KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

Chơng iii Không gian trạng thái (6 tiết) Trạng thái ( State): Trạng thái là một phần nhỏ nhất 3.1. Các mô hình không gian trạng thái * Phơng trình trạng thái: Là một dạng mô hình toán học mô tả hệ thống, thể hiện đặc tính động học của hệ thống đợc thể hiện qua các biến trạng thái x 1 (t), x 2 (t), , x n (t) bên trong hệ thống. Để hiểu trạng thái hệ thống là gì ta có ví dụ sau: - Điều khiển động cơ: Tín hiệu ra của động cơ là tốc độ quay, ngoài ra còn có những thông số khác của động cơ mà trong quá trình hoạt động có dao động và ảnh hởng đến cả quá trình làm việc của động cơ. Những yếu tố này cũng cần đợc quan tâm trong thiết kế bộ điều khiển của động cơ nh: gia tốc động cơ, sự tổn hao năng lợng - Điều khiển cần cẩu: Bên cạnh quãng đờng mà hàng đợc cẩu đi ngời thiết kế cần quan tâm tốc độ vận chuyển, độ lắc của hàng trong quá trình vận chuyển. Vậy khái niệm trạng thái đợc hiểu rộng hơn khái niệm tín hiệu ra. Nếu đã là tín hiệu ra thì phải trực tiếp đo đợc ( nhờ các thiết bị đo), còn ở biến trạng thái thì không nh vậy. Mà chỉ có thể xác định biến trạng thái thông qua tín hiệu đo đợc khác. * Xét hệ thống: Hệ thống có: m: tín hiệu vào u(t) r: tín hiệu ra y(t) * Không gian trạng thái: Một hệ thống có r tín hiệu vào u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t) u r (t) m tín hiệu ra: y 1 (t), y 2 (t), y 3 (t) y m (t) Xác định n biến trạng thái: x 1 (t), x 2 (t) x n (t) Vậy hệ thống đợc mô tả bởi phơng trình không gian trạng thái nh sau: =(t)x 1 . f 1 (x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r ; t) . . . =)( . tx n f n (x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r ; t) Đại lợng ra: y 1 (t) = g 1 (x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r ; t) . . . y m (t) = g m (x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r ; t) =(t)x . (t)x . . . (t)x (t)x n . 2 . 1 . f(x, u, t) = t);u, ,u,u;x, ,x,(xf t);u, ,u,u;x, ,x,(xf t);u, ,u,u;x, ,x,(xf r21n21n r21n212 r21n211 Phơng trình trạng thái: =)( . tx f(x, u, t) y(t) = g(x, u, t) Hoặc dới dạng ma trận: =)( . tx A(t). x(t) + B(t). u(t) y(t) = C(t). x(t) + D(t). u(t) + + D(t) C(t) A(t) dt u(t) y(t) B(t) x(t) x(t) . + + u(t) y(t) k b m m k b u(t) y(t) Sơ đồ khối: 3.1.1. Các mô hình không gian trạng thái và các phơng trình vi phân Trớc tiên xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1: Xây dựng mô hình toán của hệ thống lò xo- trọng khối- giảm chấn nh hình vẽ. u(t) là lực tác động vào hệ thống, y(t) là lợng di chuyển của hệ thống. K: Độ cứng của