phương trình Xét x > x + (1) x2 t2 Xét hàm s f ( t ) = t + t t + có f ' ( t ) = + t + + > nên hàm s ñ ng bi n V y t +1 1 (1) ⇔ f ( y ) = f ⇔ y = x x T phương trình th ta có y + y y + = + x Thay vào phương trình (1): x3 + x + ( x + 1) x = V trái c a phương trình hàm ñ ng bi n ( 0; +∞ ) nên có nghi m nh t x = h phương trình có nghi m 1; 2 http://www.xuctu.com - Trang 37 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 x − − y − = 27 − x Bài t p m u 11: Gi i h phương trình x, y ∈ ℝ ( x − ) + = y Hư ng d n gi i x ≥ ði u ki n: T phương trình (2) ta có ( x − ) = y − ⇒ y ≥1 y − = ( x − ) thay vào phương trình (1) ta đư c x − = 27 − x3 + x − x + ⇔ x − + x − x + x − 31 = (*) Xét hàm s : f ( x ) = x − + x3 − x + x − 31, ( ∀x > ) + x − x + > , ( ∀x > ) x−2 Hàm s ñã cho hàm s ñ ng bi n ( ∀x > ) M t khác f ( 3) = ⇒ x = nghi m nh t f '( x) = c a phương trình (*) thay vào phương trình (2) ta ñư c y = x = y = V y h phương trình có nghi m là: ( ) ( ) x3 y + + x + x = Bài t p m u 12: Gi i h phương trình x, y ∈ ℝ 2 x y + y +1 = x + x +1 ( ) Hư ng d n gi i ( ) 1 T phương trình (2) c a h phương trình ta có bi n đ i : y + y + = + + x x ( ) f ( t ) = t + t + ⇒ f ( t ) hàm s ñ ng bi n y = Xét hàm s 1 ⇔ ( x; y ) = 1; x 2 2 x − x + x − = x ( − y ) − y x + = 14 − x − y + ( ) 1 − y = f 1 − x 111 V y h phương trình có nghi m là: 7; 98 x3 − y − = 3x − y Bài t p m u 13: Gi i h phương trình ñó x, y ∈ ℝ 2 x + 1− x − y − y + = T phương trình (1) chuy n ta có: f Hư ng d n gi i −1 ≤ x ≤ ð t z = x + ⇒ z ∈ [ 0; 2] 0 ≤ y ≤ ði u ki n: Phương trình (1) c a h phương trình tương đương z − z = y − y xét hàm s f ( t ) = t − 3t , ∀t ∈ [ 0; 2] f ' ( t ) = 3t − 6t = 3t ( t − ) ≤ 0, ∀t ∈ [ 0; 2] f ( t ) hàm s ñ ng bi n ∀t ∈ [ 0; 2] http://www.xuctu.com - Trang 38 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 Mà f ( z ) = f ( y ) ⇔ z = y ⇔ x + = y Thay vào phương trình (2) ta có x − − x + = ⇔ x = x = y =1 V y h phương trình có nghi m là: Bài t p t luy n ð ( x; y ) = (1;1) −1 + −1 + −1 − −1 − ; ; , 2 2 ( x; y ) = (1;1) , ) ( x5 + xy = y10 + y 4x + + y + = x − 16 y − = y 8x x − xy + y = y + 1+ y2 = x + 1+ x x x − xy + = xy + x + ( )( ) http://www.xuctu.com −1 + −1 + −1 + −1 + , −4 ;4 ; −4 2 2 ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = x + x + 22 − y = y + y + y + y + 22 − x = x + x + ( 2x + 1) + 4x2 + 4x + + y + y + = 4 x3 − y + − y = −5 2 ( x + y )3 + xy − = 2 ( x + y ) − x − xy + y + x − y + = x3 y − y = 2 x y + xy + y = ( ðáp s ( 2;1) x −1 − y = − x ( x − 1) = y x + x − x + = y −1 + x −1 y + y − y + = +1 x − x = y − y 2 y = x3 + x − 5x = y − y x + y = ) 1 −1; 3 1 1 ; 2 2 ( x; y ) = ( 2;1) (1;1) , (1; −1) ( ±2 2; ±4 ) x + 1+ x2 = − y + + y2 ⇔ f ( x ) = f ( − y ) − 11 −3 − 11 ⇔ ( x; y ) = (1; −1) , ; - Trang 39 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 