Untitled NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 2023 TOANMATH com Trang 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 18[.]
NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 – 2023 TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 13/12/2022 Câu 1: (1.5 điểm) Giải phương trình 4sin Câu 2: x 3π + cos x − − cos x = (1.5 điểm) n Tìm số hạng khơng chứa x khai triển − x với x > biết n số x nguyên dương thỏa mãn Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 1024 Câu 3: (1.5 điểm) 2 y − x + y += x − y − 4x − y − Giải hệ phương trình (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y Câu 4: (3.5 điểm) Giải phương trình sau: a) 2.27 x − x +3 x ( ) x2 +9 x = ; b) x − x + ln x − ln ( x + ln x ) = Câu 5: (4.0 điểm) mx + với m tham số Tìm tất giá trị nguyên tham số m x+m thuộc khoảng ( −2023; 2023) để hàm số đồng biến khoảng (1; + ∞ ) a) Cho hàm số y = b) Cho hàm số y =x3 − ( m + 1) x + ( 3m + 1) x + 2m − có đồ thị ( Cm ) Tìm tất giá trị tham số m để ( Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt A ( 2;0 ) , B C cho hai điểm B , C có điểm nằm điểm nằm ngồi đường trịn ( C ) : x + y = Câu 6: (1.5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , biết AC vng góc với mặt phẳng ( SBD ) AB = SD = a, AD = SB = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD Câu 7: (2.0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA BC Biết AB = a MN tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABC theo a TOANMATH.com Trang NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Câu 8: (1.5 điểm) = x ) sin x + cos x Tìm giá trị Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục thoả mãn f ( cot lớn giá trị nhỏ hàm = số g ( x ) f ( x ) f (1 − x ) đoạn [ −1;1] Câu 9: (1.5 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có AB = AA′ = Gọi M , N , P trung điểm cạnh A′B′, A′C ′, BC hai điểm F , E giao điểm mặt phẳng ( MNP ) với AB′, AC ′ Tính thể tích khối đa diện MFENC ′B′ Câu 10: (1.5 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − Tìm giá trị lớn biểu thức P = x+ y x − xy + y 2 − x − 2y 6( x + y) - HẾT Trang TOANMATH.com NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (1.5 điểm) Giải phương trình 4sin x 3π − cos x = + cos x − Lời giải 3π x Ta có: 4sin − cos x = + cos x − 3π cos x − ⇔ (1 − cos x ) − cos x =+ ⇔ sin x − cos x = cos x ⇔ π π sin x − cos x = cos x ⇔ sin x − = sin − x 2 3 2 π x − ⇔ 2 x − π 5π x = 18 ⇔ 5π = x = π − x + k 2π π =π − − x + k 2π 2 +k 2π + k 2π ,k ∈ ,k ∈ 5π 2π 5π ; x = + k 2π ; k ∈ Kết luận: Phương trình có họ nghiệm x = + k 18 Câu 2: (1.5 điểm) n Tìm số hạng không chứa x khai triển − x với x > biết n số x n nguyên dương thỏa mãn Cn + Cn + Cn + + Cn = 1024 Lời giải n Ta có: (1+1) = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn ⇔ 2= 1024 ⇔ = n 10 n k 10 10 k k 2( k −10 ) + k 2( k −10 ) k Với n = 10 ta có − x = ∑ C10 x −2 x = ∑ C10 ( −2 ) x x = k 0= k 10 ( ) Số hạng không chứa x khai triển ứng với k thỏa mãn: ( k − 10 ) + k = ⇔ k = Vậy số hạng không chứa x khai triển ứng là: C108 ( −2 ) = 11520 Câu 3: (1.5 điểm) 2 y − x + y += x − y − 4x − y − Giải hệ phương trình (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y Lời giải TOANMATH.com Trang NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT x − y ≥ 4 x − y − ≥ Điều kiện hệ phương trình x − y ≥ y ≥ Xét phương trình (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y a x− y = a = x − y ⇒ Đặt Điều kiện a ≥ 0, b ≥ y = b b = y Ta phương trình (1 − b )a + a + b = + (a − 1)b ⇔ (1 − b )( a − 1)( a + b + ) = b = ⇔ (1 − b )( a − 1)( a + b + ) = ⇔ a = a + b + = 0 vô nghiệm Do a ≥ 0, b ≥ nên a + b + = + Với b = ta y = thay vào phương trình −3 x + = ⇔ x = + Với a = ta x − y =1 ⇒ x =1 + y thay vào phương trình y − x + y += x − y − x − y − ta phương trinh y − ( y + 1) + y + 1= − y − − y ⇔ y + y − =1 − y Đặt t = − y ( ≤ t ≤ 1) ta phương trình 2t − 2t − = 2t − 7t − t + = ⇔ 2t − 2t − t + t − = ⇔ t + t − =0 1− = ≈ −0.822 ( loai ) t 1+ = ≈ 1.822 ( loai ) t −1 + ⇔ ⇔t= −1 − = ≈ −1.61( loai ) t −1 + = ≈ 0.61 t −1 + 5 −1 +1 −1 + hay t= = 1− y ⇔ y = ⇒x= 2 2 +1 −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (= = 3;1) , ( x; y ) ; ( )( ) Trong ∆SAB vng A , ta có SA= SB − AB 2= 36 − 9= 3 1 = = SA.S ABCD = 3.3.6 18 (đvtt) Vậy thể tích khối chóp S ABCD V 3 Câu 4: (3.5 điểm) Giải phương trình sau: a) 2.27 x − x +3 x ( ) x2 +9 x = ; b) x − x + ln x − ln ( x + ln x ) = Trang TOANMATH.com NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Lời giải +3 x a) 2.27 x − x = ⇔ 32 x +3 x +3 x + x 2 ( ) x +9 x +6 x ⇔ 2.33 x − 32 x = x2 + x x2 + 32 x x = =1 3 −2= 0⇔ ⇔ x + x =0 ⇔ x = − x + x 2 = −2 ( loai ) 3 3 S 0; − Vậy tập nghiệm phương trình = 2 x > b) Điều kiện: x + ln x > x − x + ln x − ln ( x + ln x ) = ⇔ x =+ x ln x + ln t Đặt= ( x + ln x ) x + ln x ( t > ) , kết hợp phương trình ta có hệ: t x + ln x = t = x + ln x ⇔ x = t + ln t x = t + ln t (1) ( 2) ⇒ t − x = x + ln x − t − ln t ⇒ t + t + ln t = x + x + ln x ( 3) Xét hàm đặc trưng f ( u ) = u + u + ln u , ( u > ) > , ∀u > ⇒ f ( u ) đồng biến ( u; +∞ ) u ( 3) ⇔ f ( t ) = f ( x ) ⇔ t = x ⇔ x3 = x + ln x ⇔ x3 − x − ln x =0 Ta có f ′ ( u = ) 3u + + Xét g ( x ) = x3 − x − ln x ( x > 0) 3x3 − x − 2 g ′ ( x= x − − = = ) x x g′( x) = ⇔ x =1 ( x − 1) ( 3x + 3x + ) x Từ bảng biến thiên x = nghiệm g ( x ) = Thử lại, ta nhận nghiệm x = Câu 5: (4.0 điểm) mx + với m tham số Tìm tất giá trị nguyên tham số m x+m thuộc khoảng ( −2023; 2023) để hàm số đồng biến khoảng (1; + ∞ ) a) Cho hàm số y = b) Cho hàm số y =x3 − ( m + 1) x + ( 3m + 1) x + 2m − có đồ thị ( Cm ) Tìm tất giá trị tham số m để ( Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt A ( 2;0 ) , B C cho hai điểm B , C có điểm nằm điểm nằm ngồi đường trịn ( C ) : x + y = D \ {−m} a) Tập xác định:= TOANMATH.com Lời giải Trang NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT y′ = YCBT ⇔ m2 − ( x + m) > , ∀x ∈ (1; + ∞ ) m − > ⇒ m > ⇔ m 1; − ∉ + ∞ ( ) Vì m ∈ ( −2023; 2023) m ∈ nên ta có m = {3; 4;5; .; 2021; 2022} Vậy có 2020 giá trị nguyên tham số m b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − ( m + 1) x + ( 3m + 1) x + 2m − = x = ⇔ x − 2mx − m + = Yêu cầu toán ⇔ x − 2mx − m + = (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 −1 < x1 < < x2 x < −1 < x < 1+ m < − + Điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt: ∆=′ m + m − > ⇔ −1 + m > ( 2) + Xét phương trình (1) 1 (vô lý) Suy x = − không nghiệm (1) có dạng: + m − m + = 2 x2 + - Khi x ≠ − (1) ⇔ m = 2x +1 - Nếu x = − x2 + Xét hàm số f ( x ) = 2x +1 1+ x= − 2x + 2x − 2 f ′( x) = , cho f ′ ( x )= ⇒ −1 + ( x + 1) x = Bảng biến thiên Trang TOANMATH.com NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT m < −2 −1 < x1 < < x2 Từ BBT, ta nhận xét thỏa mãn điều kiện ( ) m > x1 < −1 < x2 < 2 Vậy m ∈ ( −∞; − ) ∪ ; + ∞ thỏa mãn yêu cầu toán 3 Câu (1.5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , biết AC vng góc với mặt phẳng ( SBD ) AB = SD = a, AD = SB = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD Lời giải AC ⊥ ( SBD ) ⬥ Theo đề ⇒ ( ABCD ) ⊥ ( SBD ) AC ⊂ ( ABCD ) Trong mặt phẳng ( SBD ) gọi H hình chiếu S lên BD (1) ( ABCD ) ⊥ ( SBD ) Vì (2) SD ( ABCD ) ∩ ( SBD ) = Từ (1) (2) suy SH ⊥ ( ABCD ) ⬥ Trong mặt phẳng ( ABCD ) ta có: BD = AB + AD = a Từ suy tam giác SBD vng S SB.SD 2a Khi SH BD= SB.SD ⇒ SH= = BD 2a O AC ∩ BD Mặt khác ∆SBD = ∆ADB ⇒ AO = SH = , với = ⬥ Trong mặt phẳng ( ABCD ) , gọi l đường thẳng qua A song song với BD Ta có BD / / ( S , l ) ⇒ d ( BD, AC ) = d ( BD, ( S , l ) ) = d ( H , ( S , l ) ) Gọi E hình chiếu H lên đường thẳng l , tứ giác AEHO hình chữ nhật nên 2a AO = HE = K hình chiếu H lên SE Khi d ( H , ( S , l ) ) = HK TOANMATH.com Trang NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT ⬥ Xét HK = tam SE = giác SH = Vậy d ( BD, AC ) = Câu SHE vuông cân H (K trung điểm HE ): 10a a 10 (2.0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA BC Biết AB = a MN tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABC theo a Lời giải Gọi H , K trung điểm AC AH đó: SH ⊥ ( ABC ) MK / / SH nên MK ⊥ ( ABC ) ) ( = ⇒ MN , ( ABC ) = MNK 60° Do tam giác ABC vuông cân B AB = a nên a , CK = a Áp dụng định lí – sin vào tam giác CKN ta có: BC = a, AC = a ⇒ CN = KN = CN + CK − 2.CN CK cos 45 = ° ⇒= MK KN tan= 60° Vậy = VS ABC Câu a 10 a ⇒ KN = a 30 a 30 ⇒= SH a 30 = SH S ABC 12 (1.5 điểm) = x ) sin x + cos x Tìm