Parabolic (bo sung) HK1 0607

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6 BỔ SUNG PARABOLIC • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Phân hoạch Ω : Lưới theo x độ dài Δx, theo t độ dài Δt ⇒ Các đường thẳng x = i Δx, t = k Δt Miền Ω = { (x,t) | 0 ≤ x ≤ 1 , t ≥ 0 } x t 1 Ω 0 = u0=u ( ) x u 0 t Δ x Δ Xấp xỉ ∂u/∂t, ∂u/ ∂x & ĐK biên, đầu ⇒ Giá trò u tại điểm chia Bài toán truyền nhiệt & đkiện biên thuần nhất + đk đầu 10),()0,( 0 ≤ ≤ = x x u x u 0,10),,(),(),( 2 2 2 ><<= ∂ ∂ − ∂ ∂ txtxftx x u atx t u 0,0),1(),0( > = = t t u t u MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN TIẾN Xây dựng công thức tính u (1) (mức thời gian 1) theo u (0) với Δt = 0.2, Δx = 0.5 bởi: Sai phân tiến theo t từ mốc thời gian 0 () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤−=>== ><<= ∂ ∂ − ∂ ∂ === 444443444442144443444421 05.1&0: 2 2 5.10,5.1)0,(;0,0),5.1(),0( 0,5.10,),(),( txx xxxxuttutu txxttx x u tx t u :ĐầuKiệnĐiềuBiênKiệnĐiều Tiến: () 2.0 5.0 0,5.0 1 1 − ≈ ∂ ∂ u t u () () 2 2 2 5.0 05.025.0 0,5.0 +×− ≈ ∂ ∂ x u 5.0= x 0.1 = x 2.0 5.1 = x t 0 5.0 0 () 0 u 0 1 1 u 1 2 u 0 0= x 5.0 05.0)0,5.0()0,5.0( 2 2 ×= ∂ ∂ − ∂ ∂ x u t u 0 5.0 5.0 2.0 5.0 2 1 1 = − − − ⇒ u 1.0 1 1 = ⇒ u MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN LÙI Xây dựng công thức tính u (1) (mức thời gian 1) theo u (0) với Δt = 0.2, Δx = 0.5 bởi: Sai phân lùi theo t từ mốc thời gian 1 () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤−=>== ><<= ∂ ∂ − ∂ ∂ === 444443444442144443444421 05.1&0: 2 2 5.10,5.1)0,(;0,0),5.1(),0( 0,5.10,),(),( txx xxxxuttutu txxttx x u tx t u :ĐầuKiệnĐiềuBiênKiệnĐiều 5.0= x 0.1 = x 2.0 5.1 = x t 0 5.0 0 () 0 u 0 1 1 u 1 2 u 0 0= x 5.0 2.05.0)2.0,5.0()2.0,5.0( 2 2 ×= ∂ ∂ − ∂ ∂ x u t u 1.0 5.0 2 2.0 5.0 2 1 1 1 2 1 1 = − − − − ⇒ uuu () 2.0 5.0 2.0,5.0 1 1 − − ≈ ∂ ∂ u t u () () 2 1 0 1 1 1 2 2 2 5.0 2 2.0,5.0 uuu x u +− ≈ ∂ ∂ Lùi: PHÂN HOẠCH VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC Ox: Các đoạn độ dài Δx = l/(n+1) Ot (t > 0) : Các đoạn độ dài Δt Nút (iΔx, kΔt) ⇒ u(iΔx, kΔt)= u i k () ( ) () 4444434444421444344421 l 0 00 0 &0 10 10,;0,0 === + + → = = Δ = ≥== t ii xx k n k niuxiuukuu ĐầuBanKiệnĐiềuBiênKiệnĐiều Điều kiện biên: THUẦN NHẤT (u = 0) tại x = 0, x = l và điều kiện ban đầu (t = 0): () 0 0 u () x u Δ 0 ( ) x u Δ 2 0 () t u Δ,0 1 1 u 1 2 u 2 1 u 2 2 u SƠ ĐỒ SAI PHÂN VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC [ ][ ] T k n kk T k n kk fffuuu ,,,,, 1 )( 1 )( KK == Ký hiệu: () () 00 , fu () () 11 , fu () () 22 , fu 1 1 u 1 2 u 1 3 u 2 1 u 2 2 u 2 3 u Biết u (0) , f (k) ∀ k ≥ 0. Giả sử biết u (k) ⇒ Cần tính u (k+1) () txf x u a t u , 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ Sai phân tiến: () t k x i ΔΔ , () () k i fki x u aki t u = ∂ ∂ − ∂ ∂ ,, 2 2 2 () t uu ki t u k i k i Δ − = ∂ ∂ + 1 , () () 2 11 2 2 2 , x uuu ki x u k i k i k i Δ +− = ∂ ∂ −+ Lùi: () 1 1, + =−+ ∂ ∂ k i fki t u K ( )() t k xi Δ + Δ 1, t uu t u k i k i Δ − = ∂ ∂ + 1 () 2 1 1 11 1 2 2 2 x uuu x u k i k i k i Δ +− = ∂ ∂ + − + + + HIỆN (TIẾN) – ẨN (LÙI) (ĐK BIÊN THUẦN NHẤT) Biết u (0) ,f (k) ∀k ≥ 0. Giả sử biết u (k) ⇒ Cần tính u (k+1) . 2 2 )( )( x ta Δ Δ = λ )()()1( ).( kkk ftAuu Δ+= + Hiện: Ma trận vuông A Ẩn: )1()()1( ).