H phương trình kỳ thi n sinh đ i h c(đ th c) Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2013: x + + x −1 − y4 + = y Gi i h phương trình sau: ( x, y ∈ ℝ ) x + x ( y − 1) + y − y + = Hư ng d n gi i ði u ki n: x ≥ T phương trình (2) c a h phương trình ta ñư c y = ( x + y − 1) , ⇒ y ≥ ð t u = x − 1, ⇒ u ≥ Phương trình (1) c a h phương trình tr thành u4 + + u = y4 + + y Xet hàm s ( 3) f (t ) = t + + t , V i m i t ≥ Ta có: f ' ( t ) = 2t t4 + + > ,V i m i t ≥ Do phương trình (3) tương đương v i y = u , nghĩa x = y + Thay vào phương trình (2) ta thu đư c y ( y + y + y − ) = ( ) Hàm s f ( y ) = y + y + y − có g ' ( y ) = y + y + > , v i m i y ≥ y = Mà g (1) = , nên phương trình (4) có hai nghi m khơng âm y =1 V i y = ta ñư c nghi m c a ( x; y ) = (1;0 ) V i y = ta ñư c nghi m ( x; y ) = ( 2;1) V y h phương trình có hai nghi m ( x; y ) = (1; ) , ( 2;1) Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2013: 2 x + y − xy + x − y + = Gi i h phương trình sau: ( x, y ∈ ℝ ) 4 x − y + x + = x + y + x + y Hư ng d n gi i 2 x + y ≥ ði u ki n: x + y ≥ T phương trình (1) c a h ta thu ñư c y = x +1 y = 2x +1 V i y = x + , thay vào phương trình (2) ta ñư c 3x − x + = 3x + + x + ) ( ( ) ( ) ⇔ x − x + x + − 3x + + x + − x + = 1 ⇔ x − x 3 + + =0 x + + 3x + x + + x + x = ⇔ x2 − x = ⇔ x = Khi ta thu đư c nghi m ( x; y ) = ( 0;1) , (1; ) ( ) http://www.xuctu.com - Trang 40 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 V i y = x + , thay vào phương trình (2) c a h phương trình ta đư c − 3x = x + + x + ⇔ 3x + ( ) ( 4x + −1 + ) 9x + − = ⇔ x3+ + =0⇔ x=0 4x + + 9x + + Khi nghi m c a h phương trình ( x; y ) = ( 0;1) Trích t đ thi n sinh Cao ñ ng kh i A-2013: xy − y + = Gi i h phương trình sau: ( x, y ∈ ℝ ) 4 x − 12 y + xy = Hư ng d n gi i xy − y + = 4 x − 12 y + xy = H phương trình đư c đư c vi t l i (1) ( 2) Nh n xét y = khơng th a mãn phương trình (1) T phương trình (1) ta đư c x = y −1 ( 3) y Thay vào phương trình (2) c a h phương trình ta đư c y =1 3 y − 11 y + 12 y − = ⇔ y = y = 5 3 2 V y nghi m c a h tích phân ( x; y ) = ( 2;1) , ; , ; 2 2 3 Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i D-2012: Gi i h phương trình sau xy + x − = ( x, y ∈ ℝ ) 2 2 x − x y + x + y − xy − y = Hư ng d n gi i H phương trình cho tương đương v i xy + x − = (1) ( x − y + 1) ( x − y ) = ( ) V i x − y + = ⇔ y = x + thay vào phương trình c a h ta đư c x2 + x −1 = ⇔ x = −1 ± −1 + −1 − Do ta có nghi m ( x; y ) = ; , ( x; y ) = ;− V i x − y = ⇔ y = x Thay vào phương trình (1) c a h phương trình ta đư c x3 + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ x = Do ta đư c nghi m ( x; y ) = (1;1) −1 + −1 − V y nghi m c a h phương trình ( x; y ) cho ; , ; − (1;1) http://www.xuctu.com - Trang 41 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2012: Gi i