Microsoft Word HinhHoaVP doc TẬP GHI BÀI HÌNH HỌC HỌA HÌNH HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Trang 1 BÀI MỞ ĐẦU 1 Mục đích của môn học Nghiên cứu việc biểu diễn các mô hình hình học trong không gian (3 chiều)[.]
TẬP GHI BÀI HÌNH HỌC HỌA HÌNH HHHH – LNT – HHVKT BKHCM BÀI MỞ ĐẦU Mục đích mơn học Nghiên cứu việc biểu diễn mơ hình hình học khơng gian (3 chiều) lên mặt phẳng (2 chiều) dùng hình biểu diễn mặt phẳng để giải tốn hình học khơng gian Là sở môn học vẽ kỹ thuật Các yêu cầu vẽ kỹ thuật 2.1 Tính tương đương hình học (tính phản chuyển) Bản vẽ kỹ thuật phải thiết lập cho từ vẽ xây dựng lại xác đối tượng biểu diễn Muốn xây dựng vẽ đạt yêu cầu nêu trên, người ta sử dụng kết hợp nhiều phép chiếu, sử dụng kết hợp phép chiếu với việc ghi số kèm theo hình chiếu 2.2 Tính trực quan Hình biểu diễn vẽ gây ấn tượng cho người đọc vẽ giống người quan sát trực tiếp đối tượng biểu diễn không gian Bản vẽ có tính trực quan giúp cho người đọc dễ hình dung đối tượng biểu diễn Muốn vậy, điểm đường thẳng không gian cần biểu diễn điểm đường thẳng vẽ Cơng cụ để thành lập mơ hình phép chiếu Một số ký hiệu quy ước - Điểm: dùng chữ in (ví dụ A, B, C …) Đường: dùng chữ thường (ví dụ a, b, d …) Mặt: dùng chữ hoa (ví dụ A, B, P, R …) Không gian Ơclit mở rộng Để đơn giản số phát biểu người ta bổ sung cho không gian Ơclit yếu tố vô tận Không gian Ơclit sau bổ sung yếu tố vô tận gọi Không gian Ơclit mở rộng Mỗi đường thẳng không gian bổ sung điểm vô tận xác định bẳng hướng đường thẳng Ký hiệu A∞, B∞ … Mỗi mặt phẳng bổ sung đường thẳng vô tận tập hợp tất điểm vô tận đường thẳng thuộc mặt phẳng Mỗi không gian bổ sung mặt phẳng vô tận Các phép chiếu 5.1 Phép chiếu xuyên tâm Trong không gian, xác định mặt phẳng P điểm S không thuộc P Muốn chiếu điểm A thuộc không gian từ S lên P, người ta : - Vẽ đường thẳng qua hai điểm S A - Xác định giao điểm A' SA P Các tên gọi : P : Mặt phẳng hình chiếu S : Tâm chiếu Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM SA : Tia chiếu A' : Hình chiếu điểm A từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P Tính chất: - Hình chiếu đường thẳng khơng qua tâm chiếu đường thẳng 5.2 Phép chiếu song song Trong không gian, xác định mặt phẳng mặt phẳng P P hướng l không song song với Muốn chiếu điểm A thuộc không gian theo hướng s lên P, người ta : - Vẽ đường thẳng song song với l qua điểm A - Xác định giao điểm A' đường thẳng P Các tên gọi : P : Mặt phẳng hình chiếu l : Hướng chiếu A' : Hình chiếu điểm A theo hướng chiếu l lên mặt phẳng hình chiếu P Tính chất: - Phép chiếu song song bảo tòan song song: AB//CD⇒A’B’//C’D’ - Phép chiếu song song bảo tòan tỉ số đơn hai đọan thẳng song song AB / CD = A’B’ / C’D’ - Phép chiếu song song bảo tòan tỉ số đơn ba điểm thẳng hàng CE / CD = C’E’ / C’D’ 5.3 Phép chiếu vng góc Là phép chiếu song song có hướng chiếu l vng góc với mặt phẳng hình chiếu P Các phương pháp biểu diễn 6.1 Phương pháp hình chiếu thẳng góc Phương pháp hình chiếu vng góc xây dựng hình biểu diễn sở phép chiếu vng góc Phương pháp sử dụng kết hợp nhiều phép chiếu vng góc để xây dựng hình biểu diễn đối tượng thuộc khơng gian Các hình biểu diễn xây dựng theo phương pháp hình chiếu vng góc dễ thể xác hình dạng kích thước đối tượng biểu diễn Hình biểu diễn xây dựng phương pháp sử dụng nhiều kỹ thuật Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 6.2 Phương pháp hình chiếu trục đo Phương pháp hình chiếu trục đo xây dựng hình biểu diễn sở phép chiếu song song Hình chiếu trục đo thể ba chiều kích thước đối tượng nên tính trực quan vẽ tăng lên 6.3 Phương pháp phối cảnh Phương pháp phối cảnh xây dựng hình biểu diễn sở phép chiếu xuyên tâm Phương pháp thể ba chiều kích thước đối tượng phương pháp hình chiếu trục đo để tăng tính trực quan vẽ 6.4 Phương pháp hình chiếu có số Phương pháp hình chiếu có số xây dựng hình biểu diễn sở phép chiếu vng góc Phương pháp xây dựng hình biểu diễn (hình chiếu có số) mặt phẳng hình chiếu nằm ngang thường gọi mặt Các độ cao ghi số gần hình biểu diễn Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Chương 1 Phương pháp hình chiếu thẳng góc Điểm 1.1 Biểu diễn Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu: Lấy hai mặt phẳng: - Mặt phẳng P thẳng đứng - Mặt phẳng P nằm ngang P1 II I - P1 ∩ P = x III - (P 1, P 2): hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu P2 IV Biểu diễn điểm A: - Chiếu vng góc A lên P điểm A1 - Chiếu vng góc A lên P điểm A2 - Xoay P quanh x (chiều mũi tên) trùng P Ỉ A2 đến thuộc P Nhận xét: - A1AxA2 thẳng hàng vng góc với x Kết luận: - Một điểm A không gian biểu diễn mặt phẳng cặp điểm (A1, A2) - Ngược lại cặp điểm (A1, A2) mặt phẳng xác định xác điểm A không gian Cặp điểm (A1, A2) thỏa mãn tính tương đương hình học biểu diễn điểm A nên gọi đồ thức điểm A Tên gọi: - P 1: mặt phẳng hình chiếu đứng - P 2: mặt phẳng hình chiếu - x: trục hình chiếu - A1: hình chiếu đứng điểm A - A2: hình chiếu điểm A - Đường nối A1 A2: đường dóng đứng - A1Ax: độ cao điểm A - A2Ax: độ xa điểm A Hai mặt phẳng P P chia không gian làm bốn phần, phần gọi góc tư khơng gian đánh số theo thứ tự hình vẽ Độ cao điểm quy ước dương, khơng hay âm tùy thuộc điểm nằm trên, thuộc hay nằm mặt phẳng P 2; hình biểu diễn tùy thuộc A1 nằm phía trên, thuộc hay nằm trục hình chiếu x Độ xa điểm quy ước dương, không hay âm tùy thuộc điểm nằm trước, thuộc hay nằm sau mặt phẳng P 1; hình biểu diễn tùy thuộc A2 nằm dưới, thuộc hay nằm phía trục hình chiếu x Trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu, người ta định nghĩa thêm hai mặt phẳng phân giác: Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM - Mặt phẳng phân giác thứ (ký hiệu G 1) chia đôi góc tư thứ I thứ III Mặt phẳng phân giác thứ hai (ký hiệu G 2) chia đơi góc tư thứ II thứ IV 1.2 Hình chiếu