Luận văn thạc sĩ phương pháp véctơ và tọa độ trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHỔNG XUÂN THẠNH PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHỔNG XUÂN THẠNH PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHỔNG XUÂN THẠNH PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÁI HỊA e Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Bình Định, ngày 28 tháng 07 năm 2020 Tác giả Khổng Xuân Thạnh e Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định nghĩa 1.2 Phép cộng hai vectơ 1.3 Tích vectơ với số 1.4 Tích vơ hướng, Tích có hướng 1.5 Tọa độ điểm vectơ 1.5.1 Tọa độ điểm vectơ 1.5.2 Tọa độ điểm vectơ 1.6 Tâm tỷ cự 1.7 Định lý nhím mặt phẳng không gian Phương pháp vectơ tọa độ hình học 2.1 Các tốn hình học phẳng 2.1.1 Ứng dụng phương pháp vectơ 2.1.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ 2.2 Các tốn hình học khơng gian 2.2.1 Ứng dụng phương pháp vectơ 2.2.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ Ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ đại số 3.1 Các tốn phương trình bất phương trình 3.2 Các toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhỏ 3.3 Các toán số học 3 7 8 10 11 11 11 18 29 29 36 toán 44 44 52 63 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 e Lời nói đầu Trong chương trình giáo dục tốn học trường phổ thông trung học, phương pháp vectơ tọa độ chiếm vị trí quan trọng Nói đến phương pháp vectơ tọa độ người hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị tốn hình học giải tích Tuy nhiên khơng có nhiều người nghĩ dùng phương pháp vectơ tọa độ cịn có lời giải hay toán khác, chẳng hạn tốn đại số, số học hình học túy, đối tượng “xa vời” với phương pháp vectơ tọa độ Chủ đề “phương pháp vectơ tọa độ” thường xuất hàng năm kỳ thi đại học, cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi nước quốc tế Đối với số toán sơ cấp mà chúng tồn yếu tố hình học, hi vọng ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ cho lời giải gọn gàng sáng Chúng hy vọng nội dung luận văn tài liệu tham khảo quí Nội dung luận văn bao gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống kiến thức vectơ tọa độ vectơ để chuẩn bị cho chương sau Chương Phương pháp vectơ tọa độ hình học Trong chương này, ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải số tốn hình học phẳng hình học khơng gian Chương Ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ tốn đại số Trong chương này, chúng tơi ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải số toán đại số, chẳng hạn tốn phương trình bất phương trình; toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; toán số học Luận văn thực nhờ ý tưởng hướng dẫn tận tình TS.Nguyễn Thái Hịa - Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành e thầy Hòa, người giúp đỡ tài liệu hướng dẫn tận tình động viên tơi vượt qua nhiều khó khăn để hồn thành luận văn Cho phép tơi bày tỏ lịng biết ơn tất quý thầy, cô ban lãnh đạo trường, Khoa Tốn Thống kê, Phịng đào tạo Đại học Sau đại học Xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy năm cao học trường đại học Quy Nhơn Mặc dù có nhiều cố gắng, với khả thời gian có hạn chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót, mong q thầy, giáo người đọc góp ý, bổ sung Bình Định, tháng năm 2020 e Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức vectơ tọa độ vectơ để chuẩn bị cho chương sau theo [7], [8], [9] 1.1 Các định nghĩa Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm vectơ mặt phẳng không gian Định nghĩa 1.1.1 1) Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng, rõ điểm điểm đầu, điểm điểm −−→ cuối Vectơ có điểm đầu M điểm cuối N , ta kí hiệu vectơ M N 2) Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vectơ không.Vectơ → − không kí hiệu B E A M F D P C Q N Ví dụ 1.1.2 −→ −−→ −→ Các vectơ AB, CD, EF vectơ phương −−→ −→ Vectơ M N P Q không phương Khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ gọi độ dài − − vectơ Độ dài vectơ → a kí hiệu |→ a | Để thuận tiện, kí hiệu vectơ chữ in thường, với mũi tên −→ Định nghĩa 1.1.3 1) Với vectơ AB (khác vectơ không), đường thẳng AB −→ gọi giá vectơ AB Mọi đường thẳng qua A gọi giá −→ vectơ AA e 2) Hai vectơ gọi phương chúng có giá song song trùng Định nghĩa 1.1.4 Hai vectơ gọi chúng chiều → − → − − − độ dài Hai vectơ → a , b kí hiệu → a = b 1.2 Phép cộng hai vectơ → − − Định nghĩa 1.2.1 Cho hai vectơ → a b Lấy điểm A xác định → − −→ → − − → −→ − điểm B C cho AB = a , BC = b Khi AC gọi tổng hai → − − −→ − → − vectơ → a b Kí hiệu AC = → a + b → − a Tính chất 1.2.2 → − → − a, b B → − b → − a → − b C → − → − a + b A → − → − − − Tính chất giao hoán: → a + b = b +→ a , với vectơ →  → − → − → → − − → − − → − − − Tính chất kết hợp : a + b + c = a + b + c , với vectơ → a , b ,→ c  → − − − − Tính chất vectơ khơng : → a + =→ a , với vectơ → a −−→ −−→ −−→ Ghi 1.2.3 1) Với ba điểm M, N, P, ta có M N + N P = M P M P N −→ −→ −−→ 2) Nếu OABC hình bình hành ta có OA + OC = OB O C A B → − − Định nghĩa 1.2.4 1) Vectơ b gọi vectơ đối vectơ → a → − → − → − → − → − a + b = Kí hiệu b = − a → − → − − → − − 2) Hiệu hai vectơ → a b , kí hiệu a− b , tổng vectơ → a vectơ  → − → − → − → − → − đối vectơ b , tức a − b = a + − b Ghi 1.2.5 − 1) Vectơ đối vectơ → a → − → − 2) Vectơ đối vectơ vectơ e − − 3) Vectơ đối vectơ → a vectơ ngược chiều với → a có độ dài với → − vectơ a 1.3 Tích vectơ với số − − Định nghĩa 1.3.1 Tích vectơ → a với số thực k vectơ, kí hiệu k → a, xác định sau − − Nếu k > vectơ k → a chiều với vectơ → a; − − Nếu k < vectơ k → a ngược chiều với vectơ → a − − Độ dài vectơ k → a |k|.|→ a | Tính chất 1.3.2 Các tính chất phép nhân vectơ với số → − − Với hai vectơ → a , b số thực k, l, ta có − − k (l→ a ) = (kl) → a − − − (k + l) → a = k→ a + l→ a   → − → − → → − → − → − → − − − k a + b = k a + k b ; k a − b = k → a −k b → − → − − − k → a = k = → a = − − − − 1.→ a =→ a (−1)→ a = −→ a   → − → − − − Định lí 1.3.3 Vectơ b phương với vectơ → a → a = có → − − số k cho b = k → a Mệnh đề 1.3.4 Cho A, B, C ba điểm mặt phẳng Điều kiện cần đủ −→ −→ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho AB = k AC → − − Định lí 1.3.5 Cho hai vectơ khơng phương → a b mặt phẳng Khi → − − vectơ x biểu thị cách qua hai vectơ → a → − → − → − → − b , nghĩa có cặp số m n cho x = m a + n b Định nghĩa 1.3.6 Ba vectơ không gian gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng → − → − − −c khơng gian, → − Định lí 1.3.7 1) Cho ba vectơ → a , b ,→ a b → − → → − − không phương Điều kiện cần đủ để ba vectơ a , b , c đồng phẳng tồn → − −c = m→ − số m, n cho → a +n b → − − → − − 2) Nếu → a , b ,→ c ba vectơ khơng đồng phẳng với vectơ d , tồn → − → − − −c số m, n, p