ứng dụng đạo hàm

Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài: Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan trọng. Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn toán thì những tri thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài toán quan trọng và thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào Đại học,Cao đẳng .Đây là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhất là từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ, do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết phải giải quyết như thế nào. Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình , hệ phương trình có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 1 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản.Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số” II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm: Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giải quyết các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm. Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số. Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện của nó. Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của ẩn phụ. Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số. III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình , hệ phương trình có chứa tham số. - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit, hệ phương trình. IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất cả học sinh bậc THPT trên toàn tỉnh GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 2 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.Cơ sở lý luận của vấn đề: Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm. Ta cần nắm vững các mệnh đề sau: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên tập D * Phương trình f(x) = m có nghiệm min ( ) max ( ) x D x D x D f x m f x ∈ ∈ ∈ ⇔ ≤ ≤ * Bất phương trình ( )f x m≤ có nghiệm min ( ) x D x D f x m ∈ ∈ ⇔ ≤ * Bất phương trình ( )f x m≥ có nghiệm max ( ) x D x D m f x ∈ ∈ ⇔ ≤ * Bất phương trình ( )f x m≤ , nghiệm đúng với mọi max ( ) x D x D m f x ∈ ∈ ⇔ ≥ * Bất phương trình ( )f x m≥ , nghiệm đúng với mọi min ( ) x D x D m f x ∈ ∈ ⇔ ≤ * Cho hàm số ( )y f x= đơn điệu trên D. Khi đó: ( ) ( ) ( , )f u f v u v u v D= ⇔ = ∀ ∈ * Cho hai hàm số ( ), ( )y f x y g x= = có đồ thị lần lượt là ( ) ( ) 1 2 ,C C . Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) 1 C và ( ) 2 C là : ( ) ( ) (1)f x g x= Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của ( ) 1 C và ( ) 2 C II.Thực trạng của vấn đề: a.Thuận lợi: Đưa được bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm vềdạng ( ) ( )f x g m= hoặc ( ) ( )f x g m≤ sau đó ta sử dụng các mệnh đề trên để giải quyết bài toán đơn giản. b.Khó khăn: Không phải mọi bài toán đều đưa được về dạng ( ) ( )f x g m= hoặc ( ) ( ); ( ) ( )f x g m f x g m≤ ≥ , nhất là khi g(m) là một đa thức theo m mà bậc của m không cùng bậc. III.Các phương pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: 1. Phương pháp chung: Để giải bài toán tìm các giá trị tham số m để phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) ta có thể thực hiện thứ tự như sau: * Biến đổi phương trình, bất phương trình, hệ phương trình về dạng ( ) ( )f x g m= hoặc ( ) ( ); ( ) ( )f x g m f x g m≤ ≥ . * Tìm tập xác định D của hàm số f(x) * Tính ' ( )f x * Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) * Xác định max ( );min ( ) x D x D f x f x ∈ ∈ . * Vận dụng một trong các mệnh đề trên, để đưa ra kết luận cho bài toán. Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau: * Đặt ẩn số phụ ( )t x ϕ = . * Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t. * Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x về phương trình, bất phương trình ẩn t.Ta được ( ) ( )h t g m= hoặc ( ) ( ); ( ) ( )h t g m h t g m≤ ≥ * Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 3 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số * Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán 2.Các bài toán minh họa: 2.1*Dạng 1: Phương trình. Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 2 1x mx x+ + = + có hai nghiệm phân biệt. Lời giải: Ta có: 2 2 1 2 2 1 2 3 4 1 (1) x x mx x mx x x  ≥ −  + + = + ⇔   = + −  Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu { } 1 ; \ 0 2 x   ∈ − +∞ ÷    thì 1 (1) 3 4 (2)m x x ⇔ = + − Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của :d y m= và đồ thị 1 ( ): ( ) 3 4C f x x x = + − Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt { } 1 ; \ 0 2 x   ∈ − +∞ ⇔ ÷    :d y m= cắt 1 ( ): ( ) 3 4C f x x x = + − trên { } 1 ; \ 0 2   − +∞ ÷    .Ta có: { } ' 2 1 1 ( ) 3 0, ; \ 0 2 f x x x   = + > ∀ ∈ − +∞ ÷    Bảng biến thiên: x 1 2 − 0 + ∞ f’(x) + + + ∞ + ∞ f(x) 9 2 - ∞ Từ bảng biến thiên ta có: 9 2 m ≥ * Nhận xét : Đưa về bài toán tìm số giao điểm đường thẳng và đồ thị.Nếu giải theo cách đưa về phương trình bậc hai thì tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện 1 ; 2 x   ∈ − +∞ ÷    .Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai với 1 2 − , bài toán trở nên phức tạp. Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 2 9 9x x x x m+ − = − + + (1) Lời giải: Điều kiện: 0 9x≤ ≤ PT (1) 2 9 2 (9 ) 9x x x x x x m⇔ + − + − = − + + GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 4 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số 2 2 9 2 9 9x x x x m⇔ + − + = − + + (2) Đặt 2 9t x x= − + Ta có: ' 2 2 9 2 9 x t x x − + = − + ; ' 9 0 2 t x= ⇔ = x 0 9 2 9 ' t + 0 − t 9 2 0 0 Do đó : 9 0 2 t≤ ≤ Phương trình (2) trở thành 2 2 9 2 2 9t t m t t m+ = + ⇔ − + + = (3) Xét hàm số 2 ( ) 2 9f t t t= − + + , 9 0 2 t≤ ≤ Ta có : ' ' ( ) 2 2 ; ( ) 0 1f t t f t t= − + = ⇔ = Bảng biến thiên : t 0 1 9 2 ' ( )f t + 0 − ( )f t 10 9 9 4 − Phương trình (1) có nghiệm [ ] 0;9x∈ ⇔ phương trình (3) có nghiệm 9 0; 2 t   ∈     9 10 4 m⇔ − ≤ ≤ * Nhận xét : Nếu không đặt ẩn phụ thì ta được pt : 2 2 9 2 9 9x x x x m+ − + + − = Khi đó xét hàm số 2 2 ( ) 9 2 9 9f x x x x x= + − + + − thì việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên tương đối khó khăn. Tuy nhiên khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện của t. Khi đó đưa về phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng song song với trục Ox và đồ thị (C ). Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − (1) Lời giải : Điều kiện : 1x ≥ PT (1) 2 4 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x   − − ⇔ + =  ÷  ÷ + +   (2) GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 5 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số Đặt 4 1 1 x t x − = + , Do 4 4 1 2 0 1 1 0 1 1 1 x t x x − ≤ = − < ⇒ ≤ < + + Phương trình (2) trở thành : 2 2 3 2 3 2t m t m t t+ = ⇔ = − + (3) Xét hàm số 2 ( ) 3 2f t t t= − + , [ ) 0;1t ∈ Ta có : ' ' 1 ( ) 6 2 ; ( ) 0 3 f t t f t t= − + = ⇔ = Bảng biến thiên : t 0 1 3 1 ' ( )f t + 0 − ( )f t 1 3 0 -1 Phương trình (1) có nghiệm [ ) 1;x ∈ +∞ ⇔ phương trình (3) có nghiệm [ ) 0;1t ∈ 1 1 3 m⇔ − < ≤ * Nhận xét: Nếu không đặt được ẩn phụ mà giải trực tiếp thì đây là bài toán tương đối phức tạp. Khi đặt ẩn phụ học sinh hay gặp sai lầm là chỉ nói được 0t ≥ , không chỉ ra được t<1. Bài toán 4: Cho phương trình 2 2 2 1 2 2 log log 3 (log 3)x x m x+ − = − (1) Tìm m để phương trình có nghiệm [ ) 32;x∈ +∞ Lời giải : Từ điều kiện của x, ta có 2 2 log 5 log 3 2x x≥ ⇒ − ≥ nên 0m ≥ PT (1) 2 2 2 2 log 2log 3 (log 3)x x m x⇔ − − = − ( ) 2 2 2 2 2 2 log 2log 3 (log 3) 2x x m x⇔ − − = − Đặt 2 log ; 5t x t= ≥ .PT (2) trở thành 2 2 2 2 3 ( 3)t t m t− − = − 2 1 2 t m t + ⇔ = − (3) Xét hàm số 1 ( ) 2 t f t t + = − , 5t ≥ Ta có : ( ) ' 2 4 ( ) 0 , 5 3 f t t t − = < ∀ ≥ − Bảng biến thiên t 5 +∞ ' ( )f t ( )f t 3 GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 6 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số 1 Phương trình (1) có nghiệm [ ) 32;x∈ +∞ ⇔ phương trình (3) có nghiệm [ ) 5;t ∈ +∞ 2 1 3m⇔ < ≤ Kết hợp với điều kiện 0m ≥ , ta có : 1 3m< ≤ . * Nhận xét : Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm đó thỏa 5t ≥ . Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 5 :Cho phương trình 1 1 2 2 4 4 ( 1)(2 2 ) 2 x x x x m m + − + − + = + − + (1) Tìm m để phương trình có nghiệm [ ] 0;1x∈ Lời giải : PT (1) 4(4 4 ) ( 1)4(2 2 ) 2 x x x x m m − − ⇔ + = + − + (2) Đặt 2 2 2 4 4 2 x x x x t t − − = − ⇒ + = + Ta có : [ ] ' 2 ln 2 2 ln 2 0 , 0;1 x x t t − = + > ∀ ∈ x 0 1 ' t + t 3 2 0 Do đó : 3 0 2 t≤ ≤ PT (2) trở thành : 2 2 2 2 4 2( 2) 2( 1) 2 1 t t t m t m m t − + + = + + ⇔ = + (3) Xét hàm số 2 2 2 4 3 ( ) , 0; 2 1 2 t t f t t t − +   = ∈   +   Ta có : ( ) 2 ' ' 2 1 11 4 4 10 2 ( ) ; ( ) 0 2 1 1 11 2 t t t f t f t t t  − + =  + −  = = ⇔  + − − =   Bảng biến thiên : t 0 3 2 ' ( )f t − ( )f t 4 GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 7 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số 11 8 Phương trình (1) có nghiệm [ ] 0;1x∈ ⇔ phương trình (3) có nghiệm 3 0; 2 t   ∈     11 4 8 m⇔ ≤ ≤ * Nhận xét : Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm đó thỏa [ ] 0;1t ∈ . Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 6 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực ( ) 2 2 1 1 1 1 9 3 3 2 1 0 x x m m + − + − − + + + = Lời giải: Điều kiện: 1 1x≤ ≤ . Đặt 2 1 1 3 x t + − = . Ta có: 2 2 0 1 1 1 1 1 2x x≤ − ≤ ⇒ ≤ − + ≤ Nên 2 1 1 2 3 3 3 3 9 x t − + ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Khi đó, phương trình đã cho trở thành ( ) 2 2 3 1 3 2 1 0 2 t t t m t m m t − + − + + + = ⇔ = − Xét hàm số ( ) 2 3 1 2 t t f t t − + = − trên [ ] 3;9 . Ta có ( ) [ ] 2 ' 2 4 5 ( ) 0, 3;9 2 t t f t t t − + = > ∀ ∈ − . Suy ra: ( )f t là hàm số đồng biến trên [ ] 3;9 Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 3;9 3;9 55 min ax 3 9 1 7 f t m m f t f m f m≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Bài toán 7 : Cho phương trình ( ) ( ) 3 tan 1 sin 2cos sin 3cosx x x m x x+ + = + (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0; 2 x π   ∈  ÷   Lời giải : Xét 0; 2 x π   ∈  ÷   , khi đó sin 0,cos 0,tan 0 ,sin 3cos 0x x x x x> > > + > PT (1) sin 2cos 3 tan 1 sin 3cos x x x m x x + ⇔ + = + tan 2 3 tan 1 tan 3 x x m x + ⇔ + = + (2) GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 8 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số Đặt tan , 0t x t= > PT (2) trở thành 2 3 1 . 3 t t m t + + = + , t >0 Xét hàm số 2 ( ) 3 1 . , 0 3 t f t t t t + = + > + Ta có : ( ) ' 2 3 2 1 ( ) . 3 0 , 0 3 2 1 3 t t f t t t t t + + = + > > + + + Bảng biến thiên t 0 +∞ ' ( )f t + ( )f t +∞ 2 Ứng mỗi 0t > thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm 0; 2 x π   ∈  ÷   của PT (1) Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa 0; 2 x π   ∈  ÷   khi và chỉ khi PT (3) có duy nhất nghiệm 0t > . Từ bảng biến thiên ta có : 2m > * Nhận xét : Đây là bài toán tương đối khó, sau khi đặt ẩn phụ ta vẫn được một phương trình chứa căn phức tạp.Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 8 : Cho phương trình 6 3x x mx− + + = (1) .Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải : Điều kiện : 3 6x− ≤ ≤ Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) tương đương với 6 3x x m x x − + + = Xét hàm số 6 3 ( ) x x f x x x − + = + , [ ] 3;6x∈ − Ta có : ' 2 2 12 6 ( ) 2 6 2 3 x x f x x x x x − + = − − + Với mọi [ ] 3;6 12 0, 6 0x x x∈ − ⇒ − < + > nên ( ) ' ( ) 0 , 3;6f x x< ∀ ∈ − Bảng biến thiên : x 3− 0 6 f’(x) − − -1 + ∞ f(x) GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 9 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số - ∞ 1 2 Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm 1 1 2 m m ≤ −   ⇔  ≥  * Nhận xét : Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 9 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 3 2 3 1 2 2 1x x x m− − + + = (1) trên 1 ;1 2 −       Lời giải: Xét hàm số ( ) 2 3 2 3 1 2 2 1f x x x x= − − + + trên 1 ;1 2 −       . Ta có 2 ' 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 ( ) 1 2 1 1 2 1 x x x x f x x x x x x x x   − + + = − = − +  ÷ − + + − + +   Xét hàm số ( ) 3 2 2 1g x x x= + + trên 1 ;1 2 −       . Ta có ( ) 2 3 4 0 0g x x x x ′ = + = ⇔ = Ta có bảng biến thiên x 1 2 − 0 1 ' ( )g x + 0 − ( )g x 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 1 ( ) 1, ;1 2 g x x   ≥ ∀ ∈ −     và 1 ;1 2 x   ∀ ∈ −     ta có 1 5 3( ) 4 3 4 3.1 4 3 4 7 2 2 x x− + ≤ + ≤ + ⇔ ≤ + ≤ . Suy ra 2 3 2 3 3 4 1 0, ;1 2 1 2 1 x x x x x +   + > ∀ ∈ −     − + + Do đó ( ) 0 0f x x ′ = ⇔ = Bảng biến thiên: x 1 2 − 0 1 ' ( )f x − 0 + GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 10 [...]