h phương trình sau x3 − x − x + 22 = y + y − y ( x, y ∈ ℝ ) 2 x + y − x + y = Hư ng d n gi i 3 x − x − x + 22 = y + y − y (1) Ta có: 2 ( 2) x + y − x + y = ( x − 1)3 − 12 ( x − 1) = ( y + 1)3 − 12 ( y + 1) 2 H phương trình cho tương đương v i 1 1 x + + y + = 2 2 1 −1 ≤ x − ≤ − ≤ x − ≤ T (2), suy ⇔ −1 ≤ y − ≤ − ≤ y − ≤ 3 Xét hàm s f ( t ) = t − 12t − ; ; f ' ( t ) = ( t − ) < , suy f ( t ) hàm ngh ch bi n 2 Do (1) tương đương x − = y + ⇔ y = x − ( 3) x = 1 3 Thay vào (2), ta ñư c x − + x − = ⇔ x − x + = ⇔ 2 2 x = 1 3 3 1 Thay vào phương trình (3), ta ñư c nghi m c a h phương trình ( x; y ) ; − ho c ; − 2 2 2 2 2 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2011: Gi i h phương trình sau 5 x y − xy + y − ( x + y ) = ( x, y ∈ ℝ ) 2 xy ( x + y ) + = ( x + y ) Hư ng d n gi i 2 5 x y − xy + y − ( x + y ) = (1) Ta có: 2 ( 2) xy ( x + y ) + = ( x + y ) xy = T phương trình (2) tương ñương ⇔ ( xy − 1) ( x + y − ) = ⇔ 2 x + y = + xy = 1; t phương trình (1) suy y − y + = ⇔ y = ±1 Do đó, nghi m ( x; y ) = (1;1) ho c ( x; y ) = ( −1; −1) y ( x + y ) − xy + x y − ( x + y ) = + x + y = , t phương trình (1) suy ⇔ y − xy + x y − ( x + y ) = xy = ⇔ (1 − xy )( y − x ) = ⇔ x = 2y http://www.xuctu.com - Trang 42 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 10 10 10 10 V i x = y , t x + y = ⇒ ( x; y ) = ; ;− ho c ( x; y ) = − 5 10 10 10 10 V y h phương trình cho cho nghi m (1;1) , ( −1; −1) , ; ;− − 5 Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i D-2011: Tìm m đ h phương trình sau có nghi m 2 x − ( y + ) x + xy = m ( x, y ∈ ℝ ) x + x − y = − 2m Hư ng d n gi i ð t u = x − x, u ≥ − ; v = x − y uv = m u + ( 2m − 1) u + m = (1) H phương trình cho tr thành ⇔ v = − 2m − u u + v = − 2m H phương trình có nghi m ch phương trình (1) có nghi m th a mãn u ≥ − −u + u V i u ≥ − , ta có : (1) ⇔ ( 2u + 1) = −u + u ⇔ m = 2u + −u + u 2u + 2u − −1 + V i u ≥ − , ta có f ' ( u ) = − ; f ' (u ) = ⇔ u = Xét hàm s f ( u ) = 2u + ( 2u + 1) Trích t đ thi n sinh Cao đ ng-2011: Gi i h phương trình sau 2 x + y = − x − y ñó ( x, y ∈ ℝ ) 2 x − xy − y = Hư ng d n gi i ði u ki n x + y ≥ , ñ t t = x + y , t ≥ t = Phương trình (1) tr thành : t + 2t − = ⇔ t = −3 ( loai ) x =1 V i t =1, ta có y = − x Thay vào (2) ta ñư c x + x − = ⇔ x = −3 V i x=1 ta ñư c y = −1 V i x = −3 ta ñư c y = V y h phương trình có nghi m ( x; y ) (1; −1) ( −3; ) Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2010: Gi i h phương trình sau http://www.xuctu.com - Trang 43 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 x2 − x + y + = 2 log ( x − ) − log y = Hư ng d n gi i ði u ki n x > 2; y > (1) ( x, y ∈ ℝ ) x = x2 − x + y + = x2 − 3x = y = −2 T h phương trình cho ta có : ⇔ ⇔ x = x − = y y = x − y = ð i chi u nghi m c a h phương trình v i u ki n ta th y nghi m c a h ( x; y ) = ( 