Luận văn thạc sĩ phương trình suy rộng và một số vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NAM HẢI PHƯƠNG TRÌNH SUY RỘNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NH[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NAM HẢI PHƯƠNG TRÌNH SUY RỘNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NAM HẢI PHƯƠNG TRÌNH SUY RỘNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 46 01 02 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN VŨ e Mục lục Mở đầu Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Rn Rm×n 1.2 Cơ sở giải tích đa trị 1.3 Một số kết khái niệm khác 1.3.1 Cơ sở giải tích lồi 1.3.2 Định lý điểm bất động Kakutani 10 Chương Phương trình suy rộng nghiệm chúng 11 2.1 Các kết 11 2.2 Trường hợp ánh xạ đa diện 17 2.3 Tính ổn định phương trình suy rộng tuyến tính 19 Chương Một số ứng dụng vào toán quy hoạch phi tuyến 23 3.1 Sơ lược toán quy hoạch toán học 23 3.2 Điều kiện đủ cấp hai 24 3.3 Nghiệm nhiễu địa phương toán quy hoạch phi tuyến 33 3.4 Điều kiện Lipschitz trường hợp đa diện 36 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ e ii Mở đầu Trong luận văn này, chúng tơi quan tâm đến lớp tốn mà nói chung thiết lập lại dạng bao hàm thức sau ∈ f (x) + T (x), (1) f hàm liên tục, khả vi Fréchet từ tập mở Ω ⊂ Rn đến Rn , T ánh xạ đa trị xác định nhận giá trị Rn Về mặt thuật ngữ, ta nói phương trình suy rộng, dựa theo [1] (Chú ý là, T đồng với ánh xạ x ∈ Rn 7−→ {0} (1) trở thành phương trình f (x) = 0.) Trong số trường hợp, người ta cịn xét đến lớp mở rộng (1), có dạng ∈ f (p, x) + T (x), (2) f : (p, x) ∈ Rk × Ω −→ Rn , T (1) Mục tiêu chủ yếu nghiên cứu tập nghiệm (giải theo biến thứ hai x) (2) p gần giá trị sở p0 Một trường hợp riêng (2) trường hợp đặc biệt T lấy toán tử vi phân ∂ψC [2, Section 23] tương ứng với hàm tiêu tập lồi đóng C ⊂ Rn Nhắc lại hàm ψC xác định ( ψC (x) := 0, x ∈ C +∞, x ∈ / C Điều cho ta phương trình suy rộng đặc biệt ∈ f (p, x) + ∂ψC (x) (3) Về mặt trực quan hình học, bao hàm thức dẫn đến −f (p, x) pháp vec tơ tập lồi C x Nhiều toán quy hoạch toán học, toán e bù, tốn kinh tế dạng khác mà ta biểu diễn thành (3) Chẳng hạn, xét toán bù phi tuyến F (x) ∈ K ∗ , x ∈ K, hx, F (x)i = 0, (4) đó, F : Rn → Rn , K nón lồi đa diện khác rỗng Rn K ∗ := {y ∈ Rn | hy, ki ≥ với k ∈ K}, viết lại thành ∈ F (x) + ∂ψK (x) Người đọc quan tâm đến lớp toán bù phi tuyến (với K = Rn+ ), tham khảo thêm [3, 4, 5, 6] Điều kiện cần Kuhn-Tucker cho quy hoạch toán học [5] dạng đặc biệt (4) Thật vậy, xét toán θ(y) (5) với ràng buộc g(y) ≤ 0, h(y) = 0, θ, g h hàm khả vi từ Rm đến R, Rq Rr theo thứ tự Khi đó, điều kiện cần tối ưu Kuhn-Tucker tương ứng ∇θ(y) + m X ∇gi (y)ui + i=1 r X ∇hj (y)vj = 0, j=1 g(y) ≤ 0, u ≥ 0, h(y) = 0, hu, g(y)i = 0, kí hiệu ∇ϕ ánh xạ gradient hàm số khả vi ϕ Ta viết lại r dạng (4) cách lấy n = m + q + r, K = Rm × Rm + × R , x = (y, u, v)   ∇θ(y) + g (y)∗ (u) + h0 (y)∗ (v)  F (x) =   −g(y) −h(y)    với g (y)∗ (tương ứng h0 (y)∗ ) toán tử liên hợp ứng với ánh xạ tuyến tính g (y) (tương ứng h0 (y)) e Luận văn nhằm trình bày lại số kết liên quan đến dáng điệu nghiệm toán(2) số ứng dụng quan trọng chúng lĩnh vực liên quan Về mặt nội dung, luận văn chia thành chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi hệ thống hóa lại kiến thức sở giải tích đại số Rn , khái niệm định nghĩa để triển khai luận văn sau Chương Phương trình suy rộng nghiệm chúng Chương chúng tơi trình bày kết luận văn, phương trình suy rộng dáng điệu nghiệm chúng (tiêu biểu Định lý 2.1) Tiếp theo, xem xét lớp ánh xạ đa trị quan trọng đảm bảo số tính chất cần thiết Định lý 2.1 Phần cuối số ứng dụng trường hợp phương trình suy rộng tuyến tính Chương Một số ứng dụng Trong chương chúng tơi trình bày số ứng dụng từ kết Chương 2, ứng dụng điều kiện đủ cấp hai, tìm nghiệm nhiễu tốn quy hoạch phi tuyến, điều kiện Lipschitz số ứng dụng khác Luận văn hoàn thành hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Vũ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, người tận tình giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Tốn Thống kê, Phịng đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trình học tập nghiên cứu Nhân tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Cuối tác giả hy vọng luận văn đóng góp tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên, học viên cao học tìm tịi nghiên cứu chủ đề có liên quan Tác giả e Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Rn Rm×n Mục hệ thống hóa số khái niệm ký hiệu liên quan đến không gian Ơclit thực Như thường lệ, ta viết Rn để không gian gồm véc tơ thực n chiều (quy ước viết dạng cột) Rm×n khơng gian ma trận thực cỡ m × n Với ma trận M ký hiệu M T ma trận chuyển vị M Nếu M T = M ta nói ma trận đối xứng M nửa xác định dương xT M x ≥ với véc tơ x Cuối cùng, M xác định dương xT M x > x 6= Cho trước hai véc tơ xT = (x1 , x2 , , xn ) y T = (y1 , y2 , , yn ) Rn , tích vơ hướng chúng xác định theo biểu thức hx, yi := xT y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Khi đó, chuẩn Ơclit tương ứng hàm số k·k : Rn −→ R cho kxk = p hx, xi Với ma trận A cỡ m × n đại lượng kAk := p λmax (AT A) gọi chuẩn phổ A, λmax (AT A) ký hiệu cho giá trị riêng lớn ma trận đối xứng AT A Phép tốn lấy tích vơ hướng lấy chuẩn có số tính chất sau [7] i) hAx, yi = hx, AT yi (hay viết tương đương theo phép toán ma trận xT Ay = y T AT x); e ii) kABk ≤ kAkkBk; kAxk ≤ kAkkxk; 2hAx, yi ≤ kAxk2 + kyk2 Trong phần sau đây, cần đến số khái niệm tôpô [8] Cho trước x ∈ Rn số thực r > Hình cầu mở tâm x bán kính r tập hợp B(x, r) = {y ∈ Rn : ky − xk < r} Tương tự, hình cầu đóng tâm x bán kính r định nghĩa sau ¯ r) = {y ∈ Rn : ky − xk ≤ r} B(x, Tập hợp S ⊂ Rn gọi mở điểm thuộc S điểm trong, nghĩa ¯ r) x bao hàm S Tập với điểm x ∈ S tồn lân cận B(x, ¯ r) hợp S gọi tập đóng ứng với x ∈ / S tồn lân cận B(x, x khơng chứa điểm