BÁO CÁO ĐỒ ÁN II Đề tài: Điều khiển tối ưu chuyển động của tên lửa

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC BÁO CÁO ĐỒ ÁN II Đề tài Điều khiển tối ưu chuyển động của tên lửa Giảng viên Hướng dẫn TS Đỗ Đức Thuận Sinh viên thực hiện Tạ Gia Khiêm – 20185371.BÁO CÁO ĐỒ ÁN IIĐề tài: Điều khiển tối ưu chuyển động của tên lửa

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÁO CÁO ĐỒ ÁN II Đề tài: Điều khiển tối ưu chuyển động tên lửa Giảng viên Hướng dẫn: TS.Đỗ Đức Thuận Sinh viên thực hiện: Tạ Gia Khiêm – 20185371 Hà Nội, Tháng 7/2022 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN Mục đích đồ án: Kết đạt được: Ý thức làm việc sinh viên: Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2022 Giảng viên hướng dẫn Trang 1/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học LỜI CẢM ƠN Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến TS.Đỗ Đức Thuận truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho em suốt thời gian hoàn thành đồ án Nhờ có lời hướng dẫn, dạy bảo thầy nên đề tài nghiên cứu em hồn thiện tốt đẹp Bài báo cáo thực khoảng thời gian gần tháng Bước đầu vào thực tế em hạn chế cịn nhiều bỡ ngỡ nên khơng tránh khỏi thiếu sót , mong nhận ý kiến đóng góp quý báu Thầy để kiến thức bọn em lĩnh vực hoàn thiện đồng thời có điều kiện bổ sung, nâng cao ý thức Em xin chân thành cảm ơn! Trang 2/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học Mục lục Giới thiệu Mơ hình hóa tốn vấn đề tối ưu thời gian Giải toán vận tốc tối đa tên lửa 3.1 Nghiệm giải tích 3.2 Giải số học phương pháp bắn 3.3 Giải phương pháp rời rạc hóa Cauchy 3.4 Giải phương pháp rời rạc hóa Euler 11 15 16 18 Trang 3/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học Giới thiệu Điều khiển tối ưu lĩnh vực quan trọng toán ứng dụng Thật vậy, nhiều tốn thực tế mơ hình hóa toán điều khiển tối ưu Lý thuyết điều khiển tối ưu ứng dụng thành công nhiều lĩnh vực, ví dụ khí, kỹ thuật điện, hóa học, sinh học, hàng khơng vũ trụ, người máy, nông nghiệp, v.v.[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] Cách tiếp cận truyền thống để giải toán điều khiển tối ưu Nguyên lý cực đại Pontryagin Nguyên lý đưa L.S.Pontryagin vào năm 1956[12], tổng quát hóa hệ phương trình Euler-Lagrange phép giải tích biến đưa số điều kiện tối ưu cần thiết Lý thuyết điều khiển áp dụng ngành toán học khác nhau: điều khiển tối ưu phương trình vi phân riêng, lý thuyết điều khiển ngẫu nhiên, lý thuyết trị chơi, v.v Bài tốn điều khiển ngẫu nhiên giải Nguyên lý cực đại Pontryagin, nhiên tốn q khó, phải sử dụng phương pháp số học để tìm giải pháp gần Tồn phương pháp số học chung để giải toán điều khiển tối ưu[13]: phương pháp trực tiếp dựa phép giải tích biến phương pháp trực tiếp dựa phương pháp rời rạc hóa tối ưu hóa Phương pháp bắn gián tiếp[14] biết đến với tính hiệu xác; ứng dụng thành công để giải toán thực tế[4, 6] Tuy nhiên, gặp