... trình GV: Trần Dũng mx − x − 3 ≤ m + 1 ⇔ 12 1+ x − 3 ≥m x −1 Khi đó hàm số Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số -f ( x) = 1+ x − 3 x −1 dẫn đến việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm và xét dấu đạo hàm gặp khó khăn Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình ( 4 + x )... ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một phương trình với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều bài toán tìm tham số, làm bài có những lập luận... − 1− x = y − 1− y ⇔ f ( x) = f ( y ) Xét hàm số f (t ) = t − 1 − t , t ∈ [ 0;1] 1 > 0 , ∀t ∈ ( 0;1) ⇒ hàm số y = f (t ) đồng biến trên [ 0;1] 2 t 2 1− t Khi đó : f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Thay vào hệ ta được : x − 1 − x = m + 1 , x ∈ [ 0;1] (2) f ' (t ) = 1 + Xét hàm số f ( x) = x + 1 − x , x ∈ [ 0;1] GV: Trần Dũng 17 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương... việc khảo sát hàm số f ( x) ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số f ( x) 2.2* Dạng 2: Bất phương trình Bài toán 1: Tìm m để bất phương trình 4 x − 2 + 2 4 − x < m có nghiệm Lời giải: Điều kiện: 1 ≤ x≤4 2 GV: Trần Dũng 11 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa... trang bị cho học sinh THPT, đăc biệt học sinh 12 phương pháp dùng đạo hàm để giải bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm Phương pháp này nhằm giúp cho học sinh giải được bài toán dạng trên trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng GV: Trần Dũng 21 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình... GV: Trần Dũng 16 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số -1 4 1 4 Vì v ≥ − ⇒ 8 − u ≥ − ⇔ u ≤ 33 1 33 Do đó: − ≤ u ≤ 4 4 4   Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm u ∈  − ;   4 4 1 33   Xét hàm số f (u ) = −u 2 + 8u , u ∈  − ;   4 4 1 33...  2  2 x + 9 − 1 x Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi x ⇔ m < min  ¡ Xét hàm số f ( x ) = Ta có f ′( x) = 2x2 + 9 −1 trên ¡ 9 − 2 x2 + 9 2 x2 + 9 Bảng biến thiên: GV: Trần Dũng x ( ) 2 x2 + 9 −1 x f ′( x) 2  x = −6 = 0 ⇔ 9 − 2x2 + 9 = 0 ⇔  x = 6 −∞ - -6 0 13 + 6 0 +∞ - Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ... : (2) ⇔ m(2u + 1) = −u 2 + u ⇔ m = 2u + 1 4 1 −u + u , với u ≥ − 4 2u + 1 2 2u + 2u − 1 3 −1 ' , f ' (u ) = 0 ⇔ u = Ta có : f (u ) = − 2 2 ( 2u + 1) Xét hàm số f (u ) = 2 Bảng biến thiên : GV: Trần Dũng 18 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số -− u 1 4 3 −1 2 + f '... nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm thỏa 0 < v < 3 1 Xét hàm số f (v) = 3 − v + , v ∈ ( 0;3) v 1 Ta có : f ' (v) = −1 − 2 < 0 , ∀v ∈ ( 0;3) v u = 32 x + y (u > 0,v > 0) Ta được : Đặt  v = 3x + 3 y  Bảng biến thiên : v 0 ' f (v ) f (v ) +∞ 3 − 1 3 1 3 Từ bảng biến thiên ta có: 3m > ⇔ m > −1 GV: Trần Dũng 19 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương... bất phương trình (2) có nghiệm x ∈ [ −1;1] GV: Trần Dũng 20 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số Ta có : x 2 − (m + 2) x + 2m + 3 ≥ 0 ⇔ ( x − 2 ) m ≤ x 2 − 2 x + 3 ⇔ m ≥ Xét hàm số f ( x) = f ' ( x) = Bảng biến thiên x -1 ' f ( x) f ( x) x2 − 2x + 3 , x ∈ [ −1;1] x−2 . Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,. Thanh 1 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản.Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng đạo hàm để giải. logarit, hệ phương trình. IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất cả học sinh bậc THPT trên toàn tỉnh GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh 2 Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương