ss laplace handout tín hiệu và hệ thống thông tin

ET 2060 Biến đổi L a p l a c e TS. Đặng Quang H i ế u h tt p :// ss . edab k . o r g Trường Đại học Bách Khoa Hà N ộ i Viện Điện t ử - Viễn t h ô n g 2011 - 2012 Giới t h i ệ u về biến đổi L a p l a c e X é t hệ t hống LTI v ớ i đáp ứng xung h(t) và đầu vào x (t) = e s t , t a có: t r o ng đó y (t) = H ( s ) e s t ¸ ∞ H ( s ) = h ( t ) e − s t dt − ∞ ◮ Có t hể coi biến đổi Fourier là t r ư ờ ng hợp riêng của biến đổi Laplace ( v ớ i s = j Ω ) . ◮ Phân t í c h hệ t hống LTI, đặc bi ệ t là t í nh ổn định. ◮ Ứng dụng t r o ng lý t huy ế t mạch, lý t huy ế t điều khiển, v.v. Định n g h ĩ a L t s Biến đổi L a pl a c e L − 1 x (t) ← L X ( s ) t r o ng đó s là biến số phức: s = σ + j Ω . ¸ ∞ X ( s ) ¾ x ( t ) e − s t dt − ∞ Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace của x (t) = e a t u ( t ) Liên hệ với biến đổi F o u r i e r ◮ Biến đổi Fourier là biến đổi Laplace x é t t r ê n t r ục ảo s = j Ω . X (jΩ) = X ( s ) | s = j Ω ◮ Biến đổi Laplace là biến đổi Fourier của x ( t ) e − σ t ¸ ∞ X ( s ) = x ( t ) e − ( σ + j Ω)t dt = F T { x ( t ) e − σ t } − ∞ ◮ Miền hội tụ (ROC) là những giá trị của s t r ê n m ặ t phẳng phức sao cho X ( s ) < ∞ ( t ứ c là t ồ n t ạ i biến đổi Fourier của x ( t ) e − σ t ). Điều kiện hội t ụ: ¸ ∞ | x ( t ) e − σ t | dt < ∞ − ∞ −→ Ví dụ Tìm biến đổi Laplace và vẽ miền hội tụ cho các t r ư ờ ng hợp s a u: (a) x (t) = δ ( t ) (b) x (t) = − e a t u ( − t ) (c) x (t) = e 2 t u(t) + e 3 t u ( − t ) (d) x (t) = c o s ( Ω 0 t ) u ( t ) Điểm cực và điểm không ◮ Điểm cực: s = s p k nếu X ( s p k ) = ∞. ◮ Điểm không: s = s 0k nếu X ( s 0 r ) = 0. ◮ Nếu X ( s ) biểu diễn bởi m ộ t hàm hữu t ỉ : X ( s ) = N ( s ) D ( s ) t hì s p k là nghiệm của đa t hứ c D ( s ) và s 0r là nghiệm của đa t hứ c N ( s ) . Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace và vẽ các điểm cực, điểm không x (t) = δ ( t ) − 3 e − 2 t u(t) + 2 e t u ( t ) Các t í nh c h ấ t của ROC (i) ROC chứa các dải song song v ớ i t r ục ảo t r ê n m ặ t phẳng s . (ii) ROC không chứa các điểm c ự c (iii) Nếu x (t) có chiều dài hữu hạn và ¸ ∞ − ∞ | x ( t ) | dt < ∞ t hì ROC sẽ là cả m ặ t phẳng phức. (iv) Nếu x (t) là dãy m ộ t phía ( t r á i hoặc phải) t hì ROC? (v) Nếu x (t) là dãy hai phía t hì ROC? Biến đổi Laplace n g ư ợ c Áp dụng biến đổi Fourier ng ư ợ c : Ta có: x ( t ) e − σ t = 1 2π ¸ ∞ X (σ + j Ω ) e j Ω t d Ω − ∞ x (t) = 1 2πj ¸ σ + j ∞ σ − j ∞ X ( s ) e s t ds ◮ Nếu X ( s ) là hàm hữu tỷ t hì biến đổi ngược bằng cách khai t r i ể n t hà nh các phân t hứ c tối giản. ◮ Lưu ý về ROC. Ví dụ: Tìm biến đổi ngược của X ( s ) = −5s − 7 ( s + 1 )( s − 1 )( s + 2 ) , ROC : −1 < Re{s} < 