thuộc tập S Cho ánh xạ f : Ω ⊂ Rn −→ Rm f gọi liên tục x ∈ Ω với dãy (xk ) ⊂ Ω hội tụ x ta có limk→∞ f (xk ) = f (x) Ánh xạ f gọi Lipschitz tập hợp Ω0 ⊂ Ω tương ứng với số L > kf (x) − f (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ Ω0 Ta nói hàm f khả vi Fréchet điểm x Ω tồn ánh xạ tuyến tính f (x) : Rn −→ Rm , thỏa mãn [9] kf (x + h) − f (x) − f (x)(h)k = khk khk→0 lim Ánh xạ f (x) gọi đạo hàm Fréchet f x Khi Jacobian f x ma trận ánh xạ tuyến tính f (x) Các phần tử ma trận đạo hàm riêng thành phần f lấy theo biến tương ứng Cho S ⊂ Rn khác rỗng, x ∈ Rn điểm Hàm khoảng cách từ x đến S định nghĩa d(x, S) := inf{kx − yk | y ∈ S}, với quy ước d(x, ∅) = +∞ Với S 6= ∅ hàm d(·, S) Lipschitz với số L = 1.[10] e Hình 1.1: Tính chất Lipschitz khoảng X 1.2 Cơ sở giải tích đa trị Một ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm hiểu ánh xạ từ Rn vào tập hợp gồm tập Rm Đồ thị gph F , miền hữu hiệu dom F miền ảnh rge F ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng xác định biểu thức [11] gphF = {(x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x)}, domF = {x ∈ Rn | F (x) 6= ∅}, rgeF = {y ∈ Rm | ∃x ∈ Rn cho y ∈ F (x)} Ánh xạ ngược F −1 : Rm ⇒ Rn ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm xác định quy tắc F −1 (y) = {x ∈ Rn | y ∈ F (x)}, ∀y ∈ Rm Định nghĩa 1.1 (Tính liên tục ánh xạ đa trị [11]) Xét ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm • Ta nói F nửa liên tục x¯ ∈ dom F với tập mở V ⊂ Rm thỏa mãn F (¯ x) ⊂ V tồn lân cận mở U ⊂ Rn x¯ cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U Nếu F nửa liên tục điểm thuộc dom F , F gọi nửa liên tục • Ta nói F nửa liên tục x¯ ∈ dom F với tập mở V ⊂ Rm thỏa mãn F (¯ x) ∩ V 6= ∅ tồn lân cận mở U x¯ cho F (x) ∩ U 6= ∅, ∀x ∈ U ∩ domF e Nếu F nửa liên tục điểm thuộc dom F , F gọi nửa liên tục • Ta nói F liên tục x¯ ∈ dom F F đồng thời nửa liên tục nửa liên tục x¯ Nếu F liên tục điểm thuộc dom F , F gọi liên tục Ví dụ 1.2 Xét ánh xạ đa trị:     {0} F (x) = [-1, 1]    {1} x0 từ R vào R nửa liên tục R không nửa liên tục x¯ = Như vậy, F liên tục R ( Hình 1.2) Hình 1.2: Đồ thị F (x) Định nghĩa 1.3 [11] Ta nói ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm Lipschitz (địa phương) (hoặc gần) x¯ với mô-đun l (U.L l), tồn l > δ > cho ¯ F (x) ⊂ F (¯ x) + lkx − x¯kB e ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NAM HẢI PHƯƠNG TRÌNH SUY RỘNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 46 01 02 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN VŨ e Mục... toán tử liên hợp ứng với ánh xạ tuyến tính g (y) (tương ứng h0 (y)) e Luận văn nhằm trình bày lại số kết liên quan đến dáng điệu nghiệm toán(2) số ứng dụng quan trọng chúng lĩnh vực liên quan Về... trình suy rộng nghiệm chúng Chương chúng tơi trình bày kết luận văn, phương trình suy rộng dáng điệu nghiệm chúng (tiêu biểu Định lý 2.1) Tiếp theo, xem xét lớp ánh xạ đa trị quan trọng đảm bảo số