lò xo B: Hệ số giảm chấn Giải: Để thành lập đợc mô hình toán của hệ thống ta cần vận dụng đợc định luật II Newtơn và nguyên lý di chuyển khả dĩ, Ta coi u(t) là tác động vào hệ thống Y(t) là đáp ứng của hệ thống. Theo định luật II Newtơn ta có phơng trình chuyển động của hệ thống là: u(t)k.y(t) dt dy(t) b. dt y(t)d m. 2 2 =++ (1) Đặt: x 1 (t) = y(t) x 2 (t) = dt dy(t) =(t)x 1 . dt dy(t) = x 2 (t) =(t)x 2 . 2 2 dt y(t)d = .u(t) m 1 (t)k.x(t).x m b 12 + Vậy phơng trình trạng thái dạng ma trận là: =(t)x . (t)x (t)x 2 . 1 . = m b k 1 0 . x x 2 1 + m 1 0 .u y(t) = [ ] 0 1 . x x 2 1 Các ma trận hệ số của không gian trạng thái: A = m b k 1 0 ; B = m 1 0 ; C= [ ] 0 1 ; D = 0 Ví dụ 2: Xây dựng mô hình toán của hệ thống sau: m 1 k 1 u(t) x 1 b m 2 x 2 k 1 k 2 k 3 U(t) di chuyển của cả hệ so với mặt đất ( tín hiệu vào hệ thống) Tại t = 0 tốc độ di chuyển của xe là không đổi, =(t)u . const Y(t) là di chuyển so với thân xe của hệ thống ( Tín hiệu ra) B: Hệ số giảm chấn K: Độ cứng của lò xo Theo định luật II Newtơn: F = m. a Đối với vật m: u(t))-k.(y(t)) dt du(t) dt dy(t) b.( dt y(t)d m. 2 2 = k.u(t) dt du(t) b.k.y(t) dt dy(t) b. dt y(t)d m. 2 2 +=++ Biến đổi Laplace hai vế phơng trình trên ta có: ( m.s 2 + b.s + k). Y(s) =( b. s + k). U(s) Hàm truyền đạt: G(s) = U(s) Y(s) = kb.sm.s kb.s 2 ++ + Xây dựng mô hình không gian trạng thái: Từ phơng trình vi phân: .u(t) m k dt du(t) . m b .y(t) m k dt dy(t) . m b dt y(t)d 2 2 +=++ Đặt các biến trạng thái: x 1 = y(t) x 2 = dt tdy )( - m b .u(t) = 1 . x x 2 + m b .u(t) = 2 . x - m b .x 2 - m k .x 1 + [ m k + ( m b ) 2 ].u(t) Vậy phơng trình trạng thái: =(t)x . (t)x (t)x 2 . 1 . = m b 1 0 m k . x x 2 1 + + 2 )( m b m k m b .u(t) y(t) = [ ] 0 1 . x x 2 1 Ví dụ 3: F lx 1 F lx 21 F b 1 F lx 22 F b 2 x 1 u(t) m 1 F b 2 F lx 22 F b 1 F lx 21 m 2 x 2 F lx 3 Cho hệ thống nh hình vẽ với k 1 , k 2 , k 3 là các hệ số lò xo 1, 2, 3 m 1 , m 2 Khối lợng b: hệ số giảm chấn x 1 , x 2 dịch chuyển của m 1 và m 2 u(t) lực tác động lên hệ thống Xét lực tác dụng lên từng vật: F lx1 = k 1 . x 1 F lx21 = k 2 . x 1 F lx22 = k 2 . x 2 F b1 = b. 1 . x F b2 = b. 2 . x Theo định luật II Newton ta có phơng trình vi phân mô tả chuyển động của vật: m 1 . 1 x = -k 1 . x 1 k 2 ( x 1 x 2 ) b.( 1 . x - 2 . x ) + u Xét vật II: Theo định luật II Newton ta có phơng trình vi phân: m 2 . 2 x = -k 3 . x 2 k 2 ( x 2 x 1 ) b.( 2 . x - 1 . x ) Từ 2 phơng trình trên ta có: m 1 . 1 x + k 1 . x 1 + k 2 . x 1 + b. 1 . x = k 2. x 2 + b. 2 . x + u (3.1) m 2 . 2 x + k 3 . x 2 + k 2 x 2 + b. 2 . x = k 2 x 1 + b. 1 . x (3.2) Biến đổi Laplace 2 phơng trình trên: (m 1 . s 2 + b. s + k 1 +k 2 ). X 1 (s) = (b.s + k 2 ).X 2 (s) + U(s) (3.1) (m 2 .s 2 + b.s + k 2 + k 3 ). X 2 (s) = (b.s + k 2 ).X 1 (s) (3.2) Từ (3.2) X 2 (s) = ) k k b.s .s(m (s)).X k (b.s 3222 12 +++ + Hoặc X 1 (s) = ) k (b.s (s)).X k k b.s .s(m 2 23222 + +++ Thay thế vào (3.1): (m 1 . s 2 + b. s + k 1 +k 2 ). X 1 (s) = (b.s + k 2 ). ) k k b.s .s(m (s)).X k (b.s 3222 12 +++ + + U(s) M m.g G u V H x y 0 P 2l x ) k k b.s .s(m (s)].X) k k b.s .sm 3222 13222 +++ +++ 2 22121 )k + (b.s - ).(k+k + s b. + s .[(m = U(s) (3.3) (m 1 . s 2 + b. s + k 1 +k 2 ). ) k (b.s (s)).X k k b.s .s(m 2 23222 + +++ = (b.s + k 2 ).X 2 (s) + U(s) 2 2 2 22121 )k + (b.s )k + (b.s - ).(k+k + s b. + s .[(m (s)].X) k k b.s .sm 23222 +++ = U(s) (3.4) Hàm truyền đạt của hệ thống: G(s) = G 1 (s). G 2 (s) Với G 1 (s) = U(s) (s)X 1 và G 2 (s) = U(s) (s)X 2 Từ (3.3): G 1 (s) = U(s) (s)X 1 = 2 22121 )k + (b.s - ).(k+k + s b. + s .(m ) k k b.s .sm ) k k b.s .s(m 3222 3222 +++ +++ G 2 (s) = U(s) (s)X 2 = 2 22121 2 2 )k + (b.s- ).(k+k + s b. + s .(m )k + (b.s ) k k b.s .sm 3222 +++ Ví dụ 4: Cho hệ thống con lắc ngợc nh hình vẽ. Xây dựng mô hình toán của hệ thống, biết cần có chiều dài 2l, khối lợng m và góc lắc , Cần gắn lên vật di chuyển có khối lợng M. Xác định toạ độ trọng tâm G của cần lắc: X G = x + l. sin Y G = l. cos Chuyển động của cần lắc so với trọng tâm I. = V.l.sin H.l.cos (4.1) I: là mô men quán tính của cần so với trọng tâm V là dịch chuyển theo phơng y H dịch chuyển theo phơng x. H = x)(l.sin dt d m. 2 2 + (4.2) l P 0 y x u m.g M V = m.g (l.cos dt d m. 2 2 + ) (4.3) Dịch chuyển của vật M theo phơng ngang là: Hu dt xd .M 2 2 = (4.4) Đối với dao động của con lắc ngợc luôn mong muốn (t) rất nhỏ, nên trong phơng trình trên coi nh: sin cos 1 và . = 0 Từ (4.1): I. = V.l. H.l (4.2): H = x)(l.sin dt d m. 2 2 + = ) x(-l. dt d m. + = ) xl. m.( + (4.3): V = m.g m.l. m.g l. (- dt d m. m.g (l. dt d m. 2 2 +=+=+ )) I. = ( m.g m.l. + ).l. ) xl. m.( + .l I. - m.g .l. + x.l.l m. 2 + = 0 (I + x.l).l m. 2 + = m.g .l. Là phơng trình vi phân mô tả chuyển động của hệ thống. (4.4): = ux.M ) xl. m.( + (M- m). x + m.l. = u (4.5) Đây là phơng trình vi phân mô tả hệ thống. Ví dụ 5: Xây dựng mô hình toán của hệ thống nh hình vẽ sau: Trọng tâm là trùng tâm của quả cầu, momen quán tính I 0 Phơng trình vi phân mô tả chuyển động của hệ: (M + m). x + m.l. = u (5.1) m.l 2 . + m.l. x = m.g.l. (5.2) Biến đổi Laplace 2 phơng trình trên: (M + m). s 2 . X(s) + m.l.s 2 .(s) = U(s) (5.3) m.l 2 .s 2 .