Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyªn ®Ò To¸n cùc trÞ h×nh häc Tµi liÖu «n thi TS 10 Trang 1 Chuyªn ®Ò To¸n cùc trÞ h×nh häc I C¬ së lý thuyÕt §Ó chøng minh 1 ®o¹n th¼ng lµ lín nhÊt hay nhá nhÊt ta thêng dùa vµo c¸c sù kiÖn sau 1[.]
Tài liệu ôn thi TS 10 Chuyên đề Trang : Toán cực trị hình học I.Cơ sở lý thuyết: -Để chứng minh đoạn thẳng lớn hay nhỏ ta thờng dựa vào kiện sau: 1.Với điểm A,B,C ta có AC AB + BC Dấu = xảy B nằm A C 2.Điểm A nằm đơng thẳng d H hình chiếu A d B điểm d.Ta có: AB AH Dấu = xảy B trùng H 3.AB dây cung đờng tròn(O,R).Ta có : AB 2R.Dấu = xảy AB đờng kính II Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho đờng tròn (O;R) dây AB cố định.C điểm cung lớn AB.Trên tia đối tia CA lấy điểm I cho C trung điểm AI BI cắt đờng tròn (O) D a) Chứng minh A,O,D thẳng hàng b) M điểm nằm cung lớn AB Trên tia đối tia MA lấy ®iÓm K cho MK = MB.Chøng minh ®iÓm A,B,K,I nằm đờng tròn c) Chứng minh IK // DM d) Tìm điểm M cung lớn AB cho tổng MA + MB đạt giá trị lín nhÊt Hd: a)chøng minh gãc ABD = 900 => AD đờng kính => điểm A,O,D thẳng hàng b)cm : gãc AIB = gãcAKB => ABKI néi tiÕp (vì có đỉnh I,K nhìn AB dới góc nhau) c) cm DM IK vuông gãc AK d) Chó ý : MA + MB = AK AI cố định , AK IK Baỡi 2: Cho nỉía âỉåìng trn (O) âỉåìng kênh AB D l mäüt âiãøm nàịm trãn nỉía âỉåìng trn âọ(D khäng trng våïi A v B) K DC vng gọc våïi AB tải C.Cạc nỉía âỉåìng trn âỉåìng kênh AC v CB càõt DA,DB theo thỉï tỉû tải M v N a/Chỉïng minh DC = MN b/ Chỉïng minh tỉï giạc AMNB näüi tiãúp âỉåüc mäüt âỉåìng trn c/ Chỉïng minh MN l tiãúp tuún chung ca hai nỉía âỉåìng trn âỉåìng kênh AC v CB d/Xạc âënh vë trê ca D trãn nỉía âỉåìng trn âãø MN cọ âäü daỡi lồùn nhỏỳt Hd: a) cm AMDN laỡ hỗnh chổợ nháût => DC = MN ( cháút âỉåìng chẹo hỗnh chổợ nhỏỷt) b) cm goùc DMN = goùc NBA => AMNB näüi tiãúp( tỉï giạc gọc = gọc ngoi tải âènh âäúi) c) Gi O1 , O2 l trung âiãøm ca AC v BC Räưi cm MN vng gọc våïi O1M v O2N => MN l tiãúp tuún chung ca hai âỉåìng trn Bi 3: Cho tam giạc ABC cọ ba gọc nhn näüi tiãúp (O,R).M l âiãøm di âäüng trãn cung nh BC.Tỉì M k cạc âỉåìng thàóng MH,MK, láưn lỉåüt vng gọc våïi AB,AC(H thüc âỉåìng thàóng AB,K thüc âỉåìng thàóng AC) a)Chỉïng minh tỉï giạc AKMH näüi tiãúp b/Chỉïng minh hai tam giạc MBC v MHK âäưng dảng våïi c) Gi I l giao âiãøm ca HK v BC.Chỉïng minh MI vng gọc BC b/Tỗm trờ cuớa M trón cung nhoớ BC âãø âäü di âoản HK låïn nháút Hd: a) cm AKMH cọ täøng hai gọc âäúi bàịng 1800 b)cm hai tam giạc MBC v MHK âäưng dảng (gọc - gọc) c) cm âiãøm M,I,K,C cng thüc âỉåìng trn => goïc MIC = goïcMKC => MI vuäng goïc BC Thân Văn Chơng -GV trờng THCS Võ Nh Hng Tài