trường Trần Quốc Tuấn, Đề thi thử toán 2014,
Trang 1Trường Thpt Trần Quốc Tuấn
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, NĂM HỌC 2013-2014, MÔN TOÁN, KHỐI A,B
I Phần bắt buộc:
Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số 3 2 2
y x mx m x (1) (m là tham số thực)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m1
2) Tìm các giá trị m để hàm số (1) đã cho có cực đại x và cực tiểu 1 x2, đồng thời 2
4x 2x đạt giá trị nhỏ nhất
sin 2 (cotx xtan 2 )x 4cos x
Câu 3 (1 điểm): Giải hệ phương trình 7 2 4
Câu 4 (1 điểm): Tính tích phân
2 0
1 1
x dx x
Câu 5 (1 điểm): Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a, E là trung điểm BC, D là điểm đối xứng
của A qua E Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại D lấy điểm S sao cho 6
2
a
SD Gọi F là hình chiếu của E trên SA
1) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAC)
2) Tính thể tích khối chóp F.ABC theo a
Câu 6 (1 điểm): Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2abc Chứng minh rằng:
1 (a b a c)( ) (b c b a)( ) (c a c b)( )
II Phần tự chọn (Học sinh chỉ được chọn làm bài một trong hai phần A hoặc B)
Phần A: Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a: (1 điểm): Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ( ) : 4C x2 4y2 4x 12y 1 0 biết tiếp tuyến qua A(2;1) Viết phương trình đường thẳng qua 2 tiếp điểm
Câu 8a: (1 điểm): Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) :P x y z 1 0 và mặt cầu
( ) : (S x3) (y1) (z 1) 16 1)
1) Chứng minh rằng mặt cầu (S) cắt mặt phẳng(P)
2) Viết phương trình đường thẳng () đi qua A(3; 3; 1) ( )P và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Câu 9a: (1 điểm): Cho số phức z thỏa mãn z 3 z 3 10 Tìm số phức z có z nhỏ nhất, lớn nhất ?
Phần B: Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b: (1 điểm): Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường tròn 2 2
( ) :C x y 2x6y 15 0 ngoại tiếp tam giác ABC với A(4; 7) Tìm tọa độ các điểm B và C biết H(4;5) là trực tâm của tam giác ABC
Câu 8b: (1 điểm): Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1; 1;5), (0; 0;5), (3;1;1) B C Viết phương trình mặt
cầu đi qua 3 điểm A, B, C và cắt mặt phẳng(Oxy) theo đường tròn tâm O, bán kính r 5
Câu 9b: (1 điểm): Giải phương trình log 4 log 4
2
HẾT
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, NĂM HỌC 2013-2014, MÔN TOÁN
m 1.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 2
y x mx m x (1) khi m1 1
Khi m=1, ta có y 2x3 9x2 12x 1 TXĐ: D , lim , lim
thị hàm số không có tiệm cận
0.25
1.2 Tìm các giá trị m để hàm số (1) đã cho có cực đại x1 và cực tiểu x2, đồng thời 2
4x 2x đạt giá trị nhỏ nhất
Hàm số có cực đại và cực tiểu thì 2 2
y x mx m có hai nghiệm phân biệt
2
0.5
16 2 (if 0) 16 2 (if 0)
4 4 (if 0) (2 1) 1 (if 0)
Suy ra 4x122x2 1, m min(4x122 )x2 1, đạt được khi 1
2
m
Kết luận : 1
2
m
0.5
ĐK : sinx 0, cos 2x 0
PT sin 2 cos sin 2 4 cos2 2 cos2 (2 cos 2 1) 0
sin cos 2
0.5
2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
2
x k và
6
0.5
3
Giải hệ phương trình 7 2 4
7x y u, 2x y v u v 5x ,
khi đó hệ viết lại là
2 2
Giải hệ trên ta được u 9,v 5 rồi tiếp tục giải tìm x,y ta được nghiệm của hệ là
;
4
Tính tích phân
2 0
1 1
x dx x
x
Đặt
1 2 1
0
1
2
2 ' 1
1 ' 1
x u
x v
v x
Trang 32 1
0
Thay vào tính được đến đáp số 1 ln 2 1 2
2
Áp dụng một kết quả trong đề thi HK I : 2 /
2
1
1
x x
x
5.0 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a, E là trung điểm BC, D là điểm đối xứng
của A qua E Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại D lấy điểm S sao cho 6
2
a
SD Gọi
F là hình chiếu của E trên SA
1.0
5.1 Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAC) 0.5
Từ gt BC (SAD) BC SA (1) Mặt khác EF SA nên SA (BFC)
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) là góc BFC
0.25
Tính được 3 2 ,
2
a
AE SD a BC EF
SA
Tam giác BFC có đường trung tuyến
2
BC
EF nên nó vuông tại F
Suy ra BFC 900 hay (SAB) (SAC)
0.25
.
3 F ABC S ABC 3
V
AF AE AF AE AD AEF ASD
Tính được
0.5
6.0
Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2abc Chứng minh rằng:
1
P
1.0
ab bc ca abc
a b c
2 (a b a)( c) a b a c (Cauchy), tương
Cộng các vế của các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta có P 1 1 1
a b b c c a
0.5
x y x y )
2
P
0.5
7.a Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn
( ) : 4C x 4y 4x 12y 1 0 biết tiếp tuyến
Đường tròn (C) có tâm 1; 3
2
R Gọi VTPT của tiếp tuyến là ( ; )
n a b (a2 b2 0)thì phương trình tiếp tuyến là : (a x 2) b y( 1) 0
0.5
D E
A
B
C
S
F
Trang 42 2
0
: 8( 2) 15( 1) 0 8
b
x
a
b
a b
Gọi hai tiếp điểm là M,N thì ta có AM MI AN, NI hay M,N nằm trên đường tròn
đường kính AI, đồng thời M, N cũng nằm trên (C), nên tọa độ M, N thỏa hệ :
1
4
0
Suy ra tọa độ M, N thỏa phương trình
Vậy phương trình của đường thẳng MN là 6x 10y 3 0
0.5
Cũng có thể tìm được tọa độ 2; 3 , 7; 3
M N rồi viết phương trình đường thẳng MN
8.a
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) :P x y z 1 0 và mặt cầu
( ) : (S x3) (y1) (z 1) 16 Viết phương trình đường thẳng () đi qua
A P và tiếp xúc với mặt cầu (S)
1.0
Mặt cầu (S) có tâm I(3;1;1) và bán kính là R4
Gọi VTCP của () là 2 2 2
u a b c a b c Theo điều kiện đề bài thì u n( )P và
d I
0.25
0
0 ,
4
a b c
AI u
u
0.5
Chọn a 1 b 2 3 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn:
0.25
9.a Cho số phức z thỏa mãn z 3 z 3 50 Tìm số phức z có z nhỏ nhất, lớn nhất ? 1.0
Giả sử z x yi x y( , ) Trong mặt phẳng phức, gọi M F F biểu diễn các số phức , 1, 2
, 3, 3
z z MF MF M nằm trên elip nhận F F làm tiêu điểm và có 1, 2
nửa trục lớn là a 5 Phương trình elip đó là
2
x y
p x y z y p x Thay vào pt elip, ta có
2
2 400 9
25
x
max 5
min 4
( ) :C x y 2x6y 15 0 ngoại tiếp tam giác ABC với A(4; 7) Tìm tọa độ các điểm B và C biết H(4;5) là trực tâm của tam giác ABC 1.0 Gọi A’ là ảnh của A qua tâm I(1;3) của đường tròn (C), ta có A'( 2; 1) và tứ giác A’BHC
là hình bình hành nên nếu M là trung của của BC thì M ca là trung điểm của A’H Suy ra
(1; 2)
M
0.5
Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH(AH (0; 2) ) nên có pt y 2
B, C và giao điểm của BC và (C) nên tọa độ B, C là nghiệm của hệ : 0.5
Trang 52 2
2 2
y y
8b Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1; 1;5), (0; 0;5), (3;1;1) B C Viết phương trình mặt cầu
đi qua 3 điểm A, B, C và cắt mặt phẳng(Oxy) theo đường tròn tâm O, bán kính r 5 1.0
Gọi I x y z( ; ; ) là tâm của mặt cầu cần tìm Theo đề bài, ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình trên, ta có nghiệm
1 2 1/ 2
x y z
hoặc là
7 6
17 / 2
x y z
9b Giải phương trình log 4 log 4
2
2
2
1
1
u
u uv
uv
4
x
0.5
Với uv2 1 x 3 5 log4x 1 log4 x 3 5 log4x 0
Tóm lại: nghiệm của phương trình đã cho là x 1
0.5
HẾT