(s) + m.l.s 2 .X(s) = m.g.l.(s) (5.4) (m.l 2 .s 2 - m.g.l).(s) = - m.l.s 2 .X(s) X(s) = 2 22 m.l.s - m.g.l) s(m.l . (s) Thay vào (5.3): (M + m). s 2 . 2 22 m.l.s - m.g.l) s(m.l . (s) + m.l.s 2 .(s) = U(s) [-(M + m).( l.s 2 g) + m.l.s 2 ].(s) = U(s) Hàm truyền đạt: G(s) = g m).M(M.l.s- 1 m.l.s g) -l.s m).( (M- 1 )s(U )s( 222 ++ = ++ = Xây dựng phơng trình trạng thái: Đặt các biến trạng thái: x 1 = x 2 = . x 3 = x x 4 = . x y 1 = y 2 = x ( Hệ thống có 2 đáp ứng) Từ (5.1): (M + m). x + m.l. = u = -( l.m mM + ). x + l.m 1 .u (5.2): m.l 2 . + m.l. x = m.g.l. = - l 1 x + l g Thay vào phơng trình (5.1): (M + m). x + m.l.(- l 1 x + l g ) = u x = - M g.m + M 1 u = -( l.m mM + ).(- M g.m + M 1 u) + l.m 1 .u = + . l.M g).mM( - l.M 1 .u 1 . x = x 2 2 . x = + . l.M g).mM( - l.M 1 .u = . l.M g).mM( + x 1 - l.M 1 .u 3 . x = x 4 4 . x = - M g.m + M 1 u = - M g.m .x 1 + M 1 u Phơng trình trạng thái của hệ thống: =(t)x . (t)x (t)x (t)x (t)x . 4 . 3 2 . 1 . = + 0 0 0 g. M m 1 0 0 0 0 0 0 g. M.l mM 0 0 1 0 . 4 3 1 1 x x x x + M 1 0 M.l 1 0 .u 2 1 y y = 0 1 0 0 0 0 0 1 . 4 3 1 1 x x x x * Xây dựng phơng trình trạng thái từ phơng trình vi phân: - Cho phơng trình vi phân tuyến tính bậc n: n n dt yd + a n-1 . 1n 1n dt yd + + a 1 . dt dy + a 0 . y = u Với các điều kiện ban đầu n n 2 2 dt y(0)d ; ; dt y(0)d ; dt dy(0) ( t 0) Đặt các biến trạng thái: x 1 (t) = y(t) x 2 (t) = dt dy(t) . . . x n (t) = 1n 1n dt y(t)d Nên: 1 . x = x 2 2 . x = x 3 1n . x = x n n . x = - a n-1 .x n - a n-2 . x n-1 - - a 1 . x 2 - a 0 .x 1 + u Vậy phơng trình trạng thái: =(t)x . (t)x . . . (t)x (t)x . n 2 . 1 . = a- a- . . . a- a- 1 0 . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 0 0 0 . . . 0 1 0 1-n2-n10 . n 2 1 x . . . x x + 1 . . . 0 0 .u y(t) = [ ] 0 0 . . . 0 1 . n 2 1 x . . . x x U(s) Y(s)/U(s) V(s)/U(s) Y(s)V(s) S 1 1 S 1 S U(s) Y(s) -a 0 -a 1 -a n-1 b n b 2 b 1 b 0 s V(s) n n-1 s V(s) s V(s) V(s) . . . . . . . . . - Phơng trình vi phân có dạng nh sau: n n dt y(t)d + a n-1 . 1n 1n dt y(t)d + + a 1 . dt dy(t) + a 0 . y(t) = = b n . n n dt u(t)d + b n-1 . 1n 1n dt )t(ud + + b 1 . dt du(t) + b 0 . u(t) Để xây dựng đợc phơng trình trạng thái từ phơng trình vi phân trên cần hiểu về các dạng mô hình trạng thái dới đây. 3.1.2. Các dạng mô hình không gian trạng thái Dựa vào mối quan hệ qua lại giữa phơng trình vi phân- hàm truyền đạt- sơ đồ khối- phơng trình trạng thái mà có các dạng mô hình không gian trạng thái: - Dạng điều khiển đợc (Controller canonical form) - Dạng quan sát đợc ( Observer canonical form) - Dạng Modal - Dạng Jordan chính tắc a) Dạng điều khiển đợc (Controller canonical form) Một hệ thống điều khiển có phơng trình trạng thái sau: n n dt y(t)d + a n-1 . 