liƯu «n thi TS 10 Trang d) Sỉí dủng cáu b) cm âæåüc: => HK BC : khäng âäøi => HK låïn nháút = BC Htruìng B M l giao âiãøm ca AO våïi cung nh BC Bài 4: Từ điểm A (O) kẻ hai tiếp tuyến AB,AC tới (O) ( B,C tiếp điểm).Mlà điểm di động cung lớn BC.Gọi K,H,I lần lợt hình chiếu M đờng thẳng AB,BC,AC a) Chứng minh tứ giác MKBH,MICH nội tiếp đợc b) Chứng minh MH tia phân giác góc KMI c)Gọi P giao điểm MB HK,Q giao điểm MC HI.cm PQ//BC d) Xác định vị trí M cung lín BC ®Ĩ tÝch MK.MH.MI lín nhÊt Hd: a) Tù cm b)cm gãc HMK = gãc ABC vµ gãc HMI = gãcACB råi cm ABC = ACB => ®pcm c)cm gãc PHM = gãc HCM vµ gãc QHM = góc HBM áp dụng định lý tổng góc tam gi¸c suy PMQ +PHQ = 1800 => tø gi¸c HPMQ néi tiÕp =>gãc QPM = gãcHBM => PQ//BC d) Cm MK.MH = MI2 => MK.MH MI = MI3 tÝch MK.MH.MI lín nhÊt MI max M lµ điểm cung lớn BC Bài 5: Cho tam giác ABC cạnh a,đờng cao AH M điểm cạnh BC.Gọi P,Q lần lợt hình chiếu M cạnh AB,AC a)Chứng minh tam giác MPB đồng dạng với tam giác HAC b) Chứng minh điểm A,P,H,M,Q nằm đờng tròn Xác định tâm O đờng tròn c) Chứng minh PQ vuông góc OH d) Xác định vị trí M cạnh BC Sao cho PQ có độ dài nhỏ Hd: a) dùng trờng hợp góc - góc b) cm tứ giác APMQ APHQ nội tiếp => điểm thuộc đờng tròn đờng kính AM, tâm O trung điểm AM c)cm H điểm cung PQ => PQ vuông góc OH d) Tính PQ theo AM ta đợc: PQ = AM.=> PQmin AMmin v× : AM AH => AMmin = AH M trïng H Baìi 6: Cho nỉía âỉåìng trn tám O cọ âỉåìng kênh AB.V cạc tiãúp tuún Ax,By(Ax,By v nỉía âỉåìng trn thüc cng mäüt nỉía màût phàóng båì AB).M l mäüt âiãøm báút k thüc nỉía âỉåìng trn.tiãúp tuún tải M càõt Ax ,By theo thỉï tỉû åí C v D a/Chỉïng minh tỉï giạc ACMO näüi tiãúp v OC vng gọc våïi OD b/Chỉïng minh AB l tiãúp tuún ca âỉåìng trn âỉåìng kờnh CD c/Tỗm trờ cuớa M trón nổớa õổồỡng troỡn õóứ hỗnh thang ABDC coù chu vi nhoớ nhỏỳt d/Tỗm trờ cuớa M trón nổớa õổồỡng troỡn õóứ hỗnh thang ABDC coù dióỷn tờch nhoớ nhỏỳt Hd: a) Sỉí dủng cháút hai tiãúp tuún càõt v cháút hai tia phán giạc ca hai gọc kãư buỡ thỗ vuọng goùc vồùi õóứ cm OC vuọng gọc OD b)Gi I l trung âiãøm CD Cm IO = v IO vng gọc AB => AB l tiãúp tuún ca âỉåìng trn âỉåìng kênh CD c) Chụ ACDB laỡ hỗnh thang vuọng(vỗ sao?) goỹi P laỡ chu vi thỗ ta coù: P = 2(R + CD) => Pmin CDmin Ta coï CD AB = 2R : không đổi => CDmin = 2R CD// AB OM vng gọc AB M l âiãøm chênh giỉỵa cuớa nổớa õổồỡng troỡn d) Goỹi S laỡ dt hỗnh thang ACDB ta âæåüc : S = R CD räưi lê lûn tỉång tỉû cáu c => M l âiãøm chênh giỉỵa ca nỉía âỉåìng trn Bi 7:Cho âỉåìng trn (O) bạn kênh R,âỉåìng thàóng d khäng âi qua O v càõt âỉåìng trn tải hai âiãøm Av B.Tỉì mäüt âiãøm C trãn d (C nàịm ngoi âỉåìng Th©n Văn Chơng -GV