giá trị Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục thoả mãn f ( cot lớn giá trị nhỏ hàm = số g ( x ) f ( x ) f (1 − x ) đoạn [ −1;1] Lời giải Trang TOANMATH.com NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Ta có: f ( cot= x ) sin x + cos= 2x cot x cot x − cot x + cot x − + = , ∀x ∈ ( 0; π ) cot x + cot x + cot x + Đặt t = cot x , điều kiện cho t t ∈ , tương ứng với điều kiện x ∈ ( 0; π ) t + 2t − , ∀t ∈ f (t ) = t2 +1 Ta có: = g ( x ) f ( x ) f= (1 − x ) x (1 − x ) + x (1 − x ) − 2 x (1 − x ) − x (1 − x ) + 2 , ∀x ∈ u x (1 − x ) Đặt= u′ = − x Ta có bảng biến thiên u′ = ⇔ x = 1 Do u ∈ −2; 4 Khảo sát hàm h ( u ) = h′ ( u ) = u + 8u − 1 −2; u − 2u + 4 ( −5u + 4u + ) ( u − 2u + ) − 34 u = ( −5u + 4u + ) h′ ( u ) = 0⇔ 0⇔ = 2 + 34 ( u − 2u + ) u = Vậy max h ( u ) = 1 −2; TOANMATH.com (l ) 1 1 u = ⇒ max g ( x ) = x = − 1;1 [ ] 25 25 Trang NĂM HỌC 2022 - 2023 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT h ( u )= − 34 u = 1 −2; Câu − 34 − − 34 ⇒ g ( x )= − 34 x = [ −1;1] (1.5 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có AB = AA′ = Gọi M , N , P trung điểm cạnh A′B′, A′C ′, BC hai điểm F , E giao điểm mặt phẳng ( MNP ) với AB′, AC ′ Tính thể tích khối đa diện MFENC ′B′ Lời giải Ta có ( MNP ) ≡ ( MBCN ) 3) (= 2 Thể tích khối = ABC A′B′C ′ Gọi P′ trung điểm B′C ′ , I = MN ∩ A′P′, J = PI ∩ EF Vì PP′ ⊥ MN , A′P′ ⊥ MN ⇒ ( APP′A′ ) ⊥ ( MBCN ) ( APP′A′ ) ∩ ( MBCN ) = IP Gọi H hình chiếu vng góc P′ IP ⇒ P′H = d ( P′, ( FBCE ) ) 1 3 Trong tam giác vuông IPP′ có PP′ =2, IP′ = A′P′ = = ⇒ IP = ⇒ P′H = 2 2 NE MF Ta có E , F trọng tâm hai tam giác CA′C ′ BA′B′ nên suy = = NC MB Vì BM = CN ⇒ MFEN hình thang cân có EF = // = B′C ′ = , MN = B′C ′ 3 , chiều 35 1 35 = VP′.MFEN = cao IJ = IP = ⇒ S MFEN = + = ⇒ 36 18 2 36 1 1 = VA A= VABC A= ′B′C ′ ′B′C ′ 4 3 36 1 = S A ' B′C ′ , d ( E , ( A ' B′C ′ ) ) d ( A, ( A ' B′C ′ ) ) ) ( S NP′C ′ = VF MB = Ta có VE = ′P′ NC ′P′ Vậy ta tích khối MFENC ′B′ = 2VE NC ′P′ + VP′.MFEN = 13 + = 18 18 Câu 10 (1.5 điểm) Trang 10 TOANMATH.com NĂM HỌC 2022 - 2023 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − Tìm giá trị lớn biểu thức x+ y x − 2y P = − 2 6( x + y) x − xy + y Lời giải Ta có x > 0, y > nên 1 1 1 x 1 xy ≤ y − ⇔ ≤ − =− − + ≤ y y y y 2 4 x x +1 −2 x+ y x − 2y y y P = − = − x x − xy + y 6( x + y ) x x y + 1 y − y +3 x t +1 t −2 ta có P Đặt t = , điều kiện < t ≤ = − y t − t + 6(t + 1) t +1 t −2 Xét f ( t ) với < t ≤ = − t − t + 6(t + 1) −3t + = − f ′(t ) ( t + 1) ( t − t + 3) 1 ∀t ∈ 0; ta có : t − t + 3= t (t − 1) + < 3; −3t + > t + > 4 1 −3t + −3t + 1 1 > − ⇒ f '(t ) > 0, ∀t ∈ 0; ∀t ∈ 0; : > > − 3 4 t2 − t + 4 ( t + 1) ( ) 1 ⇒ f ( t ) đồng biến 0; 4 Ta có bảng biến thiên sau + 10 + 10 ⇒ f (t ) ≤ f = Vậy Pmax = x = , y = 30 30 4 - HẾT TOANMATH.com Trang 11