1 Các t í nh c h ấ t ◮ Tuyến t í nh ◮ Dịch t hờ i gian: x (t − t 0 ) ← L ◮ Dịch t r ê n miền s: e s 0 t x (t) L e − s t 0 X ( s ) X ( s − s 0 ) ◮ Co dãn: x ( a t ) ← L ←−→ 1 X ( s / a ) | a | ◮ Liên hợp phức: x ∗ ( t ) ← L X ∗ ( s ∗ ) ◮ Chập: x 1 (t) ∗ x 2 (t) ← L X 1 ( s ) X 2 ( s ) ◮ Đạo hàm t r ê n miền t: d x ( t ) L ← − → s X ( s ) ◮ Đạo hàm t r ê n miền s: − t x (t) ← L d X ( s ) d s ◮ Tích phân t r ê n miền t: ¸ t − ∞ x (τ ) d τ = 1 X ( s ) ◮ Định lý giá trị đầu và cuối: Nếu t í n hiệu nhân quả ( x (t) = 0, ∀ t < 0) t hì x ( 0 + ) = li m s →∞ s X ( s ) , li m t →∞ −→ −→ −→ −→ d t −→ s x (t) = lim s X ( s ) s → 0 Hàm t r u y ề n đ ạ t H ( s ) của hệ t h ố n g L T I x ( t ) h ( t ) y ( t ) y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) Biến đổi Laplace cả hai vế, áp dụng t í nh c hấ t chập, t a có: H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) ◮ Hệ t hống nghịch đảo: H inv ( s ) = 1 ◮ Hệ t hống pha tối t hi ể u: H ( s ) và H inv ( s ) đều nhân quả , ổ n định. H ( s ) Hệ t h ố n g LTI nhân quả và ổn định ◮ Nhân quả: ROC của H ( s ) là nửa bên phải của m ặ t phẳng phức ◮ Nhân quả, v ớ i H ( s ) là hàm hữu tỷ: ROC là phần m ặ t phẳng bên phải của điểm cực ngoài cùng. ◮ Ổn định: ROC chứa t r ục ảo ( s = j Ω ) . ◮ Nhân quả, ổn định, H ( s ) hữu tỷ: T ấ t cả các điểm cực của H ( s ) nằm bên t r á i t r ục ảo của m ặ t phẳng phức. ◮ Hệ t hống pha tối t hi ể u: T ấ t cả các điểm cực và đi ể m k hông của H ( s ) đều nằm bên t r á i t r ục ảo. Tìm đáp ứng xung của hệ t h ố n g L T I Cho hệ t hống LTI được biểu diễn bởi phương t r ì nh s a i phân t uy ế n t í nh hệ số hằng: d 3 d 2 d 2 d dt 3 y (t) + 3 dt 2 y (t) − 4 y (t) = 4 dt 2 x (t) + 15 dt x (t) + 8 x ( t ) Hãy t ì m đáp ứng xung h(t) t r o ng t r ư ờ ng hợp hệ t hống nhân quả, ổn định. Biến đổi Laplace m ộ t ph í a Ký hi ệ u: X ( s ) ¾ ¸ ∞ x ( t ) e − s t dt 0 x ( t ) L u X ( s ) Các t í nh c hấ t t ư ơ ng t ự như biến đổi Laplace hai phía, ngoại t r ừ : dx ( t ) dt ←−→ s X ( s ) − x ( 0 − ) Giải phương t r ì nh vi phân t u y ế n t í nh hệ số hằng Cho hệ t hống LTI được biểu diễn bởi phương t r ì nh vi phân t uy ế n t í nh hệ số hằng d 2 d d dt 2 y (t) + 5 dt y (t) + 6 y (t) = x (t) + 6 x ( t ) dt Hãy t ì m đầu ra y (t) của hệ t hống khi có đầu vào x (t) = u(t) , v ớ i các điều kiện đầu: y (0 − ) = 1 và y ′ (0 − ) = 2. ←−→ L u Bài t ậ p 1. Sử dụng hàm r oo t s để t ì m điểm cực và điểm không của hàm t r uy ề n đạ t H ( s ) . 2. Sử dụng hàm r e s i due để phân t í c h H ( s ) hữu tỷ t hà nh các phân t hứ c tối giản. 3. Tìm hiểu về cách sử dụng các hàm tf , zpk, ss, p z m ap , t z e r o , po l e , bode và f r eq r e s p để biểu diễn và phân t í c h hệ t hống .