CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Page 1 BÀI 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0° ĐẾN 180° 1 Định nghĩa Trong mặ[.]
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC IV VEC TƠ BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 I LÝ THUYẾT I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0° ĐẾN 180° Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Với góc α ( 0o ≤ α ≤ 180o ) , ta xác định điểm M , biết M ( x; y ) trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O , cho α = xOM y x Khi đó: sin α = y; cos α = x; tan α = (α ≠ 90o ); cot α = (α ≠ 0o ,180o ) x y Các số sin α ,cos α ,tan α ,cot β gọi giá trị lượng giác góc α y M(x;y) Q O P x Hình 2.1 Chú ý: Với ≤ α ≤ 180 ta có ≤ sin α ≤ 1; − ≤ cos α ≤ o o Dấu giá trị lượng giác Góc sin cos tan cot 90o 0o + + + + 180o + - Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Mối quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù sin(180o ) sin cos(180o ) cos tan(180o ) tan cot(180o ) cot Mối quan hệ giá trị lượng giác hai góc phụ (bổ sung) sin(90o ) cos cos(90o ) sin tan(90o ) cot cot(90o ) tan Giá trị lượng giác góc đặc biệt Góc 00 300 450 600 900 sin 2 cos 2 2 tan 3 || cot || 3 Các hệ thức lượng giác (bổ sung – kết tập) sin α tan α (α ≠ 90o ) ; = cos α cos α cot α (α ≠ 0o ; 180o ) = sin α α (α ≠ 0o ; 90o ; 180o ) tan α cot= sin α + cos α = 1 α + tan = (α ≠ 90o ) cos α α + cot 2= (α ≠ 0o ; 180o ) sin α Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ BÀI TẬP Câu Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức sau: a) ( 2sin 30° + cos135° − tan150° )( cos180° − cot 60° ) ; b) sin 90° + cos 2120° + cos 0° − tan 60° + cot 2135° ; c) cos60°.sin 30° + cos 30° Câu Đơn giản biểu thức sau: a) sin100° + sin 80° + cos16° + cos164° b) 2sin (180° − α ) cot α + cos (180° − α ) tan α cot (180° − α ) với 0° < α < 90° Câu Chứng minh hệ thức sau: 1; a) sin α + cos 2α = tan α b) + = cos 2α (α ≠ 90° ) ; + cot α c) 1= sin α ( 0° < α < 180° ) ; Câu Cho góc α ( 0° < α < 180° ) thỏa mãn tan α = Tính giá trị biểu thức P = 2sin α − 3cosα 3sin α + 2cosα Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ HỆ THỐNG BÀI TẬP II DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP · · · Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt Sử dụng hệ thức lượng giác BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu Tính giá trị biểu thức sau: a) A = a sin 90o + b cos 90o + c cos180o b) B = − sin 90o + cos 60o − tan 45o c) C =sin 450 − 2sin 50o + 3cos 45o − 2sin 40o + tan 55o.tan 35o Câu Tính giá trị biểu thức sau: a) A =sin 3o + sin 15o + sin 75o + sin 87o b) B =cos 0o + cos 20o + cos 40o + + cos160o + cos180o c) C = tan 5o tan10o tan15o tan 80o tan 85o Câu 1: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Giá trị cos 60o + sin 30o bao nhiêu? Câu 2: B Giá trị tan 30o + cot 30o bao nhiêu? Câu 3: 1+ B C 3 Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A C 3 A A sin 0o + cos 0o = D D B sin 90o + cos 90o = Câu 4: −1 C sin180o + cos180o = D sin 60o + cos 60o = Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Câu 5: A cos 60o = sin 30o B cos 60o = sin120o C cos 30o = sin120o D sin 60o = − cos120o Đẳng thức sau sai? A sin 45o + sin 45o = B sin 30o + cos 60o = D sin120o + cos 30o = Câu 6: C sin 60o + cos150o = o o Giá trị cos 45 + sin 45 bao nhiêu? Câu 7: A B C Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? Câu 8: D A sin (180o − α ) = − cos α B sin (180o − α ) = − sin α C sin (180o − α ) = sin α D sin (180o − α ) = cos α Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ A sin 0o + cos 0o = B sin 90o + cos 90o = +1 D sin 60o + cos 60o = Câu 9: Cho α góc tù Điều khẳng định sau đúng? A sin α < B cos α > C tan α < D cot α > Câu 10: Giá trị E = sin 36o cos 6o sin126o cos84o C sin180o + cos180o = −1 B C D −1 2 Câu 11: Giá trị biểu thức A = sin 51o + sin 55o + sin 39o + sin 35o A B C D o o o o o Câu 12: Giá trị biểu thức A = tan1 tan tan tan 88 tan 89 A B C D o o o o o 2 o Câu 13: Tổng sin + sin + sin + + sin 84 + sin 86 + sin 88 A 21 B 23 C 22 D 24 o o o o o Câu 14: Giá trị A = tan tan10 tan15 tan 80 tan 85 A B C D −1 2 ° ° ° ° Câu 15: Giá trị B = cos 73 + cos 87 + cos + cos 17 A B C −2 D A DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC , KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP · · · Dựa vào hệ thức lượng giác Dựa vào dấu giá trị lượng giác Sử dụng đẳng thức đáng nhớ BÀI TẬP TỰ LUẬN với 900 < α < 1800 Tính cos α tan α Câu Cho cos α = − sin α > Tính sin α cot α Câu Cho tan γ = −2 tính giá trị lượng giác cịn lại Câu Cho sin α = tan α + 3cot α với 00 < α < 900 Tính A = tan α + cot α sin α − cos α Câu Cho tan α = Tính B = sin α + 3cos3 α + sin α Câu Biết sin x + cos x = m Câu Cho cos α = a) Tìm sin x − cos x b) Chứng minh m ≤ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Tính biểu thức = P 3sin x + cos x 13 11 A B C 4 Biết cos α = Giá trị biểu thức = P sin α + cos α là: 11 10 A B C 9 Cho biết tan α = Tính cot α A cot α = B cot α = C cot α = π cos α = − 0 Tìm BM A x = 5a x để AM C x = 4a B x = a 12 vng góc với NP D x = a Lời giải 12 Chọn A AB = b a2 a.cos60 Đặt , ta có b= c= = a b.c a= AC = c Ta có AM =AB + BM =b + BC =b + c − b =1 b + 2c ( ( ) ) x x 1 PN = AN − AP =AC − AB = − b + c = −3 xb + ac a a 3a Theo u cầu tốn ta có AM ⊥ PN ⇔ AM PN =0 ⇔ b + 2c −3 xb + ac =0 ( ) ( )( ) Page 16 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ 2 2 a3 ⇔ −3xb + a b.c − x b.c + 2ac = ⇔ −3xa + − 3xa + 2a = ( ) ( ) 5a ⇔x= 12 Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC Biết A ( 3; −1) , B ( −1; ) I (1; −1) trọng tâm tam giác ABC Trực tâm H tam giác ABC có tọa độ ( a; b ) Tính a + 3b A a + 3b = B a + 3b = − Chọn A C a + 3b = D a + 3b = −2 Lời giải A H B C Giả sử C ( xC ; yC ) H ( xH ; y H ) Có I trọng tâm tam giác ABC nên ta có x A + xB + xC = xI x =1 ⇒ C (1; −4 ) ⇒ C y = − y + y + y C A B C = yI Ta có AH = ( xH − 3; yH + 1) ; BC =( 2; −6 ) BH =( xH + 1; yH − ) ; AC =( −2; −3) H trực