trờng THCS Võ Nh Hng Tài liệu «n thi TS 10 Trang trn ,ì A nàịm giỉỵa C v B), kè hai tiãúp tuún CM,CN våïi âỉåìng trn (M,N tiãúp âiãøm) Gi H l trung âiãøm AB,âỉåìng thàóng OH càõt CN tải K a/Chỉïng minh âiãøm C,O,H,N cng nàịm trãn mäüt âỉåìng trn b/Chỉïng minh KN.KC=KH.KO c/Âoản thàóng CO càõt âỉåìng trn (O) tải I,chỉïng minh I l tám âỉåìng trn näüi tiãúp tam giạc CMN d/ Mäüt âỉåìng thàóng âi qua O v song song våïi MN càõt cạc tia CM,CN láưn lỉåüt tải Ev F.Xạc âënh vë trê ca C trãn d cho diãûn têch tam giạc CEF l nh nháút Hd: a) Chuï yï HA = HB => OH vuäng gọc AB b) cm tam giạcKNO âäưng dảng tam giạc KHC c) cm CI l phán giạc gọc MCD v MI l phán giạc gọc CMN => âpcm d) Gi S l dt tam giạc CEF , ta cm âỉåüc S = ON.CF = R CF => Smin CFmin Ta coï CF = CN + NF = 2R => CFmin = 2R CN = CF = R CO = R Vây C nằm d cho CO = Rth× S nhá nhÊt Bi 8: Cho âỉåìng trn (O) , dỉåìng kênh AB = 2Rv mäüt âiãøm M chuøn âäüng trãn nỉía âỉåìng trn âọ.v âỉåìng trn tám E tiãúp xục våïi âỉåìng trn (O) åí M v tiãúp xục våïi âỉåìng kênh AB åí N.âỉåìng trn (E) càõt MA,MB láưn lỉåüt tải C v D a/Chỉïng minh C,E ,D thàóng hng v CD// AB b/Chỉïng minh MN l tia phán giạc ca gọc AMB c/Gi K laì giao âiãøm tia MN våïi (O).Tênh KM.KN theo R d/ Gi giao âiãøm ca cạc tia CN,DN våïi KA,KB lỏửn lổồỹt laỡ C ,D Tỗm trờ ca M âãø chu vi tam giạcNC’D’ âảt giạ trë nh nháút Hd: a)cm CMD = 900 v C,M,D thüc (E) => CE l âỉåìng kênh => C,E,D thàóng hng cm EDM = OBM => CD //AB b) Cm cung NC = cungND => MN l tia phán giạc AMB c) Cm KM KN = KA2 = .= 2R2 d) gi P l chu vi tam giạc NC’D’ cm âỉåüc: P = C’D’ + KA => Pmin C’D’min Ta coï C’D’ = KN KO = R => C’D’min = R N trùng O M điểm nửa đờng tròn III Bài tập tự làm: Bi 1: cho âỉåìng trn (O;R) v mäüt âiãøm A våïi OA=R ,mäüt âỉåìng thàóng d quay quanh A càõt (O) tai M, N ;gi I l trung âiãøm ca âoản MN a/Chỉïng t OI vng gọc MN, suy I di âäüng trãn mäüt cung troìn cäú âënh våïi hai âiãøm giåïi haûn B,C thuäüc (O) b/ Tênh theo R âäü daìi AB,AC suy A,O,B,C laì bäún âènh cuớa hỗnh vuọng c/ Tờnh theo R dióỷn tờch cuớa pháưn màût phàóng giåïi hản båíi âoản AB,AC v cung nh BC ca (O) d/ Hy chè vë trê ca âỉåìng thàóng d tỉång ỉïng täøng AM +AN låïn nháút v chỉïng minh âiãưu âọ Bµi 2:Tõ điểm M đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA,MB tới đờng tròn.Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD vuông góc AB,CE vuông góc MA,CF vuông góc MB.Gọi I giao điểm AC DE,K giao điểm BC DF.Chứng minh a)Các tứ giác AECD,BFCD nội tiếp đợc b) CD2 = CE.CF c)Tứ giác ICKD nội tiếp đợc d) IK vuông góc CD e) Xác định vị trí C để tích CD.CE.CF lớn Thân Văn Chơng -GV trêng THCS Vâ Nh Hng