Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU VỀ MÔĐUN COHEN MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU VỀ M[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 604 601 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành vào tháng 03/2016 hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, học quý giá từ trang giấy học sống thầy dạy giúp tự tin trưởng thành nhiều Tơi xin cảm ơn Phịng Sau đại học - Đại học sư phạm Thái nguyên tạo điều kiện để tơi hồn thành sớm khóa học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tất thầy cô Đại học Thái Nguyên thầy Viện toán với giảng đầy nhiệt thành tâm huyết, xin cảm ơn thầy cô quan tâm giúp đỡ suốt q trình học tập, tạo điều kiện cho tơi tham gia buổi xemina lớp học chương trình Tơi xin cảm ơn tất anh em bạn bè nghiên cứu sinh động viên giúp đỡ tơi nhiệt tình q trình học làm luận văn Tôi xin gửi cảm ơn tới tất thành viên gia đình tạo điều kiện cho tơi học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chiều Krull vành môđun 1.2 Hệ tham số bội 1.3 Đồng điều Koszul đối đồng điều địa phương 1.4 Môđun Cohen-Macaulay 10 Môđun Cohen-Macaulay dãy 13 2.1 Lọc chiều hệ tham số tốt 13 2.2 Tính chất mơđun Cohen-Macaulay dãy 22 2.3 Đặc trưng tham số 29 Kết luận 40 iii Tài liệu tham khảo iv 41 Lời nói đầu Luận văn trình bày mơđun Cohen-Macaulay dãy sử dụng tài liệu tham khảo báo [5]: N T Cường and D T Cuong (2007), "On Sequentialy Cohen-Macaulay Modules", Kodal Math J., 30, 409-428 Nội dung luận văn bao gồm: Định nghĩa tính chất lọc chiều, hệ tham số tốt; định nghĩa tính chất mơđun Cohen-Macaulay dãy, đặc trưng lớp môđun với đầy đủ chứng minh Khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy giới thiệu Stanley [11] cho vành phân bậc Tương tự, tác giả hai báo [6] [9] định nghĩa Môđun Cohen-Macaulay dãy vành địa phương Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương R với dim M = d Môđun M gọi môđun Cohen-Macaulay dãy tồn lọc môđun M D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M cho môđun Di /Di−1 Cohen-Macaulay < dim D1 /D0 < dim D2 /D1 < < dim Dt /Dt−1 = d Khi lọc D gọi lọc Cohen-Macaulay Lọc xác định trùng với lọc chiều M ([6], Bổ đề 4.4 (ii)) Lọc chiều M định nghĩa sau: Một lọc D M gọi lọc chiều thỏa mãn hai tính chất: D0 = Hm0 (M ) (đối đồng điều địa phương thứ M ứng với giá iđêan cực đại m) Di−1 môđun lớn Di thỏa mãn dim Di−1 < dim Di với i = t, t − 1, , ([5], Định nghĩa 2.1) Nếu t = 1, M mơđun Cohen-Macaulay dãy ℓR (D0 ) < ∞ D1 /D0 Cohen-Macaulay Theo lý thuyết bội trường hợp M Cohen-Macaulay dãy tồn hệ tham số tốt x = (x1 , , xd ) M cho ℓ(M/xM ) = ℓR (D0 )+e(x; D1 ) Trong hệ tham số tốt x = (x1 , , xd ) M định nghĩa hệ tham số tốt ứng với lọc chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M M , tức Di ∩ (xdi +1 , , xd )M = 0, với i = 0, 1, , t − ([5], Định nghĩa 2.2) Ta biết với môđun N hữu hạn sinh vành Noether địa phương, y hệ tham số N N Cohen- Macaulay ℓ(N/yN ) = e(y; N ) ([3], Định lý 4.7.10) Đối với môđun Cohen-Macaulay dãy [4] M môđun P Cohen-Macaulay dãy ℓ(M/xM ) = ti=0 e(x1 , , xdi ; Di ) Câu hỏi đặt khẳng định sau có khơng 1) M môđun Cohen-Macaulay dãy với hệ P tham số tốt x = (x1 , , xd ) M ℓ(M/xM ) = ti=0 e(x1 , , xdi ; Di ) với i = 0, , t, với d = dim M di = dim(Di ) 2) M môđun Cohen-Macaulay dãy với hệ P tham số tốt x = (x1 , , xd ) M ℓ(M/xM ) = ti=0 e(x1 , , xdi ; Di ) với i = 0, , t, với d = dim M di = dim(Di ) Bài báo [5] chứng minh khẳng định thứ (xem Định lý 2.3.2), khẳng định thứ hai nói chung khơng (xem Ví dụ 2.3.7) Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Chương nhắc lại số kiến thức dùng chương tiếp theo: Chiều Krull vành môđun, hệ tham số bội, phức Koszul đồng điều Koszul, môđun Cohen-Macaulay Chương 2: Chương gồm ba phần Phần nói lọc chiều hệ tham số tốt Phần hai trình bày tính chất mơđun Cohen2 Macaulay dãy, dd-dãy chứng minh đặc trưng thứ môđun Cohen-Macaulay dãy Phần ba đưa câu trả lời cho câu hỏi đặt (Định lý 2.3.2 Định lý 2.3.3) Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chiều Krull vành môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hoán (i) Một dãy giảm iđêan nguyên tố R P0 ! P1 ! ! Pn gọi xích nguyên tố độ dài n (ii) Cho P iđêan nguyên tố R Cận tất độ dài xích nguyên tố với P0 = P gọi độ cao P , kí hiệu ht(P ) Nghĩa là: ht(P ) = sup{độ dài xích nguyên tố với P0 = P } Cho I iđêan R, ta định nghĩa độ cao iđêan I ht(I) = inf{ht(P )|P ∈ Spec(R), P ⊇ I} (iii) Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dim R Ta có dim R = sup{ht(P )|P ∈ Spec(R)}