3;1) Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2010: Gi i h phương trình sau log ( y − 1) = x ( x, y ∈ ℝ ) x x 4 + = y Hư ng d n gi i ði u ki n y > , phương trình th nh t c a h phương trình cho ta y − = x Do đó, h phương trình cho tương đương v i x x = −1 3 y − = x 2 = 3 y − = x ⇔ ⇔ ⇔ 2 6 y − y = ( y − 1) + y − = y y = y = 1 V y h phương trình có nghi m ( x; y ) = −1; 2 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2010: Gi i h phương trình sau ( x + 1) + ( y − 3) − y = ( x, y ∈ ℝ ) 2 4 x + y + − x = Hư ng d n gi i ði u ki n: x ≤ ; y ≤ Phương trình th nh t c a h phương trình tương ñương v i ( 4x + 1) x = ( − y + 1) − y Nh n xét phương trình (1) có d ng f ( x ) = f ( − 2y ) (1) , v i f ( t ) = ( t + 1) t Ta có f ' ( t ) = 3t + > suy f hàm s ñ ng bi n R x ≥ Do ñó: (1) ⇔ x = − y ⇔ − x2 y= The vào phương trình th hai c a h phương trình , ta đư c 5 x + − x + − x − = ( 3) 2 Nh n th y x = x = không ph i nghi m c a phương trình (3) http://www.xuctu.com - Trang 44 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 5 3 Xét hàm s g ( x ) = x + − x + − x − , kho ng 0; 2 4 4 5 g ' ( x ) = x − 8x − x2 − = x ( x − 3) − ≤ Suy g ( x ) hàm s ngh ch bi n − 4x − 4x 2 1 M t khác g = , phương trình (3) có nghi m nh t x = ⇒ y = 2 2 1 V y h phương trình cho có nghi m ( x; y ) = ; 2 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2009: Gi i h phương trình sau x ( x + y + 1) − = ( x, y ∈ ℝ ) ( x + y ) − + = x Hư ng d n gi i H phương trình cho tương ñương v i x = x = 3 x + y = x + y = x −1 y = x + y +1− x = x + y = x −1 ⇔ ⇔ ⇔ 1 ⇔ x = V y = 3 ( x + y ) − + = −1 − + = − +2=0 x 2 y = − x x x x x x + y = 3 H phương trình cho có nghi m ( x; y ) (1;1) 2; − 2 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2009: Gi i h phương trình sau xy + x + = y ( x, y ∈ ℝ ) 2 x y + xy + = 13 y Hư ng d n gi i H phương trình cho tương đương v i x + y = −5 I 1 x ( ) x 1 1 x+ + =7 x + + = x + + x + − 20 = y y x = 12 y y y y y ⇔ ⇔ ⇔ 1 x 1 x + = x + x + = 13 x x + y − y = 13 y = − x + y y y y ( II ) x = y + H phương trình (I) vơ nghi m 1 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2009: Gi i h phương trình sau log ( x + y ) = + log ( xy ) ( x, y ∈ ℝ ) x2 − xy + y = 81 3 Hư ng d n gi i + H phương trình (II) có nghi m ( x; y ) = 1; ( x; y ) = ( 3;1) http://www.xuctu.com - Trang 45 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 ði u ki n: xy > (*) , h phương trình cho tương đương v i x = y x = y x + y = xy ⇔ ⇔ 2 x − xy + y = y = ±2 y = K t v i v i ñi u ki n ta th y h phương trình cho có nghi m ( 2; ) ( −2; −2 ) Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i A-2008: Gi i h phương trình sau x + y + x y + xy + xy = − ( x, y ∈ ℝ ) x + y + xy (1 + x ) = − Hư ng d n gi i 5 2 x + y + x y + xy + xy = − x + y + xy + xy ( x + y ) = − Ta có bi n đ i: ⇔ x + y + xy (1 + x ) = − ( x + y )2 + xy = − u = x + y H phương trình (*) tr thành ð t v = xy ( *) 5 u + v + uv = − v = − − u u = 0, v = − ⇔ ⇔ u = − , v = − u + v = − u + u + u = 4 2 25 3 Gi i ta ñư c nghi m c a h phương trình ( x; y ) ; − 1; − 16 2 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2008: Gi i h phương trình sau x + x3 y + x y = x + ñó ( x, y ∈ ℝ ) x + xy = x + Hư ng d n gi i H phương trình cho tương ñương v i ( x2 + xy )2 = 2x + x = x2 ⇒ x + 3x + − = 2x + ⇔ x4 +12x3 + 48x2 + 64x = ⇔ x ( x + 4) = ⇔ x 2 x = −4 xy = 3x + − + V i x=0 không th a mãn h phương trình + V i x = −4 ⇒ y = 17 V y nghi m c a h phương trình ( x; y ) = −4; 17 4 Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i D-2008: Gi i h phương trình sau xy + x + y = x − y ( x, y ∈ ℝ ) x y − y x −1 = 2x − y Hư ng d n gi i ði u ki n: x ≥ 1, y ≥ http://www.xuctu.com - Trang 46 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 ( x + y )( x − y − 1) = x y − y x −1 = 2x − y H phương trình cho tương ñương v i T ñi u ki n ta có x + y > nên (1) ⇔ y + ( 3) (1) ( 2) Thay (3) vào(2) ta ñư c ( y + 1) y = ( y + 1) ⇔ y = ( y + > ) ⇒ x = V y nghi m c a h phương trình ( x; y ) = ( 5; ) Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2007: Xác ñ nh m đ h phương trình sau có nghi m th c 1 x+ + y+ =5 x y ( x, y ∈ ℝ ) x3 + + y + = 15m − 10 y3 y3 Hư ng d n gi i u = x + x ð t v = y + y (u ≥ 2, v ≥ ) H phương trình cho tương đương v i u + v = u + v = ⇔ 3 uv = − m u + v − ( u + v ) = 15m − 10 V y u v hai nghi m c a phương trình t − 5t + = m (1) H phương trình cho có nghi m ch phương trình (1) có hai nghi m th a t1 ≥ 2, t2 ≥ , (Hai nghi m không nh t thi t phân bi t) Xét hàm s f ( t ) = t − 5t + v i t ≥ B ng bi n thiên c a hàm s f (t ) Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y ñ h phương trình có nghi m m ≥ 22 ho c ≤m≤2 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2006: Tìm a đ h phương trình có nghi m nh t e x − e y = ln (1 + x ) − ln (1 + y ) ( x, y ∈ ℝ ) y − x = a Hư ng d n gi i ði u ki n: : x, y>-1 H phương trình cho đư ng th ng v i e x + a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) = y = x + a (1) ( 2) H phương trình cho có nghi m nh t ch phương trình (1) có nghi m nh t kho ng ( −1; + ∝ ) Xét hàm s f ( x ) = e x + a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) v i x>-1 Do f(x) liên t c kho ng ( −1; + ∝ ) lim f ( x ) = − ∝; lim f ( x ) = + ∝ x →−1+ http://www.xuctu.com - Trang 47 - x →+∝ E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 Nên phương trình f ( x ) = có nghi m kho ng ( −1; + ∝ ) M t khác f ' ( x ) = e x + a − e x + 1 a − = e x ( e a − 1) + > 0, ∀x > −1 1+ x 1+ a + x (1 + x )(1 + a + x ) Suy f(x) hàm s ñ ng bi n kho ng ( −1; + ∝ ) Do đó, phương trình f ( x ) = có nghi m nh t kho ng ( −1; + ∝ ) V y h phương trình