1n 1n dt y(t)d + + a 1 . dt dy(t) + a 0 . y(t) = = b n . n n dt u(t)d + b n-1 . 1n 1n dt )t(ud + + b 1 . dt du(t) + b 0 . u(t) Một hệ thống điều khiển có hàm truyền đạt nh sau: 01 1n 1n n 01 1n 1n n n as.a s.as bs.b s.bs.b )s(U )s(Y ++++ ++++ = Thêm biến phụ: 01 1n 1n n 01 1n 1n n n as.a s.as bs.b s.bs.b )s(U )s(V . )s(V )s(Y ++++ ++++ = )s(V )s(Y = 01 1n 1n n n bs.b s.bs.b ++++ (a.1) 01 1n 1n n as.a s.as 1 )s(U )s(V ++++ = (a.2) Sơ đồ khối tơng ứng: Từ (a.1) ta có: Y(s) = )s(V.b)s(V.s.b )s(V.s.b)s(V.s.b 01 1n 1n n n ++++ (a.2) ta có: U(s) = s n . V(s) + a n-1 .s n-1 .V(s) + + a 1 .s.V(s) + a 0 .V(s) Từ 2 phơng trình này xây dựng đợc sơ đồ khối mô tả quan hệ vào ra của các tín hiệu nh sau: . . . V(t) V(t) V(t) (n- 1 ) V(t) b 0 b 1 b 2 b n -a n-1 -a 1 -a 0 y(t) u(t) S 1 S 1 1 S (n) (1) V(t) (2) x 1 x 2 x 3 x n x n . . . . . . . Biến đổi Laplace ngợc hàm truyền đạt trên có sơ đồ khối tơng ứng: Từ sơ đồ khối trên đặt các biến trạng thái: x 1 = v(t) x 2 = )t(V )1( x n = )t(V )1n( 1 . x = x 2 2 . x = x 3 . . . n . x = -a n-1 .x n a n-2 .x n-1 - a 1 .x 2 a 0 .x 1 + u y(t) = b n . n . x + b n-1 .x n + + b 1 .x 2 + b 0 . x 1 = = b n .(-a n-1 .x n a n-2 .x n-1 - a 1 .x 2 a 0 .x 1 + u) + b n-1 .x n + + b 1 .x 2 + b 0 . x 1 = (b 0 b n .a 0 ).x 1 + (b 1 b n .a 1 ).x 2 + + (b n-1 - b n .a n-1 ).x n + b n .u Vậy phơng trình trạng thái: [...]... ứng thời gian từ phơng trình trạng thái 3.2.1 Nghiệm trong miền thời gian 3.2.2 Tìm nghiệm bằng phơng pháp biến đổi Laplace 3.2.3 Mô hình không gian trạng thái và hàm truyền 3.3 Các mô hình thời gian rời rạc 3.3.1 Phơng trình sai phân và không gian trạng thái 3.3.2 Hàm truyền rời rạc và mô hình không gian trạng thái 3.3.3 Rời rạc hoá các hệ thống liên tục 3.3.4 Nghiệm của các phơng trình trạng thái 3.3.5... gian trạng thái 3.3.3 Rời rạc hoá các hệ thống liên tục 3.3.4 Nghiệm của các phơng trình trạng thái 3.3.5 Tìm nghiệm của các phơng trình trạng thái bằng biến đổi Z 3.4 Hệ phơng trình đặc trng và trị riêng 3.4.1 Trị riêng 3.4.2 Dạng phân ly 3.5 Xác định không gian trạng thái bằng MATLAB ... khối trên ta có định nghĩa tính quan sát đợc của hệ thống: Tính quan sát đợc của một hệ thống là với các toạ độ đo đợc ở biến ra y(t) của hệ thống liệu có thể khôi phục đợc vectơ trạng thái (t) trong thời gian hữu hạn x không? c) Dạng Modal (Modal canonical form) Hàm truyền đạt: Y(s) b n s n + b n 1 s n 1 + + b 1 s + b 0 = n U (s) s + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 ( Bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu... khối mô phỏng hàm truyền đạt trên: 1 S r1 -p1 U(s) 1 S r2 -p2 1 S -pn Đặt các biến trạng thái: rn Y(s) x 1 1 S x 1 x 2 x n r 1 r 2 r n -p 1 u(t) x 2 1 S y(t) -p 2 x n 1 S -p n x 1 = -p1 x1(t) + u(t) x 2 = -p2 x2(t) + u(t) x n = -pn xn(t) + u(t) y(t) = r1.x1(t) + r2.x2(t) + + rn.xn(t) Phơng trình trạng thái của hệ thống: 0 0 p 1 0 x 1 (t) - p2 0 0 0 0 x 2 (t) 0 0 - p3 0... n x 1 x 1 . + x n 1 1 u(t) 1 Dạng Modal đợc xây dựng dựa vào kỹ thuật lập trình song song Các cực của hệ thống là p1, p2, , pn trong phơng trình trạng thái (Tức là trạng thái của hệ thống đợc xác định trực tiếp qua các cực này và tác động vào hệ thống d) Dạng Jordal chính tắc (Jordal canonical form) Hàm truyền đạt: Y(s) b n s n + b n 1 s n 1 + + b 1 s + b... hình toán của hệ thống nh trên ta có khái niệm về tính điều khiển đợc của hệ thống: Tính điều khiển đợc của hệ thống là với một tác động vào liệu có chuyển đợc trạng thái của hệ từ thời điểm đầu to đến thời điểm cuối trong khoảng thời gian hữu hạn không? b) Dạng quan sát đợc (Observer canonical form) Hệ thống có hàm truyền đạt: Y(s) b n s n + b n 1 s n 1 + + b 1 s + b 0 = n U (s) s + a n 1 s n 1 + +... (bn-1 an-1.bn).u(t) Phơng trình trạng thái: 0 0 x 1 (t) 1 0 x 2 (t) 0 1 = x(t) = 0 0 0 0 x n (t) 0 0 0 0 0 0 1 1 x 1 x 2 y(t) = [ 0 0 0 1 ] + bn u(t) x n - a 0 x 1 - a 1 x 1 + -a n - 2 - a n -1 x n b 0 a 0 b n b 1 a 1 b n u(t) b n 1 a n 1 b n y(t) Từ phơng trình trạng thái và sơ đồ khối trên ta có... s n 1 + + a 1 s + a 0 ).Y(s) + n s 1 + n ( b n s n + b n 1 s n 1 + + b1 s + b 0 ).U(s) s Ta có sơ đồ khối: U(s) b b 0 1 S -a 0 b 1 1 S -a 1 b n-1 1 S n 1 S -a n-1 Y(s) Từ sơ đồ khối đặt các biến trạng thái: u(t) b b 0 x 1 -a 0 b 1 1 x S x 1 -a b n-1 2 1 S x 2 x n-1 1 S x x n-1 -a 1 n n 1 S x n n-1 y(t) = xn(t) + bn.u(t) x 1 = -a0.y(t) + b0.u(t) = -a0.( xn(t) + bn.u(t)) + b0.u(t) = -a0.xn(t) . gian từ phơng trình trạng thái 3.2.1. Nghiệm trong miền thời gian 3.2.2. Tìm nghiệm bằng phơng pháp biến đổi Laplace 3.2.3. Mô hình không gian trạng thái và hàm truyền 3.3. Các mô hình thời gian. Các dạng mô hình không gian trạng thái Dựa vào mối quan hệ qua lại giữa phơng trình vi phân- hàm truyền đạt- sơ đồ khối- phơng trình trạng thái mà có các dạng mô hình không gian trạng thái: - Dạng. thái: - Dạng điều khiển đợc (Controller canonical form) - Dạng quan sát đợc ( Observer canonical form) - Dạng Modal - Dạng Jordan chính tắc a) Dạng điều khiển đợc (Controller canonical form) Một