toán khó, phương pháp rời rạc hóa trực tiếp sử dụng để tìm lời giải xấp xỉ Trong [15], công thức Cauchy để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sử dụng để biến đổi tốn điều khiển tối ưu tuyến tính thành tốn tương đương, sau kỹ thuật rời rạc hóa thực để có tốn lập trình tuyến tính giải cách sử dụng phương pháp tương ứng Gần [16], công thức Cauchy sử dụng với phương pháp rời rạc hóa để chuyển tốn điều khiển tối ưu tuyến tính truyền thống thành tốn tối ưu hóa tuyến tính mà giải thuật tốn hướng kết hợp trình bày [17] Trong [18], phương pháp rời rạc hóa Euler áp dụng lần đầu cho toán điều khiển tối ưu tuyến tính ban đầu, tốn tối ưu hóa thu giải hàm ’fmicon’ Matlab Trong [19], công thức Euler sử dụng cho rời rạc hóa tốn điều khiển tối ưu tương ứng với mơ hình tiếp thị lan truyền tốn tối ưu hóa thu giải cách khác Trong đồ án này, tơi trình bày mơ hình điều khiển tối ưu tuyến tính với thời gian kết thúc khơng bị giới hạn tối đa hóa vận tốc chuyển động tên lửa với quỹ đạo đường thẳng từ vị trí ban đầu đến vị trí kết thúc Để tìm mơ hình thích hợp, áp dụng Trang 4/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học phương pháp giải tích phương pháp số học Phương pháp giải tích tính tốn sử dụng Nguyên lý cực đại Pontryagin giải pháp gần tốn tìm cách sử dụng phương pháp bắn hai phương pháp rời rạc hóa: phương pháp sử dụng cơng thức Cauchy phương pháp sử dụng cơng thức Euler Các tốn lập trình tuyến tính thu giải cách hiệu phương pháp nội suy thực Matlab Đồ án viết dựa [20] Trong phần 2, tơi xây dựng mơ hình điều khiển tối ưu toán học tương ứng với toán tối đa hóa vận tốc tên lửa chuyển động thẳng.Sau đó, tơi điều chỉnh giá trị thời điểm kết thúc cách giải toán khác gọi tốn điều khiển tối ưu tối thiểu hóa thời gian Trong phần 3, tơi giải tốn tối đa hóa vận tốc tên lửa với bốn phương pháp: phương pháp giải tích, phương pháp bắn hai phương pháp rời rạc hóa: kĩ thuật sử dụng cơng thức Cauchy kĩ thuật sử dụng công thức Euler Mơ hình hóa tốn vấn đề tối ưu thời gian Cho tên lửa với khối lượng m vận tốc v(t) thời điểm t ∈ [0, T ], chuyển động từ độ cao ban đầu h(0) tới độ cao h(T ) với quỹ đạo đường thẳng Sử dụng kiến thức vật lý cho tên lửa với chuyển động thẳng, ta thu phương trình sau: d2 h Tp (t) (t) = − g, t ∈ [0, T ], dt2 m h(t) Tp (t) quảng đường lực đẩy tên Tp (t) lửa thời điểm t ∈ [0, T ], g gia tốc trọng trường Đặt w(t) = m dh (t) = v(t) Từ đó, ta thu được: dt  dh   (t) = v(t),   dt (1)     dv (t) = w(t) − g, t ∈ [0, T ] dt Nếu phi công không tác động đến tên lửa, lực đẩy w(t) thỏa mãn phương trình sau: w′ (t) = αw(t), t ∈ [0, T ] (2) Trang 5/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học α > nghịch đảo thời gian phản ứng tên lửa tác động từ phi công Để điều khiển chuyển động tên lửa, phi công tác dụng lực u(t), t ∈ [0, T ] Phương trình vi phân thường (2) trở thành: w′ (t) = α[w(t) − u(t)], t ∈ [0, T ] (3) Do mục tiêu để vận tốc tên lửa chuyển động từ điểm ban đầu h(0) = h0 , đến độ cao h1 cho trước cực đại Điều dẫn đến việc giải toán điều khiển tối ưu sau:  M aximize J(u, T ) = v(T ),      h′ (t) = v(t),    v ′ (t) = w(t) − g, (4) ′  w (t) = α[w(t) − u(t)],      h(0) = h0 , v(0) = 0, w(0) = g,    h(T ) = h1 , |u(t)| ≤ 1, t ∈ [0, T ] Bài toán viết dạng ma trận sau:  ′  M aximize J(u, T ) = c x(T ), x′ (t) = Ax(t) + Bu(t) + r,   x(0) = x0 , Q′ x(T ) = h1 , |u(t)| ≤ 1, t ∈ [0, T ] (5) đó:           h(t) 0 0          , r = −g , x(t) = v(t) , x(0) = , A = 0 , B = w(t) g 0 α −α T T Q = (1, 0, 0) c = (0, 1, 0) Ma trận Kalman cho công thức:   0 −α K = (B, AB, A2 B) =  −α −α2 , det(K) = α3 ̸= −α −α2 α3 Hạng ma trận K rank(K) = 3, nên hệ (5) điều khiển Chúng ta tính giá trị thời gian cuối T , kết tính sử dụng Trang 6/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học toán (4), cách giải toán tối thiểu thời gian sau:  RT   M inimize J(u, T ) = dx,       ′   h (t) = v(t), v ′ (t) = w(t) − g,    w′ (t) = α[w(t) − u(t)],      h(0) = h0 , v(0) = 0, w(0) = g,    |u(t)| ≤ 1, h(T ) = h1 , t ∈ [0, T ] (6) Để giải toán (6), sử dụng Nguyên lý cực đại Pontryagin Kí hiệu p(t) = (ph (t), pv (t), pw (t)) véc tơ phụ liên quan đến toán (6), toán tử Hamilton chúng cho sau: H(t, x(t), p(t), p0 , u(t)) =ph (t)v(t) + pv (t)[w(t) − g] + αpw (t)[w(t) − u(t)] + p0 (7) Để cực đại hóa toán tử Hamilton, ta đặt p0 = −1 Véc tơ phụ nghiệm toán tương ứng với hệ phương trình EulerLagrange sau:  ′  ph (t) = 0, (8) p′v (t) = −ph (t),   ′ pw (t) = −pv (t) − αpw (t), t ∈ [0, T ] Từ hệ (8) ta suy được:   ph (t) = λ1 ,     pv (t) = −λ1 t + λ2 , −αt  p (t) = (α λ3 e + αλ1 t − λ1 − αλ2 ),  w  α2   λ ∈ R, i = 1, 2, 3, i (9) Trong đó: (−λ1 − αλ2 + α2 λ3 ), α H(0, x(0), p(0), u(0)) = αpw (0)[g − u(0) − 1] ph (0) = λ1 , pv (0) = λ2 , pw (0) = (10) (11) Hệ thống động lực tự động, nên toán tử Hamilton cố định với tất t ∈ [0, T ] Do đó, ta có: H(0, x(0), p(0), u(0)) = H(T, x(T ), p(T ), u(T )) (12) Trang 7/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học Do thời gian cuối T tự do, theo điều kiện tính ngang, ta thu được: H(T, x(T ), p(T ), u(T )) = (13) Từ mối quan hệ (12) (13), ta có: H(0, x(0), p(0), u(0)) = αpw (0)[g − u(0)] − = Nên: pw (0) = > α[g − u(0)] (14) Toán tử Hamilton cực đại là: H(t, x∗ (t), p∗ (t), u∗ (t)) = max −1≤u(t)≤1 H(t, x(t), p(t), u(t)) = ph (t)v(t) + pv (t)[w(t) − g] + αpw (t)w(t) − + α max [−pw (t)u(t)] −1≤u(t)≤1 Do đó, điều khiển hóa tối đa Hamilton là: u∗ (t) = −sign(pw (t)) (15) Theo (14) (15), ta có u∗ (t) = −1 Nếu cố định thời gian phản hồi động 0.7 s, ta tìm α = 1.42 ta dùng liệu sau để giải toán chúng ta: h0 = m, h1 = 600 m g = 9.80665 m.s−2 Do đó, mục tiêu xác định thời gian tối thiểu, tối ưu toán (6) Sử dụng phương pháp bắn, ta thu kết trình bày hình Phương pháp bắn dựa Nguyên lý cực đại Pontryagin Nó