cạnh Bổ sung mặt phẳng P - P ⊥ P 1, P ∩ P = z P1 - P ⊥ P 2, P ∩ P = y Hình chiếu cạnh điểm A: - Chiếu vng góc A lên P điểm A3 - Xoay P quanh z (chiều mũi tên) trùng với P Ỉ A3 đến thuộc P Nhận xét: - A1AzA2 thẳng hàng vuông góc với z - AzA3 = AxA2 Tên gọi: - P 3: mặt phẳng hình chiếu cạnh - A3: hình chiếu cạnh điểm A - A1Az: độ xa cạnh điểm A P3 P2 Đường thẳng 2.1 Biểu diễn Đường thẳng xác định hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng Như đường thẳng d không gian biểu diễn mặt phẳng cặp đường thẳng (d1, d2) ngược lại cặp đường thẳng (d1, d2) mặt phẳng xác định xác đường thẳng d không gian 2.2 Các đường thẳng đặc biệt 2.2.1 Đường thẳng song song với mp hình chiếu 2.2.1.1 Đường Định nghĩa: // P Tính chất: - A1B1 // x (tính chất đặc trưng) - A2B2 = AB - α = (AB,^P 1) = (A2B2 ,^x) Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 2.2.1.2 Đường mặt Định nghĩa: // P Tính chất: - A2B2 // x (đặc trưng) - A1B1 = AB - β = (AB,^ P 2) = (A1B1 ,^x) 2.2.1.3 Đường cạnh Định nghĩa: // P Tính chất: - A1B1 A2B2 ⊥ x (đặc trưng) - A3B3 = AB - α = (AB,^P 1) = (A3B3 ,^z) - β = (AB,^ P 2) = (A3B3 ,^y) Chú ý: Đồ thức đường cạnh phải xác định đồ thức hai điểm phân biệt thuộc đường cạnh 2.2.2 Đường thẳng vuông góc với mp hình chiếu 2.2.2.1 Đường thẳng chiếu Định nghĩa: ⊥ P Tính chất: - A2 ≡ B2 A1B1 ⊥ x (đặc trưng) - A1B1 = AB = A3B3 2.2.2.2 Đường thẳng chiếu đứng Định nghĩa: ⊥ P Tính chất: - A1 ≡ B1 A2B2 ⊥ x (đặc trưng) - A2B2 = AB = A3B3 2.2.2.3 Đường thẳng chiếu cạnh Định nghĩa: ⊥ P Tính chất: - A1B1 // A2B2 // x (đặc trưng) - A1B1 = A2B2 = AB - A3 ≡ B3 2.3 Điểm thuộc đường thẳng 2.3.1 Đường thẳng đường cạnh Đinh lý: M ∈ AB ⇔ M1 ∈ A1B1 & M2 ∈ A2B2 Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 2.3.2 Đường thẳng đường cạnh A1 Giả sử M1 ∈ A1B1 & M2 ∈ A2B2 Định lý: M ∈ AB ⇔ (M1A1B1) = (M2A2B2) Cũng dùng hình chiếu cạnh M ∈ AB ⇔ M3 ∈ A3B3 A1 M1 B1 M1 B1 A* M* B* A2 M2 B2 A3 M3 B3 A2 M2 B2 2.4 Vị trí tương đối hai đường thẳng 2.4.1 Hai đường thẳng cắt a1 Đinh lý: x a ∩ b = M ⇔ a1 ∩ b1 = M1 & a2 ∩ b2 = M2 Trường hợp hai đường đường cạnh ta phải xét thêma2 giao điểm có thuộc đường cạnh khơng M1 b1 b2 M2 2.4.2 Hai đường thẳng song song a1 2.4.2.1 Đường thẳng đường cạnh Đinh lý: a // b ⇔ a1 // b1 & a2 // b2 b1 b2 2.4.2.2 Đường thẳng đường cạnh Giả sử hai đường cạnh AN CD không thuộc mặt phẳng song song với P Định lý: Điều kiện cần đủ để hai đường cạnh AB CD song song đường nối điểm dầu mút chúng song song cắt Cũng dùng hình chiếu cạnh AB // CD ⇔ A3B3 // C3D3 A1 C1 A1 C1 B1 D1 B1 D1 B1 A2 C2 A2 B2 D2 B2 C2 D2 A2 B2 C2 D2 C1 C3 D1 B3 2.4.3 Hai đường thẳng chéo Hai đường thẳng không song song cắt chéo a1 x x a2 a1 b1 b2 a2 b1 b2 Mặt phẳng 3.1 Biểu diễn Mặt phẳng biểu diễn yếu tố xác định mặt phẳng: Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM - Ba điểm không thẳng hàng Một điểm đường thẳng không chứa điểm