cho có nghi m nh t Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2006: Gi i h phương trình sau x + y − xy = ( x, y ∈ ℝ ) x +1 + y +1 = Hư ng d n gi i ði u ki n: : x ≥ −1, y ≥ −1; xy ≥ ð t t = xy ( t ≥ ) T phương trình th nh t c a h phương trình ta suy ra: x + y = + t Bình phương hai v c a phương trình th hai ta đư c x + y + + xy + x + y + = 16 ( ) Thay xy = t , x + y = 3t vào phương trình (2) ta ñư c 0 ≤ t ≤ 11 0 ≤ t ≤ 11 + t + + t + + t +1 = 16 ⇔ t + t + = 11− t ⇔ ⇔t =3 ⇔ 3t + 26t −105 = 4 ( t + t + 4) = (11 − t ) x + y = V i t = ta có suy nghi m c a h phương trình ( x; y ) = ( 3;3) xy = Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2005: Gi i h phương trình sau x −1 + − y = ( x, y ∈ ℝ ) 3log ( x ) − log y = Hư ng d n gi i x −1 + − y = (1) x ≥ + Ta có: ; ði u ki n: 0 < y ≤ 3log ( x ) − log y = ( ) T phương trình (2) c a h suy (1 + log x ) − 3log y = ⇔ log3 x = log3 y ⇔ x = y Thay y = x vào phương trình (1) ta có x −1 + − x = ⇔ x −1 + − x + x = x = ( x − 1)( − x ) = ⇔ ( x − 1)( − x ) = ⇔ V y h phương trình cho có nghi m ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( 2; ) Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2004: Gi i h phương trình sau x + y =1 ñó ( x, y ∈ ℝ ) x x + y y = − 3m Hư ng d n gi i u = x ð t v = y u ≥ v ≥ ñi u ki n u + v = u + v = ⇔ uv = m u + v = − 3m V y u, v hai nghi m c a phương trình t − t + m = (**) H phương trình cho tr thành http://www.xuctu.com 3 - Trang 48 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 u ≥ ði u v ≥ H phương trình cho có nghi m ch h (*) có nghi m cho ∆ = − 4m ≥ ⇔0≤m≤ tương đương phương trình (**) có nghi m t khơng âm ⇔ S = ≥ m ≥ Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2004: Gi i h phương trình sau log ( y − x ) − log y = ( x, y ∈ ℝ ) x + y = 25 Hư ng d n gi i ði u ki n: y > x y > log ( y − x ) − log 4 1 y−x 3y = ⇔ − log ( y − x ) − log = ⇔ − log =1⇔ x = y y y 3y Thay vào phương trình x + y = 25 ta có + y = 25 ⇔ y = ±4 So sánh ñi u ki n ta ñư c y = ⇒ x = th a mãn ñi u ki n 2 V y nghi m c a h phương trình ( x; y ) = ( 3; ) Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i B-2003: Gi i h phương trình sau y2 + 3y = x2 ( x, y ∈ ℝ ) ( x, y ∈ ℝ ) 3 x = x + y2 Hư ng d n gi i ði u ki n: x ≠ 0; y ≠ Khi h phương trình cho tương đương v i 3 x y = y + ( x − y )( xy + x + y ) = ⇔ 2 3 xy = x + 3 xy = x + x = y x = ⇔ y =1 3xy = x + 3xy + x + y = Trư ng h p 2: vơ nghi m t (1) (2) ta có x, y >0 3xy = x + Trư ng h p 1: 2 V y nghi m c a h phương trình x = y = Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2003: Gi i h phương trình sau x − x = y − y ( x, y ∈ ℝ ) 2 y = x + Hư ng d n gi i ði u ki n: xy ≠ Ta có phương trình (1) tương ñương ( x − y ) 1 + http://www.xuctu.com x = y =0⇔ xy xy = −1 - Trang 49 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 