bao gồm việc tìm điểm hàm bắn với toán tối thiểu hóa thời gian Đây phương pháp nhanh, độ xác cao, khơng u cầu giả định cấu trúc điều khiển Phương pháp bắn bao gồm ba bước chính: • Bước 1: Hình thành tốn giá trị biên cách sử dụng phương trình mơ hình phương trình véc tơ phụ điều kiện ngang • Bước 2: Xác định hàm bắn • Bước 3: Giải hệ phương trình phi tuyến Từ đồ thị hình (1), ta thấy Tmin = 3, 43 s Biết giá trị thời gian tối thiểu này, thời gian kết thúc ta nên chọn lớn chút so với Tmin Do đó, ta chọn T = 3, s Trang 8/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học Hình 1: Kết tốn tối ưu thời gian Giải toán vận tốc tối đa tên lửa Trong phần này, coi thời gian cuối cùng, thời gian T tìm phần trước, T = 3, s Đầu tiên giải tốn (4) giải tích; sau giải lại tốn phương pháp số học với ba phương pháp: phương pháp bắn, phương pháp rời rạc hóa Cauchy phương pháp rời rạc hóa Euler Để giải tốn (4), ta áp dụng Nguyên lý cực đại Pontryagin Hàm Hamilton tốn (4) với t ∈ [0, T ] có dạng: H(t, x(t), p(t), u(t)) =ph (t)v(t) + pv (t)[w(t) − g] + αpw (t)[w(t) − u(t)] Các véc tơ phụ nghiệm hệ phương trình sau:  ′  ph (t) = 0, p′v (t) = −ph (t),   ′ pw (t) = −pv (t) − αpw (t), t ∈ [0, T ] Từ hệ phương trình (17), ta suy ra:   ph (t) = λ1 ,     pv (t) = −λ1 t + λ2 , −αt  p (t) = (α λ3 e + αλ1 t −1 −α2 ),  w  α2    ∈ R, i = 1, 2, 3, i (16) (17) (18) Trang 9/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học Trong đó: ph (0) =1 , pv (0) =2 , pw (0) = α2 (−1 − α2 + α32 ) (19) Giá trị cực đại hàm Hamilton là: H(t, x∗ (t), p∗ (t), u∗ (t)) = max −1≤u(t)≤1 H(t, x(t), p(t), u(t)) = ph (t)v(t) + pv (t)[w(t) − g] + αpw (t)w(t) + α max [−pw (t)u(t)] −1≤u(t)≤1 Hàm điều khiển để tối đa hóa hàm Hamilton là: u∗ (t) = −sign(pw (t)) (20) Véc tơ x(T ) cần thỏa mãn điều kiện sau: h1 − QT x(T ) = Do thời điểm cuối T tìm tốn (4), ta thu phương trình chuyển động sau: ∂g(x(T )) ∂(h1 − QT x(T )) + b = 0, −ph (T ) − ∂h(T ) ∂h(T ) ∂g(x(T )) ∂(h1 − QT x(T )) −pv (T ) − + b = 0, ∂v(T ) ∂v(T ) ∂g(x(T )) ∂(h1 − QT x(T )) −pw (T ) − + b = 0, ∂w(T ) ∂w(T ) (21) (22) (23) Trong đó, g(x(T )) = −v(T ) b ∈ R Từ điều này, ta thu điều kiện biên sau: ph (T ) = −b, pv (T = 1, pw (T ) = (24) Bằng cách sử dụng điều kiện biên (24) mối quan hệ (18), ta thu được:   ph (t) = −b,     pv (t) = b(t − T ) + 1, (25) −α(t−T )  p (t) = ((α − b)(e − 1) − αb(t − T )),  w  α2   t ∈ [0, T ] Trang 10/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học 3.1 Nghiệm giải tích Do hàm điều khiển tối ưu đối dấu véc tơ phụ pw (t), nên thời gian trễ nghiệm phương trình pw (t) = Do A ma trận bậc giá trị riêng số thực, tốn có thời gian trễ tc < T Để chọn phương án tối ưu, xem xét phương án xảy sau: • Phương án 1: u(t) = 1, ∀t ∈ [0, T ]; • Phương án 2: u(t) = −1, ∀t ∈ [0, T ]; • Phương án 3: u(t) = với t ∈ [0, tc ],u(t) = −1 với t ∈ [tc , T ]; • Phương án 4: u(t) = −1 với t ∈ [0, tc ],u(t) = với t ∈ [tc , T ] Phương án 1: Ta có w′ (t) = α[w(t) − 1], có nghĩa là:   w(t) = c1 eαt + 1,    c1 v(t) = eαt + (1 − g)t + c2 , α   1−g c  h(t) = eαt + t + c2 t + c3 , c1 , c2 , c3 ∈ R α2 Sử dụng điều kiện ban đầu, ta được:  1.42t w(t) = (g − 1)e + 1,       1 1.42t  e −t− , v(t) = (g − 1) 1.42 1.42     1 1   h(t) = (g − 1) − t2 − t− 1.422 1.42 1.422 (26) (27) Với t = T , ta thu h(T ) = 549.0243 < 600 Do Phương án khơng khả thi Phương án 2: Ta có w′ (t) = α[w(t) + 1], có nghĩa là:  w(t) = d1 eαt − 1,     d1 v(t) = eαt − (1 + g)t + d2 , (28) α    h(t) = d1 eαt − + g t2 + d2 t + d3 , d1 , d2 , d3 ∈ R α2 Trang 11/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học Sử dụng điều kiện ban đầu, ta được:  1.42t w(t) = (g + 1)e + 1,       1.42t  v(t) = (g + 1) e −t− , 1.42 1.42     1   h(t) = (g + 1) − t − t− 1.422 1.42 1.422 (29) Với t = T , ta thu h(T ) = 673.7083 >< 600 Do Phương án khơng khả thi Phương án 3: Phương trình quỹ đạo đầu tiên, với u(t) = 1, t ∈ [0, tc ], là:  1.42t w(t) = (g − 1)e + 1,       1.42t  v(t) = (g − 1) e −t− , (30) 1.42 1.42     1 1   h(t) = (g − 1) − t − t − 1.422 1.42 1.422 Phương trình quỹ đạo đầu tiên, với u(t) = −1, t ∈ [tc , T ], là:  w(t) = β1 eαt + 1,     β1 v(t) = eαt − (1 + g)t + d2 , α    h(t) = β1 eαt − + g t2 + β2 t + β3 , β1 , β2 , β3 ∈ R α2 (31) Tại giao điểm hai tập hợp, ta thu được: β1 = (g − 1) + 2e−1.42tc , β2 = 2tc − g+1 g+1 , β3 = −t2c + tc − 1.42 1.42 1.42 Tính tc với h(T ) = 600 Điều kiện thời điểm cuối cho ta phương trình: 142.86e−1.42tc − t2c + 8.41tc − 69.15 = (32) Nghiệm phương trình cuối là: tc = 0.557 s Từ suy giá trị β1 , β2 , thay vào phương trình thứ hai hệ (31) ta được: J(u, T ) = v(T ) = 940.8949 m.s−1 Trang 12/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học Phương án 4: Phương trình quỹ đạo đầu tiên, với u(t) = −1, t ∈ [0, tc ], là:  1.42t w(t) = (g + 1)e − 1,       1.42t  e −t− , v(t) = (g + 1) 1.42 1.42     1 1   h(t) = (g + 1) − t2 − t− 1.42 1.42 1.422 Phương trình quỹ đạo đầu tiên, với u(t) = 1, t ∈ [tc , T ], là:   w(t) = γ1 eαt + 1,    γ1 v(t) = eαt + (1 − g)t + γ2 , α   γ1 αt − g  h(t) = e + t + γ2 t + γ3 , γ1 , γ2 , γ3 ∈ R α2 (33) (34) Tại giao điểm hai tập hợp, ta thu được: γ1 = (g + 1) − 2e−1.42tc , γ2 = −2tc − g+1 g−1 , γ3 = t2c − tc − 1.42 1.42 1.42 Tính tc với h(T ) = 600 Điều kiện thời điểm cuối cho ta phương trình: 142.8555e−1.42tc + t2c + 8.4085tc + 91.8798 = (35) Nghiệm phương trình cuối là: tc = 0.331 s Từ suy giá trị β1 , β2 , thay vào phương trình thứ hai hệ (34) ta được: J(u, T ) = v(T ) = 931.6531 m.s−1 Ta thấy giá trị mục tiêu toán Phương án cao Phương án Kết lý thuyết biểu thị hai hình (2) (3) Do ta xác định quỹ đạo tối ưu để vận tốc v(T ) đạt tối đa thỏa mãn điều kiện biên h(T ) = 600 m là: ( 1, t ∈ [0, 0.55]; u∗ (t) = (36) −1, t ∈ [0.55, 3.5]; J ( u∗ , T ) = v ∗ (T ) = 940.8949 m.s−1 Trang 13/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Tốn Ứng dụng & Tin học Hình 2: t 7→ u(t) t 7→ pw (t) Hình 3: Tối ưu quỹ đạo t 7→ h(t), t 7→ v(t) t 7→ w(t) Trang 14/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học 3.2 Giải số học phương pháp bắn Nguyên lý cực đại Pontryagin dẫn ta tới toán biên sau:   x′1 (t) = x2 (t),      x′2 (t) = x3 (t) − g,     x′3 (t) = α[x3 (t) + sign(p3 (t))],      p′1 (t) = 0,     p′2 (t) = −p1 (t), p′3 (t) = −p2 (t) − αp3 (t),      x1 (0) = 0, x2 (0) = 0, x3 (t) = g,       p1 (0) =1 , p2 (0) =2 , p3 (0) = (α32 − α2 −1 ),   α    x (T ) = 600, x (T ) : f ree, x  (T ) : f ree,   p (T ) = −b, p (T ) = 1, p (T ) = 0, (37) đó: x(t) = (xi (t), i = 1, 2, 3) = (h(t), v(t), w(t)) p(t) = (pj (t), j = 1, 2, 3) = (ph (t), pv (t), pw (t)) Ta xây dựng hàm bắn sau: G : R6 −→ R6 (p(0), p(T )) 7−→ G(p(0), p(T )), (38) với  p1 (0)−1   p2 (0)−2     p3 (0) − (α3 − α2 −1 ) G(p(0), p(T )) =   α   p1 (T ) + b     p2 (T ) − p3 (T ) −  Trang 15/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học Hình 4: Kết phương pháp bắn Khi tốn (37) tương đương với toán sau:   x′1 (t) = x2 (t),      x′2 (t) = x3 (t) − g,      x′3 (t) = α[x3 (t) + sign(p3 (t))],    ′   p1 (t) = 0, p′2 (t) = −p1 (t),    p′3 (t) = −p2 (t) − αp3 (t),      x1 (0) = 0, x2 (0) = 0, x3 (t) = g,      x1 (T ) = 600, x2 (T ) : f ree, x3 (T ) : f ree,    G(p(0), p(T )) = (39) Ta xác định nghiệm hệ phi tuyến G(p(0), p(T ) = phương pháp Newton Bằng việc sử dụng phương pháp với Matlab, ta tính kết trình bày hình (4) Các kết cho thấy thời gian truyền tín hiệu tc = 0.557, vận tốc tối đa v ∗ (T ) = 940.8949 m.s−1 Thời gian thực phương pháp bắn t = 1.9781 s Chúng ta nhận xét phương pháp bắn giải kết giống với nghiệm giải tích với thời gian ngắn Điều chứng tỏ phương pháp bắn nhanh cho kết xác vấn đề nghiên cứu 3.3 Giải phương pháp rời rạc hóa Cauchy Đối với khoảng thời gian tùy chỉnh N chọn trước, bước tùy T chỉnh θ = N Trang 16/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học Nghiệm hệ động lực học toán (4) cho bởi: Z t x(t) = F (t)x0 + F (t)(F (s))−1 [Bu(s) + r(s)]ds, t ∈ [0, T ], (40) Trong F(t) độ phân giải, nghiệm hệ sau: F (t) = AF (t), F (0) = I3 , t ∈ [0, T ] Sử dụng nghiệm này, tốn ban đầu (4) có dạng:  Z T Z T    max J(u(t)) = cT F (T )x0 + ψ(t)dt + C(t)u(t)dt,   Zu(t) 0 T (41)  φ(t)u(t)dt = g¯,     −1 ≤ u(t) ≤ 1, t ∈ [0, T ] đó: C(t) = cT F (T )F (t)−1 B, φ(t) = QT F (T )F (t)−1 B, ψ(t) = cT F (T )F (t)−1 r, T g¯ = h1 − Q F (T )x0 − Z T F (T )F (t)−1 rdt Ký hiệu τ j = τj+1 = τj + θ, ta có: N −1 [0, T ] = ∪j=1 [τj , τ j ] ∪ [τN , τ N ] Ta tính số Cj Xj sau: Z Cj = τj C(t)dt, τj Z τj Xj = Z φ(t)dt, ψj = τj T τj g¯j = h1 − Q F (T )x0 − ψ(t)dt, τj Z τj QT F (T )F (t)−1 rdt, j = 1, , N τj Từ đó, ta thu tốn lập trình tuyến tính sau:  N X    max J(u) = Cj uj ,   u   j=1  N X  Xj uj = g¯,     j=1    −1 ≤ uj ≤ 1, j = 1, , N (42) Trang 