tâm tam giác ABC nên 10 xH = AH BC = 0 ( xH − 3) − ( yH + 1) = ⇔ ⇔ x y − + − − = ( ) ( ) BH AC = H H y = − H ⇒a= 10 ; b = − ⇒ S = 3 Câu 51: Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = 2a , cạnh đáy AD = a BC = 3a Gọi M điểm đoạn AC cho AM = k AC Tìm k để BM ⊥ CD A B C Lời giải D Chọn D Page 17 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho gốc tọa độ trùng với điểm B , điểm A thuộc trục Oy điểm C thuộc trục Ox Theo ta có B(0;0), A(0; 2), C (3;0), D(1; 2) x = 3t Khi AC = (3; −2) Phương trình tham số đthẳng AC y= − 2t Gọi M ∈ AC ⇒ M (3t ; − 2t ) Ta có BM = (3t ; − 2t ) DC = (2; −2) 6 6 Để BM ⊥ DC BM DC = ⇔ 6t − + 4t = ⇔ t = ⇒M ; 5 5 −4 Khi AM = ; ⇒ AM = 5 52 AC = ( 3; −2 ) ⇒ AC = 13 AM 52 Vì AM = k AC AM , AC chiều ⇒ = = = k AC 13 Câu 52: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( −3;0 ) , B ( 3;0 ) C ( 2;6 ) Gọi H ( a; b ) tọa độ trực tâm tam giác cho Tính a + 6b A a + 6b = B a + 6b = C a + 6b = Lời giải Chọn C Ta có AH= ( a + 3; b ) , BC = ( −1;6 ) , BH= ( a − 3; b ) , AC = ( 5;6 ) D a + 6b = a = AH BC = AH ⊥ BC −a + 6b = ⇔ Vì H trực tâm ∆ABC nên ⇔ ⇔ 15 BH ⊥ AC 5a + 6b = b = BH AC = ⇒ a + 6b = Câu 53: Cho hai điểm B, C phân biệt Tập hợp điểm M thỏa mãn CM CB = CM : B Đường tròn ( B; BC ) A Đường trịn đường kính BC C Đường tròn ( C ; CB ) D Một đường khác Lời giải Page 18 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Chọn A CM CB = CM ⇔ CM CB − CM = ⇔ CM MB = Tập hợp điểm M đường tròn đường kính BC Câu 54: Cho ba điểm A, B, C phân biệt Tập hợp điểm M mà CM CB = CA.CB : A Đường trịn đường kính AB B Đường thẳng qua A vng góc với BC C Đường thẳng qua B vng góc với AC D Đường thẳng qua C vng góc với AB Lời giải Chọn B CM CB = CA.CB ⇔ CM CB − CA.CB = ⇔ CM − CA CB = ⇔ AM CB = ( ) Tập hợp điểm M đường thẳng qua A vng góc với BC Câu 55: Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK = 3KJ , I trung điểm cạnh AB ,điểm K thỏa mãn KA + KB + KC = Một điểm M thay đổi thỏa mãn 3MK + AK MA + MB + MC = ( )( ) Tập hợp điểm M đường đường sau A Đường trịn đường kính IJ C Đường trịn đường kính JK B Đường trịn đường kính IK D Đường trung trực đoạn JK Lời giải A I K B C J Chọn C Ta có: MA + MB + MC= MK + KA + KB + KC= MK AB AC , mà AK = 3KJ nên Lấy điểm J thỏa mãn AK = 3KJ Ta có AK = AI + AC = + AJ = AK + KJ = AK + AK = AK = AB + AC 3 3 ( ) AJ − AB =AB + AC − AB = − AB + AC =BC Lại có BJ = 3 3 Suy J điểm cố định nằm đoạn thẳng BC xác định hệ thức BJ = BC Ta có 3MK + AK = 3MK + 3KJ = 3MJ 3MJ MK =⇔ MJ MK = Như 3MK + AK MA + MB + MC =⇔ ( )( ) ( )( ) Page 19 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Từ suy điểm M thuộc đường trịn đường kính JK Vì J , K điểm cố định nên điểm M ln thuộc đường trịn đường kính JK đường tròn cố định DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ Câu 56: Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , cho AB = ( 6; ) Tính AB ? A AB = 10 B AB = 20 C AB = 10 D AB = 10 Lời giải Chọn A AB = 62 + 22 = 40 = 10 Câu 57: Cho hai điểm A (1;0 ) B ( −3;3) Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB = 13 B AB = C AB = Lời giải D AB = Chọn D AB = ( −3 − 1) + ( − ) 2 = Câu 58: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (1; ) ; B ( −1;1) Điểm M thuộc trục Oy thỏa mãn tam giác MAB cân M Khi độ dài đoạn OM A B C 2 Lời giải D Chọn B Điểm M thuộc trục Oy ⇒ M ( 0; y ) Ta có tam giác MAB cân M ⇔ MA = MB ⇔ 12 + ( − y ) = ( −1) + (1 − y ) 3 ⇔ − y =1 − y ⇔ y = Vậy OM = 2 Câu 59: Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm ( I ) ABCD ( II ) ABCD ( III ) AC A ( 2;1) B ( 2; −1) C ( −2; −3) D ( −2; −1) , , , Xét ba mệnh đề: hình thoi hình bình hành cắt BD M ( 0; −1) Chọn khẳng định A Chỉ ( I ) B Chỉ ( II ) C Chỉ ( II ) ( III ) D Cả (I), (II), (III) Page 20 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Lời giải Chọn C Ta có AB = ( 0; −2 ) ; DC = ( 0; −2 ) ; AC =( −4; −4 ) Suy AB , AC không phương AB = DC Nên ABCD hình bình hành Vậy mệnh đề Suy AC cắt BD trung điểm đường điểm có tọa độ M= (0; −1) , suy Ta có AB = ( 0; −2 ) , suy AB =−2 =2 ; AD =( −4; −2 ) , suy AD = 20 , nên AB ≠ AD , suy ABCD khơng hình thoi Mệnh đề sai Câu 60: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ∆ABC có A ( −1; ) , B ( 2;5 ) , C ( −2;7 ) Hỏi tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC cặp số nào? A ( −2;6 ) B ( 0;6 ) C ( 0;12 ) D ( 2;6 ) Lời giải Chọn B Ta có: AB = ( 3;1) ⇒ AB = 10 AC = ( −1;3) ⇒ AC =10 BC = ( −4; ) ⇒ BC =20 Nhận thấy AB + AC = BC AB = AC nên ∆ABC tam giác vuông cân A , suy tâm I trung điểm cạnh huyền BC Vậy I ( 0;6 ) Câu 61: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (1; −17 ) ; B ( −11; −25 ) Tìm tọa độ điểm C thuộc tia BA cho BC = 13 A C ( −14; −27 ) B C ( −8; −23) C C ( −14; −27 ) C ( −8; −23) D C (14; 27 ) C ( 8; 23) Lời giải Chọn B Giả sử C ( xC ; yC ) Theo ta có C thuộc tia BA nên BC ; BA hướng x + 11 yC + 25 = = k Với BC = ( xC + 11; yC + 25) ; BA = (12;8) ta có: BC = k BA ( k > ) ⇔ C 12 8 x − 212 x − 53 ⇔ yC =C (1) ⇔ xC − 12 yC − 212 = ⇔ yC =C 12 +) BC = 13 ⇔ ( xC + 11) + ( yC + 25) 2 = 13 ⇔ ( xC + 11) + ( yC + 25 ) = 13 (2) 2 Page 21 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Thế (1) vào (2) ta được: 2 x − 53 13 2 x + 22 13 13 ⇔ ( xC + 11) = 13 ⇔ ( xC + 11) + C + 25 = ( xC + 11) + C = 3 xC = −14 ⇔ ( xC + 11) =⇔ x = −8 C 2.(−14) − 53 = −27 Với xC = −14 vào (1) ta được: yC = k Khi = −14 + 11 −3 −1 = = < 12 12 Với xC = −8 vào (1) ta được: yC = Khi k= 2.(−8) − 53 = −23 −8 + 11 = = > 12 12 Vậy C ( −8; −23) Câu 62: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M ( 3;1) Giả sử A ( a ;0 ) B ( 0; b ) hai điểm cho tam giác MAB vng M có diện tích nhỏ Tính giá trị biểu thức T= a + b2 A T = 10 B T = C T = D T = 17 Lời giải Chọn A Ta có MA =( a − 3; − 1) , MB =( −3; b − 1) MAB tam giác vuông M MA.MB = ⇔ −3 ( a − 3) − ( b − 1) = ⇔ b = 10 − 3a (*) Với a ≥ 0, b ≥ suy ≤ a ≤ S MAB = 1 MA.MB = 2 Do S MAB = ( a − 3) 10 (**) + + ( b − 1) = 3 3 a − 6a + 10 ) = ( a − 3) + ≥ ( 2 2 đạt a = , b = Vậy T = a + b2 = 10 Page 22