Hai đường thẳng cắt Hai đường thẳng song song 3.2 Mặt phẳng đặc biệt 3.2.1 Mặt phẳng vng góc với mp hình chiếu 3.2.1.1 Mặt phẳng chiếu đứng Định nghĩa: ⊥ P Tính chất: - Hình chiếu đứng suy biến thành đường thẳng (đặc trưng) - α = (A ,^P 2) = (A ,^x) 3.2.1.2 Mặt phẳng chiếu Định nghĩa: ⊥ P Tính chất: - Hình chiếu suy biến thành đường thẳng (đặc trưng) - β = (A ,^ P 1) = (A ,^x) 3.2.1.3 Mặt phẳng chiếu cạnh Định nghĩa: ⊥ P Tính chất: - Chứa đường thẳng chiếu cạnh (đặc trưng) - Hình chiếu cạnh suy biến thành đường thẳng 3.2.2 Mặt phẳng song song với mp hình chiếu 3.2.2.1 Mặt phẳng Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Định nghĩa: // P Tính chất: - Hình chiếu đứng suy biến thành đường thẳng song song với x (đặc trưng) - Hình chiếu hình phẳng lớn thật 3.2.2.2 Mặt phẳng mặt Định nghĩa: // P Tính chất: - Hình chiếu suy biến thành đường thẳng song song với x (đặc trưng) - Hình chiếu đứng hình phẳng lớn thật 3.2.2.3 Mặt phẳng cạnh Định nghĩa: // P Tính chất: - Hình chiếu đứng suy biến thành đường thẳng vng góc với x (đặc trưng) - Hình chiếu cạnh hình phẳng lớn thật 3.3 Điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng - Điểm thuộc mặt phẳng thuộc đường thẳng mặt phẳng Đường thẳng thuộc mặt phẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Chương Các toán Các toán phức tạp cấu tạo từ nhiều toán đơn giản Muốn giải toán phức tạp phải thơng qua việc giải tốn đơn giản Những toán đơn giản xem phương tiện để giải tốn hình học hoạ hình gọi toán Các tốn vị trí Xác định tương quan vị trí yếu tố hình học 1.1 Bài toán tương giao 1.1.1 Giao đường thẳng với mặt phẳng chiếu Ví dụ 1: Cho đường thẳng d mặt phẳng chiếu đứng A, xác định giao đường thẳng với mặt phẳng Giải: Ví dụ 2: Cho đường thẳng d, tìm giao đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu P 1, P Giải: Giao điểm đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu gọi vết đường thẳng - U = d ∩ P : vết đứng đường thẳng d - V = d ∩ P : vết đường thẳng d 1.1.2 Giao đường thẳng chiếu với mặt phẳng Ví dụ: Cho mặt phẳng A(a//b) đường thẳng chiếu đứng d Hãy xác định giao đường thẳng mặt phẳng Giải: Trang 11 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 1.1.3 Giao mặt phẳng với mặt phẳng chiếu Ví dụ 1: Cho mặt phẳng chiếu đứng A mặt phẳng thường B(a//b), xác định giao hai mặt phẳng Giải: Ví dụ 2: Cho mặt phẳng A (a∩b), xác định giao mặt phẳng A với mặt phẳng hình chiếu P 1, P Giải: Giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu gọi vết mặt phẳng - u = A ∩ P : vết đứng mặt phẳng A - v = A ∩ P : vết mặt phẳng A Hai vết mặt phẳng hai đường thẳng cắt mặt phẳng (cắt điểm thuộc trục x) nên chúng xác định mặt phẳng Việc xác định mặt phẳng vết đơn giản thuận tiện nên sử dụng nhiều Hình chiếu vết đứng hình chiếu đứng vết trùng với trục hình chiếu x nên quy ước khơng vẽ Cịn lại u1 v2 ghi đơn giản u v Vết mặt phẳng khác A, B… ký hiệu (uA, vA), (uB, vB)… Ví dụ biểu diễn mặt phẳng A vết chúng: Trang 12 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 1.1.4 Giao đường thẳng với mặt phẳng thường Dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ để tìm giao điểm - Dựng mặt phẳng phụ trợ σ chứa đường thẳng (thường mặt phẳng chiếu) - Tìm giao tuyến phu g mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng cho - Tìm giao giao phụ với đường thẳng cho, giao điểm cần tìm Ví dụ: Cho đường thẳng d mặt phẳng A(a//b) Xác định giao đường thẳng d mặt phẳng A Giải: 1.1.5 Giao hai mặt phẳng thường Phương pháp xác định giao tuyến tìm hai điểm chung hai mặt phẳng Để tìm điểm chung hai mặt phẳng ta thực theo hai cách sau: Cách 1: Tìm điểm chung cách tìm giao điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng với mặt phẳng Cách 2: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ - Dựng mặt phẳng phụ trợ σ cắt hai mặt phẳng cho - Tìm giao tuyến phụ mặt phẳng phụ trợ với mặt phẳng cho - Tìm giao điểm giao tuyến phụ ta điểm chung giao tuyến Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng A(a//b) B(c∩d) Xác định giao hai mặt phẳng Giải: Trang 13 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng A (uA, vA) B (uB, vB) xác định bẳng vết Xác định giao hai mặt phẳng Giải: 1.2 Sự song song 1.2.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng Việc dựng đường thẳng song song với mặt phẳng dựa mệnh đề hình học: - Một đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng thuộc mặt phẳng Ví dụ: Qua điểm M cho trước dựng đường song song với mặt phẳng A 1.2.2 Hai mặt phẳng song song Dựa mệnh đề hình học: - Hai mặt phẳng song song mặt phẳng có chứa cặp đường thẳng cắt song song với mặt phẳng Ví dụ: Cho điểm M không thưộc mặt phẳng A (a∩b) Qua M dựng mặt phẳng song song với mặt phẳng A Giải: Trang 14 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 1.3 Quy ước xét thấy khuất đồ thức Trong thực tế quan sát vật ta thấy có phần thấy phần khuất Trên đồ thức cách thể thấy khuất dựa theo quy ước sau: - Người quan sát đặt mắt vô tận theo chiều dương độ xa nhìn hình chiếu đặt mắt vô tận theo chiều dương độ cao nhìn hình chiếu - Vật thể xem vật rắn 1.3.1 Xét thấy khuất hình chiếu đứng Dùng cặp điểm đồng tia chiếu đứng, điểm có độ xa lớn (gần mắt hơn) thấy hình chiếu đứng 1.3.2 Xét thấy khuất hình chiếu Dùng cặp điểm đồng tia chiếu bằng, điểm có độ cao lớn (gần mắt hơn) thấy hình chiếu Trang 15 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Các tốn lượng Nói chung giá trị thật khơng bảo tồn qua phép chiếu nên để xác định giá trị thật ta phải giải toán định gọi toán lượng 2.1 Độ dài đoạn thẳng Vẽ BB* // AB P1 Xét tam giác vng A1B1A* ta có: - A1A* ⊥ A1B1 - A1A* = hiệu độ xa A B - B1A* = AB Như cách vẽ tam giác vng P2 A1B1A* hình chiếu đứng ta xác định độ dài thật đoạn thẳng AB (là B1A*) Vẽ AB* // AB P1 Xét tam giác vng A2B2B* ta có: - A1B* ⊥ A1B1 - B2B* = hiệu độ xa A B - A2B* = AB Như cách vẽ tam giác vng P2 A2B2B* hình chiếu ta xác định độ dài thật đoạn thẳng AB (là A2B*) Chú ý: Bằng phương pháp tam giác, việc xác định độ dài thật ta xác định góc thật đường thẳng AB với mặt phẳng hình chiếu - α = (AB,^P 1) = (A1B1^A*) - β = (AB,^P 2) = (A2B2^B*) 2.2 Đường thẳng vng góc Đinh lý: Điều kiện cần đủ để góc có cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu góc vng hình chiếu vng góc mặt phẳng hình chiếu góc vng Đinh lý áp dụng: - Điều kiện cần đủ để đường thẳng vng góc với đường hình chiếu đường thẳng vng góc với hình chiếu đường - Điều kiện cần đủ để đường thẳng vuông góc với đường mặt hình chiếu đứng đường thẳng vng góc với hình chiếu đứng đường mặt b1 a1 x a2 b2 m1 a1 x a2 m2 a cắt vng góc b a chéo vng góc m Trang 16 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ví dụ 1: Cho mặt phẳng A (ABC) điểm M Qua M dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng A Giải: Ví dụ 2: Cho đường thẳng d điểm M Qua M dựng mặt phẳng vng góc với đường thẳng d Giải: Một số toán 3.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Ví dụ: Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Giải: 3.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A Ví dụ: Cho điểm M mặt phẳng A (uA, vA) Xác định khoảng cách từ M đến mặt phẳng Trang 17 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Giải: 3.3 Góc đường thẳng mặt phẳng 3.4 Góc hai mặt phẳng Ví dụ: Xác định góc mặt phẳng A (uA, vA) mặt phẳng hình chiếu bẳng Giải: Trang 18 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Chương Các phép biến đổi hình chiếu Nếu hình Φ có vị trí hình học đặc biệt, thơng số hình học thể hình biểu diễn, tốn thực thuận lợi dễ dàng Các phép biến đổi hình chiếu đưa hình Φ trở thành có vị trí đặc biệt so với mặt phẳng hình chiếu Thực theo hai cách: - Phép thay mặt phẳng hình chiếu: Giữ nguyên hình Φ, thay hệ thống mặt phẳng hình chiếu cho hệ thống mới, hình Φ có vị trí hình học đặc biệt - Phép dời hình: Giữ nguyên hệ thống mặt phẳng hình chiếu, thay đổi vị trí hình Φ cho vị trí hình Φ có vị trí hình học đặc biệt Phép thay mặt phẳng hình chiếu 1.1 Thay mặt phẳng hình chiếu Là dùng mặt phẳng P ‘2 ⊥ P để thay cho mặt phẳng P P1 x' A1 A'x P ∩ P ‘2 = x’ P 2' A'2 A A x x Thực hiện: A'2 - Chiếu vuông góc A lên P ‘2 điểm A’2 A2 P2 - Xoay P ‘2 quanh x’ trùng P Ỉ A’2 đến thuộc P Nhận xét: x' - A1 không đổi A1 - A1A’xA’2 thẳng hàng vng góc với x’ A'x A'2 - A’xA’2 = AxA2 (độ xa = độ xa cũ) x Ax Thực hình biểu diễn: - Vẽ trục hình chiếu x’ A2 - Qua A1 vẽ đường vuông góc với x’ - Lấy A’2 cho A’xA’2 = AxA2 Tên gọi: - P ‘2: mặt phẳng hình chiếu - x: trục hình chiếu - A’2: hình chiếu điểm A - A’xA’2: độ xa điểm A Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB, thay mặt phẳng hình chiếu cho hệ thống mặt phẳng hình chiếu AB đường Giải: A1 B1 x A2 B2 Trang 19