17/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học tơi giải tốn tuyến tính với giá trị khác N với phương pháp nội suy Matlab Thời gian thực thuật tốn rời rạc hóa Cauchy T1 , số lần lặp N it thời gian thực T2 giải nội suy, tổng thời gian thực T = T1 + T2 , tốc độ tối đa thời điểm cuối v() cho giá trị khác N, trình bày Bảng (1) Chúng ta có nhận xét phương pháp rời rạc hóa Cauchy tính tốn N 10 50 100 150 200 500 800 900 1000 2000 v(T ) N it T1 (s) 940.7414 5.9679 940.8939 21.1047 940.8944 41.5202 940.8946 61.7943 940.8947 78.0943 940.8948 228.3542 940.8948 421.2051 940.8949 505.9931 940.8949 544.6023 940.8949 10 1584.1246 T2 (s) T(s) 0.2645 6.2342 0.2657 21.3604 0.2635 41.7788 0.2684 62.0527 0.2656 78.3599 0.2671 228.6218 0.2825 421.4875 0.3897 506.3828 0.4181 545.0209 0.2918 1584.4317 Bảng 1: Kết mô cho phương pháp rời rạc hóa Cauchy giải tích kết tối ưu với chữ số thập phân xác 21,36 giây với chữ số thập phân xác 506,38 giây Điều cho thấy phương pháp cho kết xác nhiều thời gian 3.4 Giải phương pháp rời rạc hóa Euler Đối với khoảng thời gian tùy chỉnh N chọn trước, bước tùy T thời điểm sau: chỉnh θ = N = t0 < t1 < < tN −1 < tN = T Việc áp dụng sơ đồ rời rạc hóa Euler để giải tốn lập trình tuyến tính sau:   M aximize J(u, T ) = v(T ),      h(ti+1 ) = h(ti ) + θv(ti ), v(ti+1 ) = v(ti ) + θ[w(ti ) − g],    w(ti+1 ) = w(ti ) + αθ[w(ti ) − u(ti )],    h(0) = 0, v(0) = 0, w(0) = g, h(t ) = 600 N toán giá trị biên cho i = 0, 1, , N, i = 0, 1, , N, i = 0, 1, , N, (43) Trang 18/21 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán Ứng dụng & Tin học tơi giải tốn lập trình (43) với Matlab nội suy Kết thu (thời gian thực phương pháp nội suy T , số lần lặp N tốc độ tối đa v(T )) trình bày Bảng (2) N 10 50 100 150 200 500 800 900 1000 2000 v(T ) N it T (s) 940.7414 6.2342 940.8939 21.3604 940.8944 41.7788 940.8946 62.0527 940.8947 78.3599 940.8948 228.6218 940.8948 421.4875 940.8949 506.3828 940.8949 545.0209 940.8949 10 1584.4317 Bảng 2: Kết mô cho phương pháp rời rạc hóa Euler Từ Bảng (2), nhận xét phương pháp rời rạc hóa Euler nhanh, nhiên với bước rời rạc hóa lớn, khơng thể đạt độ xác mong muốn Tài liệu [1] J Awerjcewicz, Modeling, Simulation and Control of Nonlinear Engineering Dynamical Systems, State-of-the-Art, Presperctives and Applications, Heidelberg, Germany: Springer, 2008 [2] L.D Duncan, Basic considerations in the development of an unguided rocket trajectory simulation model, Technical report N 5076, Atmospheric Sciences Laboratory, United States Army Electronics Command, 1966 [3] K Louadj, P Spiteri, F Demim, M Aidene, A Nemra, and F Messine, Application Optimal Control for a Problem Aircraft Flight, SIAM Journal on Imaging Sciences, vol 11, no 1, pp 156–164, 2018 [4] N Moussouni, and M Aidene, An Algorithm for Optimization of Cereal Output, Acta Applicandae Mathematicae, vol 11, no 9, pp 113–127, 2011 Trang 19/21