8 CAÂY VAØ ÖÙNG DUÏNG 8 CAÂY VAØ ÖÙNG DUÏNG 8 1 Môû ñaàu 8 2 Caùc phöông phaùp duyeät caây 8 3 Caây vaø baøi toaùn saép xeáp 8 4 Caây khung 8 5 Caây khung nhoû nhaát Caâu hoûi Nhaéc laïi caùc khaùi[.]
8 CÂY VÀ ỨNG DỤNG 8.1 Mở đầu 8.2 Các phương pháp duyệt 8.3 Cây toán xếp 8.4 Cây khung 8.5 Cây khung nhỏ Câu hỏi : Nhắc lại khái niệm - Đường - Chu trình - Đồ thị liên thông Đường độ dài n ( n số nguyên dương) đồ thị từ đỉnh u tới đỉnh v dãy liên tiếp cạnh e1 , e2 , … , en đồ thị cho ei = ( vi -1 , vi ) với vi V, v0 = u , = v Đường gọi chu trình bắt đầu kết thúc đỉnh, tức u = v Một đồ thị vô hướng gọi liên thông có đường nối cặp đỉnh phân biệt đồ thị Đường chu trình gọi đơn cạnh có mặt đường chu trình lần 8.1 Mở đầu - Một đồ thị liên thông chu trình đơn gọi - Trong tin học, sử dụng để xây dựng thuật toán để định vị phần tử danh sách; xây dựng mạng máy tính với chi phí rẻ cho đường điên thoại nối máy phân tán … Định nghóa 1: Cây đồ thị vô hướng cho đỉnh có đường G1 vàđi G2 đơn nối chúng với Ví dụ 1: a b a d c f e G1 b c d f e G2 a G3 G4 không b c b a d d c e e f f G3 G4 Nếu chọn đỉnh làm gốc ta có đồ thị có hướng gọi có gốc Việc chọn gốc khácT tạo có Với Với f g a gốc khác gốc a gốc c c dVí dụ : Cho đồ thị T b c e a b f c e a d b g e f d g Cây T xác định gốc - Mỗi đỉnh v khác với gốc có đỉnh u cho có cạnh hướng từ u đến v, u gọi cha v v gọi u - Các đỉnh có cha gọi đỉnh anh em - Các đỉnh nằm đường từ gốc tới đỉnh v khác với gốc gọi tổ tiên v - Một đỉnh gọi a c g e e a d b f c b f d g Cây T có nút : f, g, e, d - Chiều cao đường dài có từ gốc tới Nhiều toán thực tế mô hình hóa có gốc Trong tin học, tìm kiếm phần tử danh sách công việc quan trọng Vấn đề đặt đưa thuật toán hiệu để tìm kiếm phần tử dãy phần tử xếp theo thứ tự Điều nầy thực tìm kiếm nhị phân Định nghóa 2: Cây nhị phân có gốc, đỉnh bên trái bên phải, đỉnh có nhiều bên trái hay nhiều bên phải Cây nhị phân gọi đầy đủ, đỉnh Định nghóa 3: Cây tìm kiếm nhị phân nhị phân, đỉnh gán khóa cho giá trị khóa xác định đỉnh khóa đỉnh lớn khóa tất đỉnh bên trái đồng thời nhỏ khóa tất đỉnh bên phải Ví dụ : Tạo tìm kiếm nhị phân cho dãy số sau 11, 8, 7, 10, 12, 16, 14, 17 11 Caây T1 Nút gốc T 12 Cây T2 16 10 14 17 Ví dụ 2: Tạo tìm kiếm nhị phân cho dãy số sau 8, 5, 20, 2, 6, 1, 3, 7, 25, 15 20 15 25 Một số tính chất đặc trưng Định lý : Cho T đồ thị có n đỉnh Khi khẳng định sau tương đương a) T b) T đồ thị liên thông chu trình c) T đồ thị liên thông có n-1 cạnh d) T đồ thị chu trình có n-1 cạnh Chứng minh: a) b) c) d) a) a) b) : Nếu T T đồ thị liên thông ( theo định nghóa ) Đồng thời T chu trình T có chu trình chứa đỉnh x y T có đường x y b) c) : Giả sử T đồ thị liên thông chu trình , ta chứng minh T có n-1 cạnh phương pháp quy nạp theo n c) d) : Giả sử T đồ thị liên thông có n-1 cạnh Ta cần chứng minh T chu trình Thật vậy, giả sử T có chu trình Do việc loại bỏ cạnh nằm chu trình hoàn toàn không làm tính liên thông đồ thị nên ta giữ nguyên đỉnh loại bỏ dần cạnh khỏi chu trình có T đồ thị T’ nhận cuối đồ thị liên thông chu trình Lưu ý T’ có n đỉnh Sử dụng kết chứng minh b) c) T’ có n – cạnh Điều có nghóa T có nhiều n-1 cạnh Mâu thuẩn chứng tỏ T phải đồ thị chu trình d) a) : Giả sử T chu trình có n1 cạnh Ta cần chứng minh T Do T chu trình nên T khuyên nào, T chứa cạnh e 1, e2 khác liên thuộc hai đỉnh v, w Vậy T đơn đồ thị Giả sử T không liên thông T1, T2,, …, Tk tương ứng có n1, n2 ,…, nk đỉnh thành phần liên thông T Do T không liên thông nên k>1 T1, T2,, …, Tk liên thông, chu trình nên theo kết b) c) suy T1, T2,, …, Tk có tương ứng n1- 1, n2 – 1, …, nk – cạnh Mặt khác, ta lại có số cạnh T ( n-1 ) tổng số cạnh số đỉnh T ( n ) tổng số đỉnh thành phần liên thông Vì : n-1 = n1- + n2 – + … + nk – < (n1 + n2 + … + nk ) – = n – ( Vô lý ) Nên T đồ thị liên thông Định lý chứng minh