x = y = x = y x = y x = y −1 + Trư ng h p 1: ⇔ ⇔ ⇔ x = y = 3 2 y = x + 2 x = x + ( x − 1) ( x + x − 1) = x = y = −1 − y = − x ( 3) xy = y = − x Trư ng h p 2: ⇔ ⇔ 2 y = x + − = x + x + x + = ( ) x 2 1 1 Phương trình (4) c a h vơ nghi m x + x + = x − + x + + > 0; ∀x 2 2 −1 + −1 + −1 − −1 − V y h phương trình có nghi m ( x; y ) (1;1) , ; ; Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2002: Gi i h phương trình sau 23 x = y − y x ( x, y ∈ ℝ ) + x +1 =y x +2 Hư ng d n gi i H phương trình cho tương ñương v i 2 x = y > 3x x 2 = y − y 2 = y > y = ⇔ ⇔ x 2 = y y − 5y + 4y = y = y = So sánh ñi u ki n ta th y h phương trình có nghi m ( x; y ) ( 0;1) ( 2; ) Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2002: Gi i h phương trình sau 3 x − y = x − y ( x, y ∈ ℝ ) x + y = x + y + Hư ng d n gi i 3 x − y = x − y (1) x − y ≥ Ta có: ði u ki n: ( 3) x + y ≥ ( 2) x + y = x + y + x = y T phương trình (1) tương ñương x − y − x − y = ⇔ x = y +1 ( ) Thay x = y vào phương trình (2), gi i ta ñư c x = y = Thay x = y + vào phương trình (2), gi i ta đư c x = ; y = K t h p v i ñi u ki n (3) ta có nghi m c a h phương trình http://www.xuctu.com - Trang 50 - ( x; y ) (1;1) ; 2 2 E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 Th y g i tài li u v H phương trình mà b n đăng kí nh n ðây m t tài li u chuyên ñ ñ luy n thi ñ i h c B n ñ c th t k ph n m ñ u đ có đư c s t h c t t Và thư ng xuyên vào website http://xuctu.com/ c a th y ñ h c t p ðây tài li u mà th y chia s thông qua email B n h n ch chia s r ng rái m ng, ñ c bi t trang web đ tơn tr ng tác gi ð h c t t ph n n a em nên tham kh o gi ng v h phương trình c a th y kênh h c toán c a th y t i http://www.youtube.com/user/quoctuansp N u chưa đăng kí kênh đăng kí ñ nh n nh ng gi ng m i nh t Ngồi ra, b n có th v a h c v a ng h giúp th y b ng cách nh p chu t vào dòng qu ng cáo c a Google video gi ng c a th y ði u giúp th y có đư c ngu n l i t Google mà khơng c n em ph i hành đ ng c Bài gi ng đư c đ xu t là: “Gi i h phương trình theo cách khác nhau” t i: https://www.youtube.com/watch?v=Gy6o3POCrvw CÁC EM NH CLICK CHU T VÀO DÒNG QU NG CÁO C A GOOGLE DƯ I VIDEO BÀI GI NG http://www.xuctu.com - Trang 51 - E mail: quoctuansp@gmail.com ... ng phương pháp th Phương pháp 2: Gi i h phương trình b ng phương pháp đ t n ph Phương pháp 3: Gi i h phương trình b ng phương pháp bi n thiên hàm s Phương pháp 4: Gi i h phương trình b ng phương. .. Cũng u này, h phương trình b n, s đơn gi n trư c chúng tơi khơng trình bày Ch ng h n: H phương trình bao g m m t phương trình b c nh t phương trình b c hai đ i v i n, H phương trình đ i x ng... + xy = H phương trình đư c đư c vi t l i (1) ( 2) Nh n xét y = khơng th a mãn phương trình (1) T phương trình (1) ta đư c x = y −1 ( 3) y Thay vào phương trình (2) c a h phương trình ta đư