( + + Δ+= kkk ftuBu Ma trận vuông B ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = λλ λ λλλ λ λ 2100 00 0021 0021 K OOOOM OO K KK A Tính trực tiếp: u (k) sang u (k+1) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − −+− − + = λλ λ λλλ λ λ 2100 00 0021 0021 K OOOOM OO K KK B Giải hệ p/trình: u (k) → u (k+1) VÍ DỤ (ĐIỀU KIỆN BIÊN THUẦN NHẤT) Tính u tại t = 0.2 với Δt = 0.1, Δx = 0.25: a/ Sđồ hiện b/ Sđồ ẩn ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤=>== ><<= ∂ ∂ − ∂ ∂ 10,sin)0,(;0,0),1(),0( 0,10,sin),(),( 2 2 xxxuttutu txxttx x u tx t u π π f(x,t) = sin(πxt) , u 0 (x) = sin(πx) , a = 1 ⇒λ= 1.6. 3 mốc giữa ⇒ ma trậncấp3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 2.26.10 6.12.26.1 06.12.2 A a/ u (k+1) = A⋅u (k) + (Δt)⋅f (k) b/ B.u (k+1) = u (k) + (Δt)⋅f (k+1) = b (k+1) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − = 2.46.10 6.12.46.1 06.12.4 B KẾT QUẢ TÍNH TOÁN f(x,t) = sin(πxt) , u 0 (x) = sin(πx) a/ Sơ đồ hiện: () () () K= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅+ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − =⋅Δ+= 0 0 0 1.0 707.0 .1 707.0 2.26.10 6.12.26.1 06.12.2 001 ftAuu () () 11 730.0 016.1 715.0 233.0 156.0 078.0 1.0 707.0 .1 707.0 2.46.10 6.12.46.1 06.12.4 uu ⇒ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅+ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − ( ) () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅+ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − =⋅Δ+= 233.0 156.0 078.0 1.0 045.0 062.0 045.0 2.26.10 6.12.26.1 06.12.2 112 ftAuu b/ Sơ đồ ẩn: Bu (1) = u (0) + Δt.f (1) ⇒ PARABOLIC – ĐK BIÊN HẰNG SỐ, KHÁC 0 10),()0,( 0 ≤ ≤ = x x u x u 0,10),,(),(),( 2 2 2 ><<= ∂ ∂ − ∂ ∂ txtxftx x u atx t u 0,),1(&),0( > = = t t u t u β α Bài toán truyền nhiệt & điều kiện biên khác 0 + đk đầu x t 1 Ω () x u 0 t Δ x Δ α =u β = u Giá trò λ, ma trận A, B: không đổi Hiện: ( ) ( ) ( ) cftAuu kkk λ + ⋅ Δ + = +1 Ẩn: ( ) ( ) ( ) cftuBu kkk λ + ⋅ Δ + = + + 11 Thêm vectơ c: [ ] βαβα , đầu 2 :,00, T c K= [...].. .PARABOLIC – ĐK BIÊN TỔNG QUÁT (THAY ĐỔI) - BT truyền nhiệt & điều kiện biên tổng quát + đk đầu ∂ 2u ∂u ( x, t ) − a 2 2 ( x, t ) = f ( x, t . BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6 BỔ SUNG PARABOLIC • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Phân hoạch Ω : Lưới theo x độ dài Δx, theo t độ dài Δt. 1 () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤−=>== ><<= ∂ ∂ − ∂ ∂ === 444443444442144443444421 05.1&0: 2 2 5.10,5.1)0,(;0,0),5.1(),0( 0,5.10,),(),( txx xxxxuttutu txxttx x u tx t u :ĐầuKiệnĐiềuBiênKiệnĐiều 5.0= x 0.1 = x 2.0 5.1 = x t 0 5.0 0 () 0 u 0 1 1 u 1 2 u 0 0= x 5.0 2.05.0)2.0,5.0()2.0,5.0( 2 2 ×= ∂ ∂ − ∂ ∂ x u t u 1.0 5.0 2 2.0 5.0 2 1 1 1 2 1 1 = − − − − ⇒ uuu () 2.0 5.0 2.0,5.0 1 1 − − ≈ ∂ ∂ u t u () () 2 1 0 1 1 1 2 2 2 5.0 2 2.0,5.0 uuu x u +− ≈ ∂ ∂ Lùi: PHÂN HOẠCH VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC Ox: Các đoạn độ dài Δx = l/(n+1) Ot (t > 0) : Các đoạn độ dài Δt Nút (iΔx, kΔt). 0): () 0 0 u () x u Δ 0 ( ) x u Δ 2 0 () t u Δ,0 1 1 u 1 2 u 2 1 u 2 2 u SƠ ĐỒ SAI PHÂN VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC [ ][ ] T k n kk T k n kk fffuuu ,,,,, 1 )( 1 )( KK == Ký hiệu: () () 00 , fu () () 11 ,