ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ——————– * ——————— LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1 NĂM HỌC 2016 2017 CLB CHÚNG TA CÙNG TIẾN WE LEARN WE SHARE TP Hồ Chí Minh Ngày 3 thá[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ——————– * ——————— LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN : GIẢI TÍCH NĂM HỌC : 2016 - 2017 CLB CHÚNG TA CÙNG TIẾN WE LEARN - WE SHARE TP Hồ Chí Minh Ngày tháng 11 năm 2017 Lời nói đầu Tài liệu Ban Chuyên Môn CLB Chúng Ta Cùng Tiến biên soạn với mục đích hỗ trợ việc học tập cho bạn học mơn Giải Tích 1, đặc biệt bạn tân sinh viên Tài liệu ngắn, nhiên cơng sức bạn CLB, bỏ thời gian để giải đề gõ tài liệu Tài liệu giải đề chủ yếu theo hướng tìm đáp án chính, giúp sinh viên tìm đáp án cách nhanh chóng Một số chỗ có thêm phần mở rộng thích riêng Nếu có thắc mắc hay đóng góp gì, đừng ngần ngại, liên lạc với CLB Chúng Ta Cùng Tiến ! Email : chungtacungtienbk@gmail.com Fanpage : https://www.facebook.com/Chungtacungtien Thực CLB Chúng Ta Cùng Tiến CLB Chúng Ta Cùng Tiến facebook.com/Chungtacungtien/ Câu 1: Điểm uốn đồ thị hàm số f (x) = xe−2x A (0, 0) C (1, e−2 ) B (2, −4) D Không tồn Giải Ta có f (x) = e−2x + x − 2.e−2 ⇒ f 00 (x) = e−2x (4x − 4) f 00 (x) = ⇔ x = ⇒ f (x) = e−x Chọn C Câu : Tập giá trị cũa hàm số f (x) = sin(arctan(x2 + 1)) A [−1, 1] B (−π/2, π/2) √ D [ 2/2, 1) C [1, π/2] Giải Ch ún gT aC 3π π π ≤ arctan(x2 + 1) ≤ ⇒ ≤ f (x) = sin(arctan(x2 + 1)) ≤ Ta có x2 + ≥ ⇒ 4 √ 3π sin ⇔ ≤ f (x) ≤ Chọn đáp án D Câu : Số tiệm cận đồ thị hàm số f (x) = (x + 1)ln(2 − ) x A B C D Giải ~ Tiệm cận đứng : lim f (x) = ∞.ln2 = ∞ x→∞ Vậy hàm số có tiệm cận xiên Ta khơng cần tính tiệm cận xiên đề hỏi số tiệm cận ~ Tiệm cận ngang : Dễ thấy đường x = √ Câu 4: Cho f (x) = arctan( 2x − 1) Tìm f −1 (x) B arctan(2x + 1)3 C Giải tan(x3 + 1) CL A tan(x/2 + 1)3 B Chọn đáp án C D tan3 x+1 √ √ tan3 y + y = arctan( 2x − 1) ⇒ 2x − = tany ⇒ 2x − = tan3 y ⇒ x = Chọn đáp án D Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang CLB Chúng Ta Cùng Tiến facebook.com/Chungtacungtien/ A [1/e, e] Ta Cù ng T iế n Câu : Tập xác định hàm số f (x) = arcsin(lnx) B (0, e] C [0, +∞) D Các câu khác sai Giải Trước hết có lnx x > trước Cịn arcsin ta phải nhớ lại phần ngoặc phải nằm đoạn [−1, 1] −1 ≤ lnx ≤ nên ≤ x ≤ e e Chọn đáp án A Câu 6: Tính giới hạn hàm số I = lim+ x1/ln(x) x→0 A D ∞ C e B Giải Câu vừa nhìn vào cầm máy tính lên Nhập biểu thức vào nhấn nút CALC ( nút SHIFT ) Chọn đáp án giá trị x 0,000001 ta 2,71828 số e Hay cách khác : I = lim+ x ln(x) = lim+ e x→0 ln(x) x ln x→0 ln(x) ln(x) = lim+ e = lim+ e1 = e Ch ún g x→0 x→0 (Bằng e với x ?? Vậy cho dù em có bấm máy số kết !) Thông thường ta bấm máy trừ số trường hợp cần coi chừng : • Bấm số vô nhỏ xxx.10−abc chưa nó enum số hồn tồn khác • Cịn trường hợp sau gần 99,69 CL B – Ra số hay gần số 1,2,3, 0.9999, 0.6666 – Ra số liên quan tới e 2,71828 số lạ 7,mấy, phết lũy thừa e, bạn bấm ln(Ans) để biết số mũ Chọn đáp án C ( x = t + 1/t Câu 7: Cho hàm số y = y(x) dạng tham số Tính đạo hàm cấp hai y = t3 − 3t + d2 y y 00 (x) = t = dx A B C 12 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ D 16 Trang CLB Chúng Ta Cùng Tiến facebook.com/Chungtacungtien/ Ta Cù ng T iế n Giải (y (x))0 y (t) 3t2 − 6t 00 = 3t ⇒ y (x) = ⇒ y 00 (t = 2) = 16 = = 0 1 x (t) x (t) 1− 1− t t Chọn đáp án D Ta có y (x) = x2 Câu 8: Tiệm cận xiên đồ thị hàm số f (x) = √ x3 + 3x2 A y=x B y =x−1 C y =x+1 D Các câu khác sai Giải f (x) x = lim √ =1 a = lim x→∞ x x→∞ x3 + 3x2 Ta có x2 − x) b = lim (f (x) − ax) = lim ( √ x→∞ x→∞ x3 + 3x2 Tìm a dễ rồi, cịn b khó Ở bạn nhập ln biểu thức vào máy để bấm, Chọn đáp án x = 9999999 dễ thấy b = −1 Tuy nhiên chơi "ĐẸP" làm sau : Chọn đáp án B Ch ún g √ x x2 3 − x) = lim √ x − x + 3x b = lim ( √ x→∞ x3 + 3x2 x→∞ x3 + 3x2 x3 − x3 − 3x2 −3x2 p √ = lim = lim = −1 x→∞ x2 + x x3 + 3x2 + (x3 + 3x2 )2 x→∞ x2 + x2 + x2 r n Câu : Tìm giới hạn hàm số I = lim x→+∞ A B 12n3 + 22n+1 4n3 + + 22n−1 C D Không tồn Giải Nhập giá trị khoảng 150 vào ta thấy hàm tiến tới ( Do nhập số lớn máy báo M athERRO - lỗi tính tốn) Hay ta làm theo cách "củ chuối" sau: r 12n3 + 22n+1 = lim 4n3 + + 22n−1 x→∞ r B I = lim n x→+∞ n n+2 √ 22n+1 n = lim 2n+2 = n = 2.2 n = x→∞ 2n−1 CL Chọn đáp án B Câu 10 : Tìm a, b để hàm số f (x) = A a = 0, b = B a = 6, b = √ ax + b + đạt cực trị (1, 4) x C a = 1, b = D Các câu khác sai Giải Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang CLB Chúng Ta Cùng Tiến facebook.com/Chungtacungtien/ Ta Cù ng T iế n Câu đơn giản, ta lấy đạo hàm f (x) đáp án vào với x = 1, cực trị a − f (x) = √ ax + b x Ta thấy có đáp án B thoản mãn Chọn đáp án B −sinx ,x > 4x x=0 Câu 11: Cho hàm số f (x) = b, √ a − x − 2, x < x A -1 B liên tục Tìm ab C D Không tồn Giải Để hàm số liên tục Ch ún g √ −sinx a−x−2 −x lim+ f (x) = lim− f (x) = f (0) ⇔ b = lim+ = lim− ⇔ lim+ =b= x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 4x 4x x a−4−x √ lim− x→0 x a−x+2 Dễ thấy b = Còn a, ta thấy để triệt tiệu (a − 4) cho x rút gọn x = vào ta thấy kết −1 = −1 Chọn đáp án A Vậy ab = x+2 Câu 12 : Khai triển Maclaurin f (x) = ln đến cấp 2x + A f (x) = + 3x − 2x2 + o(x2 ) B f (x) = ln2 − 3/4x + 3/4x2 + o(x2 ) C f (x) = lnx − 1/4x + 7/12x2 + o(x2 ) D f (x) = ln2 − 3/2x + 15/8x2 + o(x2 ) Giải Ta có B f (x) = ln x+2 2x + = ln(x + 2) − ln(2x + 1) x = −ln(1 + (2x)) + ln2 + ln(1 + ) 2 4x x x = ln2 − 2x + + − 2 = ln2 − 3/2x + 15/8x2 + o(x2 ) CL Chọn đáp án D Câu 13: Số cực trị hàm số f (x) = A B √ x3 − 3x2 C D Giải Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang CLB Chúng Ta Cùng Tiến facebook.com/Chungtacungtien/ − x2 − 2x 3 p f (x) = (3x − 6x).(x − 3x ) = 3 (x3 − 3x2 )2 Số cực trị số nghiệm phương trình f (x) = , dễ thấy có cực trị toán Chọn đáp án C ( xx , x ≥ Câu 14: Cho hàm số f (x) = √ Tìm a, b để f có đạo hàm ax + b, x < A a = 1, b = Ta Cù ng T iế n B aa = 0, b = C a = 2, b = D a = 4, b = −3 Giải Để có đạo hàm điểm, hàm số phải thỏa điều kiện điều kiện liên tục, điều kiện đạo hàm √ lim+ xx = lim− ax + b = f (1) x→1 x→1 √ (xx )0x=1+ = ( ax + b)0x=1− √ 1 = a + b a ⇔ (x.xx−1 + lnx.xx )x=1+ = √ ax + b x=1− a + b = ⇔ a + b = a ( a=2 ⇔ b = −1 Chọn đáp án C Ch ún g ( Câu 15: Cho hàm số f (x) = arctan(x2 − 2x) Khẳng định sau ? A Tồn GTNN không tồn GTLN B Tồn GTLN không tồn GTNN C Không tồn GTLN GTNN D Tồn GTLN GTNN Giải CL B Nhắc đến arctan ta nhớ giá trị nằm khoảng − π2 , π2 Mặt khác x2 − 2x = (x − 1)2 − có tập giá trị [−1, +∞), vẽ vịng trịn lượng giác ra, ta thấy arctan(x2 − 2x) ≥ −π Vì chắn khơng tồn GTLN hàm số này, nên ta dùng trợ giúp 50:50 nhờ máy tính bỏ phương án sai B, C D Câu số bạn sử dụng đạo hàm hay số cách khác Tuy nhiên theo bạn nên làm đơn giản Chọn đáp án A √ ax + b + − 4x Câu 16 : Cho giới hạn lim ∈ R∗ Tính giá trị a + b x→0 x.arcsinx A B C +∞ Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ D Các câu khác sai Trang CLB Chúng Ta Cùng Tiến facebook.com/Chungtacungtien/ Giải √ ax + b + − 4x I = lim x→0 x.arcsinx 1 (−4x)2 ax + b + + (−4x) + ( − 1) 2 = lim x→0 x2( a=2 x(a − 2) + b − x2 ⇐ = lim ⇐a+b=1 x→0 x b = −1 Chọn đáp án A A f (x) = + x − x2 + o(x2 ) B f (x) = − 21 (x − 1) + o(x − 1)2 x+1 x0 = đến cấp x2 + C f (x) = 1+(x−1)2 +2(x−1)2 +o(x−1)2 D Các câu khác sai Ch ún gT aC Câu 17: Khai triển Taylor f (x) = Giải Trước tiên đề yêu cầu khai triển x0 = nên câu A chắn sai Đặt X = x − ⇐ x = X + f (x) = x+1 x2 + 1 + 2X + X +2 = X + 2X 1+ X +2 X + 2X (X + 2X)2 = 1− − 2 X +2 X 1 = 1−X + = − X = − (x − 1) 2 2 = (X + 2) X2 Chọn đáp án B Câu 18: Cho f (x) = (1 + 2x)e2+x Tính f (10) (0) B 11e2 C 10!.21 B A 10 CL Giải D 11!.210 Đề yêu cầu tính đạo hàm cấp 10 f (x) x = Theo công thức ta lấy 10! nhân với hệ số phần tử bậc 10 khai triển Maclaurin Ta có f (x) = (1 + 2x)e2+x = (1 + 2x).e2 ex Phần tử bậc 10 khai triển : 10 x x (10) 2 1.e + 2x.e ⇐ f (0) = 10! 1.e + 2.e = 21e2 10! 9! 10! 9! Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang CLB Chúng Ta Cùng Tiến facebook.com/Chungtacungtien/ C + e−2 Giải f (x) = ⇐ x = Ta có (f −1 (x))0 = = f (x) 1 +2 e2 + x = e2 + x = + e−2 + 2e2 + 2x Chọn đáp án C D Các câu khác sai T iế B e+1 A n Câu 19 : Cho f (x) = ln(e2 + x) + 2x + Tính (f −1 )0 (5) A B -7/19 Ta Cù ng √ √ 1+x− 1−x−x Câu 20 : Tính giới hạn I = lim x→0 xcosx − sinx C Không tồn D Các câu khác sai Giải √ √ 1+x− 1−x−x = lim x→0 xcosx − sinx −1 1 −1 −3 −1 −1 −3 x2 x3 x2 x3 1 2 2 2 2 2 −x + + − 1+ x+ 1 − x + 2 6 = x2 x3 x 1− − x− Ch ún g x −3 = lim = x→0 −1 x Gặp đề đừng có dại mà làm ! Rất thời gian, bấm máy cho nhanh, câu theo thấy bấm máy khơng kết xác Tuy nhiên ta chọn đáp án D (ăn hên á) LỜI KẾT • Các dạng đề thi kì mơn Giải Tích thay đổi Vì việc học chắn chắn dạng cần thiết CL B • Mục đích chọn đáp án, thể ! Nên đừng la cà, tìm đáp án cách nhanh chuyển qua câu khác • Số đáp án D Các câu khác sai có xác suất xuất đáp án ít, khoảng 1-2 câu, có năm khơng có câu Vì cân nhắc kỹ trước lựa chọn ! • Thỉnh thoảng đề trường có sai vài câu bạn auto cộng điểm Hai xém auto cơng điểm Vì chắn đề sai tính Hãy nắm bắt tâm lý tội phạm, khoanh vào đáp án mà đáng nhẽ (cái mà bị ghi sai ấy) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang CLB Chúng Ta Cùng Tiến facebook.com/Chungtacungtien/ Ta Cù ng T iế n • Nếu muốn nhiều bí hơn, ơn tập nhiều biết nhiều kiến thức Hãy tham gia lớp học CLB Chúng Ta Cùng Tiến ! Nếu có thắc mắc gì, bạn post câu hỏi group facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ đội ngũ CTCT giải đáp ! CL B Ch ún g • Chúc bạn học tốt thi đạt điểm cao ! Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 10 Ta Cù ng T iế n Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Giáo trình Giải Tích 1, NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH, 2015 [2] Đề thi kỳ mơn giải tích 2016 CL B Ch ún g [3] Tài liệu internet diễn đàn 11