BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN 2020 BỘ GIÁO[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số: 9.46.01.06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ VĂN THÀNH NGHỆ AN - 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết trình bày luận án trung thực chưa công bố trước Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hiền ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Thành Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Lê Văn Thành, người đặt toán, định hướng nghiên cứu, động viên, giúp đỡ tận tình chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin cảm ơn ThS Vũ Thị Ngọc Ánh TS Võ Thị Hồng Vân thảo luận góp ý từ lúc viết thảo hoàn thiện luận án Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý GS.TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Thị Thế, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Dương Xuân Giáp, PGS.TS Phan Đức Thành, PGS.TS Trần Xuân Sinh nhà khoa học đồng nghiệp môn Xác suất thống kê Toán ứng dụng Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, nghiên cứu sinh, thành viên nhóm seminar PGS.TS Lê Văn Thành chủ trì góp ý, thảo luận bổ ích Cuối cùng, tác giả xin gửi tới gia đình, người thân, bạn bè lời biết ơn chân thành sâu sắc động viên, chia sẻ dành cho tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu cơng tác Nguyễn Thị Thanh Hiền iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng luận án Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm 11 1.2 Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm 16 1.3 Hàm biến đổi chậm 23 Chương Luật số lớn hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert 2.1 Luật mạnh số lớn hội tụ đầy đủ 31 32 2.2 Luật yếu số lớn 43 Chương Luật số lớn hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert 3.1 Luật mạnh số lớn hội tụ đầy đủ 56 57 3.2 Luật yếu số lớn 71 Kết luận kiến nghị 78 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N R Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực (Ω, F, P) H B(H) B log x ln x a+ a− EX Var(X) Cov(X, Y ) I(A) h.c.c Không gian xác suất đầy đủ Không gian Hilbert thực, khả ly P Xn → X L Xn →2 X |A| X (j) h·, ·i k.k kXk [x] d X=Y lim inf An lim sup An N (0, 1) σ - đại số Borel H Tập số hệ sở trực chuẩn H Logarit số số thực dương x Logarit tự nhiên số thực dương x max{a, 0}, a ∈ R max{−a, 0}, a ∈ R Kỳ vọng biến ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X Phương sai biến ngẫu nhiên X Covariance biến ngẫu nhiên X Y Hàm tiêu tập hợp A Hầu chắn Xn hội tụ theo xác suất đến X Xn hội tụ theo trung bình cấp đến X Lực lượng tập hợp A Tọa độ thứ j phần tử ngẫu nhiên X Tích vơ hướng H Chuẩn sinh tích vơ hướng H Chuẩn phần tử ngẫu nhiên X Phần nguyên số thực x Các phần tử ngẫu nhiên X Y phân phối Giới hạn dãy biến cố {An } Giới hạn dãy biến cố {An } Phân phối chuẩn tắc N (µ, σ ) f (n) ∼ g(n) tr i Phân phối chuẩn với tham số µ, σ f (n) lim = 1, f (n) g(n) hàm số dương n→∞ g(n) Trang thứ i tài liệu trích dẫn tr i-j Từ trang thứ i đến trang thứ j tài liệu trích dẫn RV SV K Họ hàm biến đổi quy Họ hàm biến đổi chậm an = o(1) Hằng số dương khơng giống lần xuất lim an = n→∞ Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Luật số lớn toán cổ điển lý thuyết xác suất, khẳng định trung bình cộng biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối hội tụ hầu chắn hội tụ theo xác suất kỳ vọng biến ngẫu nhiên Tuy nhiên, ln vấn đề thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, tốn kinh tế, khoa học tự nhiên số lĩnh vực khác Chính vậy, việc nghiên cứu luật số lớn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà cịn có ý nghĩa thực tiễn 1.2 Tính độc lập biến ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng nghiên cứu lý thuyết xác suất Tuy nhiên, tượng ngẫu nhiên xảy thực tiễn thường phụ thuộc lẫn Do đó, phải tìm hiểu, nghiên cứu kiểu phụ thuộc khác biến ngẫu nhiên để phù hợp với toán ứng dụng thực tế như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc địa phương (local dependence), liên kết âm (negative association), phụ thuộc âm (negative dependence), Những thông tin phân phối, đặc trưng, dáng điệu, tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc (khi số biến ngẫu nhiên đủ lớn) có nhiều ứng dụng thống kê, khoa học máy tính, ma trận ngẫu nhiên, tốn tài chính, điều khiển tối ưu, Tùy vào cấu trúc phụ thuộc khác mà cần có kỹ thuật, cơng cụ khác để giải toán với cấu trúc phụ thuộc tương ứng 1.3 Sự phát triển định lý giới hạn lý thuyết xác suất dẫn đến nhiều kết tổng quát kết cổ điển Một hướng tổng quát là, từ kết có biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian trừu tượng khác như: không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert, Khi nghiên cứu luật số lớn định lý giới hạn, có nhiều tác giả thu kết tốt như: Gilles Pisier, Michel Talagrand, Andrew Rosalsky, Pedro Terán, Nguyễn Văn Quảng, Nguyễn Trần Thuận, 1.4 Sự hội tụ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng điều khiển ngẫu nhiên thống kê tốn học, mơ hình hồi quy phi tham số, phương pháp đánh giá bình phương tối thiểu, Bài tốn đánh giá bình phương tối thiểu mơ hình hồi quy bội ngẫu nhiên khởi xướng báo năm 1978 tác giả Lai, Robbins Wei [31] Kể từ đến nay, mơ hình kế thừa tiếp tục phát triển mơ hình phụ thuộc khác nhau, chẳng hạn Breton, Musiela xét cho trình nửa martingale [8] gần cơng trình Arie Preminger Giuseppe Storti xét cho q trình nhiễu có xác suất lớn [2] Bài tốn mơ hình hồi quy phi tham số đưa tổng có trọng số biến ngẫu nhiên Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Sự hội tụ tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị khơng gian Hilbert” Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, nghiên cứu điều kiện để dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không gian Hilbert thỏa mãn luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn hội tụ đầy đủ Cụ thể, nghiên cứu nội dung sau: - Nghiên cứu bất đẳng thức tính chất liên quan tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không gian Hilbert; - Xây dựng khái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi theo tọa độ phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert; - Thiết lập luật yếu số lớn tổng ngẫu nhiên tổng không ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị không gian Hilbert; - Thiết lập luật mạnh số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị khơng gian Hilbert; - Tìm ví dụ phản ví dụ để minh họa cho kết lý thuyết; - Nghiên cứu đề xuất điều kiện để thu hội tụ đầy đủ tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không gian Hilbert Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án bao gồm: - Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert; - Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, hội tụ đầy đủ Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu chủ yếu luận án tính phụ thuộc lý thuyết xác suất, hội tụ tổng biến ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu - Phân tích kết đạt được, từ phát triển kỹ thuật, kết vào mơ hình có cấu trúc tương tự, mơ hình tổng quát hơn; - Tổ chức seminar khoa học, tổ chức buổi trao đổi nhóm nghiên cứu với nhà khoa học nước để thảo luận làm nảy sinh ý tưởng, kĩ thuật Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên