GIẢI BÀI TỔ HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẾM

GIẢI BÀI TỔ HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẾM

GIẢI BÀI TỔ HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẾM

BÀI VIẾT THÁNG 11 NĂM 2011 Thầy giáo: Đậu Anh Hùng

sinh đều cảm thấy khó khăn khi đi tìm lời giải Về các bài toán đếm thường rất đa dạng Trong bài viết này tác giả cố gắng phân loại một số dạng thường gặp trong chương trình nhằm giúp các em có phần tự tin hơn khi gặp các bài toán đếm

A Sử dụng Phương pháp trực tiếp

Dạng 1 Đếm số tập con của một tập hợp

Cho tập X là hợp của n tập rời nhau A1, A2, ,A n Hỏi có bao nhiêu cách chọn k phần tử trong tập hợp X thoả mãn điều kiện nào đó?

Thường các dạng bài toán này phải chia ra nhiều trường hợp Để tránh việc học sinh có thể bỏ sót trường hợp thì có thể dùng hệ phương trình Ta sẽ làm quen với phương pháp này qua các ví dụ

Ví dụ 1 (Đề thi Đại học khối B - 2004)

Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình,

15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi, mỗi đề gồm5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

Giải

Gọi x, y, z lần lượt là số câu hỏi khó, trung bình, dễ được chọn

Theo đề bài ta có hệ







≤

≤

≤

<

≤

<

∈

= + +

15 2

, 10 0

, 5 0

, , , 5

z y

x

N z y x z

y x

Giải hệ ta có nghiệm (2; 1;2); (1; 2; 2); (1; 1; 3)

Với (x; y; z) =(2; 1; 2) ta có 2

15

1 10

2

5.C C

C cách

Với (x; y; z) =(1; 2; 2) ta có 2

15

2 10

1

5.C C

C cách

Với (x; y; z) =(1; 1; 3) ta có 3

15

1 10

1

5.C C

C cách

Vậy có tất cả 2

15

1 10

2

5.C C

15

2 10

1

5.C C

15

1 10

1

5.C C

C cách

Ví dụ 2 (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng cơ khí luyện kim - 2005)

Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam Cần lập 1 đoàn công tác 3 người có

cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?

Giải

Gọi x, y, z lần lượt là số nhà toán học nam, số nhà toán học nữ, số nhà vật lí nam được chọn

Theo đề bài ta có hệ







>

∈

= + +

0 ,

, , , 3

z y

N z y x z

y x

Giải hệ ta có nghiệm (0; 1; 2), (0; 2; 1), (1; 1; 1)

Vậy kết quả là có 1

3

1 4

4 5

1 3

2 4

2 3

1

4.C C C C C C

C + + cách chọn

Dạng 2 Bài toán sắp xếp các phần tử

Bài toán 1 Cho A là một tập gồm n phần tử, B là tập gồm m vị trí khác nhau Có bao nhiêu cách sắp

xếp các phần tử của A vào các phần tử của B thoả mãn điều kiện nào đó

Phương Pháp: Ta kiểm tra xem trong hai tập A và B tập nào có ít phần tử hơn thì các phần tử của tập

đó được chọn phần tử của tập còn lại

Ví dụ 3 (BT3 SGK/54 cơ bản11 ) Giả sử có 7 bông hoa khác màu và 3 lọ hoa khác nhau Hỏi có bao

nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ (mỗi lọ một bông)

Giải.

Tập A gồm 7 phần tử, Tập B gồm 3 phần tử Như vậy các phần tử của B sẽ chọn các phần tử của

A Ta xem A gồm 7 vị trí tương ứng với 7 phần tử

Lấy lọ thứ nhất chọn một vị trí trong 7 vị trí có 7 cách chọn

Lấy lọ thứ hai chọn một vị trí trong 6 vị trí còn lại có 6 cách chọn

Lấy lọ thứ ba chọn một vị trí trong 5 vị trí còn lại có 5 cách chọn

Vậy có 5.6.7=210 cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ

Ví dụ 4 (BT5.a SGK/55 cơ bản 11 ) Bạn đọc tự giải

Ví dụ 5 Cho A = {1; 2; 3; 4; 5} Từ tập A lập được bao nhiêu số:

a Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện 2 lần, các số còn lại xuất hiện đúng 1 lần

b Có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện 4 lần số 2 xuất hiện 2 lần các số khác xuất hiện nhiều nhất 1 lần

Giải:

a Xét tập B gồm 6 vị trí

Tập A gồm 5 phần tử, Tập B gồm 6 phần tử Như vậy các phần tử của A sẽ chọn các phần tử của B

- Đặt số 5 vào 1 trong 6 vị trí có 6 cách

- Đặt số 4 vào 1 trong 5 vị trí còn lại có 5 cách

- Đặt số 3 vào 1 trong 4 vị trí còn lại có 4 cách

- Đặt số 2 vào 1 trong 3 vị trí còn lại có 3 cách

- Đặt 2 số 1 vào 2 vị trí còn lại có 1 cách

Vậy có 6.5.4.5 = 600 số

b Tập B gồm 7 vị trí

- Đặt 3 số 1: Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí có 3

7

C cách

- Đặt 2 số 2: Chọn 2 vị trí trong 4 vị trí còn lại có 2

4

C cách Như vậy còn lại 2 ô và 3 số 3, 4, 5 Lúc này lấy ô để chọn số (ô ít hơn số)

- Ô còn lại thứ nhất có 3 cách chọn số

- Ô còn lại thứ 2 có 2 các chon số

Vậy có 3

7

C 2

4

C 3.2 số

Bài toán 2 Có bao nhiêu cách sắp xếp các phần tử trong đó có hai hoặc nhiều phần tử không đứng

cạnh nhau

Phương pháp: Trước hết sắp xếp các phần tử còn lại và xem như mỗi phần tử là một vách ngăn, các

vách ngăn đó sẽ tạo thành các vị trí Sắp xếp các phần tử kia vào các vị trí mới tạo thành

Ví dụ 6 (BT2.3b SBT/62 cơ bản) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An, Bình

vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho A và Bình không ngồi cạnh nhau

Giải.

Trước hết xếp 8 bạn còn lại vào 8 vị trí có 8! cách Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 9 vị trí Xếp An và Bình vào 9 vị trí có 2

9

A cách

Vậy có 8! 2

9

A cách sắp xếp

Ví dụ 7 (BT 2.14 SBT/63 cơ bản 11) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào

10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu

a Ghế sắp thành hàng ngang

b Ghế sắp quanh một bàn tròn

Giải

a Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành

7 vị trí Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có 4

7

A cách Vậy có 6! 4

7

A cách

b Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành

6 vị trí Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có 4

6

A cách

Vậy có 5! 4

6

A cách sắp xếp

Ví dụ 8 Có 6 bạn nữ và 3 bạn nam xếp thành 1 vòng tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không

có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau

Giải:

Trước hết xếp 6 bạn nữ vào vòng tròn có 5! cách Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6 vị trí Xếp 3 bạn nam vào 3 vị trí có 3

6

A cách

Vậy có 5! 3

6

A cách sắp xếp

Chú Ý

- Sắp xếp n ptử vào n vị trí tạo thành một vòng tròn có (n-1)! cách Đây là hoán vị vòng quanh

- Khi xếp n phần tử thành 1 dãy và xem mỗi phần tử là một vách ngăn thì sẽ tạo thành n+1 vị trí nhưng nếu xếp thành vòng tròn thì sẽ tạo thành n vị trí

Bài toán 3 Có bao nhiêu cách sắp xếp các phần tử trong đó có hai hoặc nhiều phần tử đứng cạnh

nhau

Phương pháp: Ghép các phần tử đứng cạnh nhau và xem như một phần tử

Ví dụ 9 Có 6 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 5 quyển sách Hoá Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp

các quyển sách đó thành 1 dãy trên kệ sao cho các quyển sách Hoá đứng cạnh nhau, các quyển sách Lý đứng cạnh nhau

Giải

Ta ghép các quyển sách hoá lại xem như 1 phần tử H, ghép các quyển sách Lý lại xem như 1 phần tử

L Khi đó xếp 8 phần tử (gồm 6 quyển sách toán và 2 phần tử H và L) có 8! Cách sắp xếp

Ghép 5 quyển sách hoá có 5! cách Ghép 3 quyển sách Lý có 3! Cách Theo quy tắc nhân có 5!.3!.8! cách

Ví dụ 10 Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành

hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau

Giải

Ghép An và Bình thành một phần tử M có 2! cách Xếp 9 phần tử(gồm 8 bạn còn lại và phần tử M) vào 9 vị trí có 9! Cách Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách

Nhận xét

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng Ví dụ 6 như sau:

Sắp xếp 10 bạn thành 1 dãy có 10! Cách Theo VD có 8!. 2

9

A cách xếp sao cho hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau Do đó có 10!- 8! 2

9

A cách sắp xếp sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau Tuy nhiên

đối với bài toán yêu cầu có nhiều hơn hai phần tử cạnh nhau (hay không cạnh nhau) thì với cách làm này là khá phức tạp Vì vậy ta chỉ nên dùng cách này trong trường hợp bài toán yêu cầu có 2 ptử cạnh nhau (hoặc không cạnh nhau) Phương pháp trên được gọi là phương pháp gián tiếp

B Phương Pháp gián tiếp.

Phương pháp này dựa trên nguyên lý “Đếm những cái không cần đếm để biết những cái cần đếm” Theo lý thuyết tập hợp thì phương pháp này thực chất là phép lấy phần bù

Thường phương pháp này được dùng trong những bài toán mà chúng ta khi đếm phải chia ra nhiều trường hợp hơn khi đếm “phần bù của nó”

Ví dụ11 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D - 2006).

Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H Cần chọn ra 4 học sinh tham gia trực tuần sao cho 4 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải Gọi A là tập tất cả các cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh.

Gọi B là tập hợp tất cả các cách chọn không thoả mãn yêu cầu bài toán

Gọi C là tập hợp tất cả các cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán

Ta có A=B∪C, B∩C =φ Theo quy tắc cộng ta có |A|=|B|+|C| hay |C|=|A|-|B|

Dễ thấy |A|= 4

12

C

*Ta tính |B|

Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của lớp T, L, H được chọn trong cách chọn thuộc B

Ta có hệ







≤

≤

≤

≤

≤

≤

∈

=

+

+

3 1

, 4 1

,

5

1

, , , 4

z y

x

N z y x z

y

x

Hệ trên có nghiệm (1; 1; 2); (1; 2; 1); (2;1; 1)

3

1 4

2 5

1 3

2 4

1 5

2 3

1 4

1

5.C C C C C C C C

Do đó

|C|= 4 12

3

1 4

2 5

1 3

2 4

1 5

2 3

1 4

1

5.C C C C C C C C

Ví dụ 12 (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng sư phạm Hà Nội - 2005)

Trong một tổ học sinh của lớp 12 A có 8 nam và 4 nữ Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn

Giải

Gọi A là tập tất cả các cách chọn 3 học sinh trong 12 học sinh

Gọi B là tập hợp tất cả các cách chọn 3 học sinh nữ

Gọi C là tập hợp tất cả các cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán

Như VD11 ta có |C|=|A|-|B|

Mặt khác dễ thấy |A|= 3

12

C , |B|= 4

3

C nên |C|= 3

12

C - 4 3

C =216 Vâỵ có 216 cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1 Từ 6 bông hoa màuvàng, 4 bông hoa màu trắng và 5 bông hoa màu đỏ (các bông hoa đôi một

khác nhau) Người ta chọn một bó hoa gồm 7 bông Có bao nhiêu cách chọn trong đó

a Có đủ 3 màu và số bông hoa màu trắng không ít hơn 3

b Có ít nhất 2 bông hoa màu vàng và ít nhất 3 bông hoa màu đỏ.

Bài 2 Có 12 cây giống 3 loại: Mít có 6 cây, Ổi có 4 cây, Xoài có 2 cây Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao

cho số cây Ổi nhiều hơn số cây Xoài

Bài 3 Một đội văn nghệ có 15 người trong đó có 10 nam và 5 nữ hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5

người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ

Bài 4 Từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vó thể lập được bao nhieu số gồm 6 chữ số khác nhau và tồng các chứ

số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị bằng 9

Bài 5 (Cao đẳng khối A - 2004) Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp Có bao nhiêu

cách chọn 3 em trong lớp để trực tuần sao cho 3 em đó luôn có cán bộ lớp

Bài 6 Một trường tiểu học có 40 em là học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp sinh đôi Cần chọn ra 3 học sinh

trong số 50 em để dj trại hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà không có cặp sinh đôi nào

Bài 7 Một đội văn nghệ có 15 người trong đó gồm 6 nam và 9 nữ Hỏi có bao nhiêu cách thành lập một

nhóm đồng ca gồm 7 người sao cho có ít nhất 2 nữ

Bài 8 Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà chữ số 3 và 4 đứng

canh nhau

Bài 9 Từ một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng Người ta chọn ra 4 viên Hỏi có bao nhiêu cách

chọn số bi lấy ra không đủ cả 3 màu

Bài 10 Cho đa giác lồi 15 đỉnh Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và

cạnh không phải là cạnh của đa giác

Bài 11 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và hai chữ số này đứng

cạnh nhau

Bài 12 Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách toán, 4 cuốn sách vật

lí và 3 cuốn sách hoá học Lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh, mỗi học sinh một cuốn sao cho khi tặng xong mỗi thể loại còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách tặng