cho d = m→ a + n b + p→ e 1.4 Tích vơ hướng, Tích có hướng → − → − − Định nghĩa 1.4.1 Cho hai vectơ → a b khác vectơ Từ điểm O − −→ → −−→ → − [ với số đo từ 00 đến 1800 ta vẽ OA = a OB = b Góc AOB  gọi → − → − → − → − → − → − góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b a , b A → − b → − a O → − a → − b B → − → − − Trong trường hợp có hai vectơ → a b vectơ xem góc hai vectơ tùy ý (từ đến 1800 ) → − − Định nghĩa 1.4.2 Tích vơ hướng hai vectơ → a b số, kí hiệu → − → − a b , xác định x2 y2 1.6 Tâm tỷ cự −−→ −−→ Định nghĩa 1.6.1 Cho hệ điểm {A1 , A2 , , An } Điểm G thỏa mãn GA1 + GA2 + −−→ → − + GAn = gọi trọng tâm hệ điểm cho Định lí 1.6.2 Cho hệ điểm {A1 , A2 , , An } Khi trọng tâm hệ điểm tồn Hơn với điểm O cho trước trọng tâm G hệ điểm {A1 , A2 , , An } xác định hệ thức −−→ −−→ −−→ −→ OA1 + OA2 + + OAn OG = n e Chứng minh Giả sử O điểm cho trước với điểm G ta n n X −−→ −→ X −−→ −−→ −→ −−→ GAi OAi = nOG + có OAi = OG + GAi , i = 1, n Suy Từ nên n X −−→ n X −−→ i=1 i=1 GAi = i=1 i=1 −→ OAi − nOG Vì G trọng tâm hệ điểm {A1 , A2 , , An } n X −−→ n X −−→ n X −−→ i=1 i=1 → − GAi = ⇔ OAi −→ → −→ − OAi − nOG = ⇔ OG = i=1 n Ta biết điểm G thỏa mãn đẳng thức cuối tồn Tổng quát hóa khái niệm trọng tâm ta có khái niệm tâm tỷ cự hệ điểm Định nghĩa 1.6.3 Cho hệ n điểm {A1 , A2 , , An } hệ n số {α1 , α2 , , αn } có tổng khác khơng Điểm G thỏa mãn n X −−→ → − αi GAi = i=1 gọi tâm tỉ cự hệ điểm {A1 , A2 , , An } với hệ số tương ứng {α1 , α2 , , αn } Chú ý với α1 = α2 = = αn = tâm tỷ cự trọng tâm hệ điểm cho Định lí 1.6.4 Cho hệ điểm {A1 , A2 , , An } với n hệ số {α1 , α2 , , αn } có tổng n X αi 6= Khi tâm tỷ cự hệ điểm cho với hệ số tương ứng i=1 {α1 , α2 , , αn } tồn Hơn nữa, với điểm O cho trước, tâm tỷ cự xác định đẳng thức n X −→ OG = −−→ αi OAi i=1 n X αi i=1 Việc chứng minh định lý hoàn toàn giống định lý 1.6.2 Ngoài đa giác A1 A2 An có tâm đường trịn ngoại tiếp O dễ chứng minh O trọng tâm hệ điểm {A1 , A2 , , An } Trường hợp đa giác A1 A2 An có trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , , An gọi trọng tâm đa giác cho e 10 1.7 Định lý nhím − Định lí 1.7.1 Cho đa giác lồi A1 A2 An , (n > 3) → ei , (i = 1, n) vectơ đơn vị −−→ vng góc với Ai Ai+1 ( xem An+1 ≡ A1 ) hướng ngồi đa giác Khi ta có → − − − − A1 A2 → e + A2 A3 → e + + An A1 → en= Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp • Với n = 3, ta xét định lý tam giác ABC − − − − − − Đặt → a = A1 A2 → e 1, → a = A2 A3 → e 2, → a = A3 A1 → e → − → − → − Khi | a | = A1 A2 , | a | = A2 A3 , | a | = A3 A1 → − − − − Ta cần chứng minh → a1+→ a2+→ a = Thật −−→ −−→ − − − − − (→ a1+→ a2+→ a ) A1 A2 = (→ a2+→ a ) A1 A2 −−−→ −−−→ −−→ −−→ − − − − a A3 A2 − → a A3 A1 = (→ a2+→ a ) A3 A2 − A3 A1 = → −−→ −−→ − − − − = |→ a | A3 A2 cos → a , A3 A2 − |→ a | A3 A1 cos → a , A3 A1 =     −−→ − − − Do → a1+→ a2+→ a vng góc với đường thẳng A1 A2 −−→ → − − − Tương tự ta có a + → a2+→ a vng góc với đường thẳng A2 A3 −−→ −−→ → − − − − − Hơn nữa, A1 A2 , A2 A3 không phương nên → a +→ a +→ a = hay A1 A2 → e 1+ → − → − → − A2 A3 e + A3 A1 e = − • Giả sử định lý với n = k , ta xét với n = k + Gọi → e vectơ đơn vị vng góc với Ak A1 hướng tam giác A1 Ak Ak + → − → − e k+1 Ak+1 e k A1 → − → − e3 e1 A3 A2 Ak A1 → − e2 → − e A2 A3 → − − − − Trong tam giác A1 Ak Ak+1 ta có A1 Ak → e + Ak Ak+1 → e k + Ak+1 A1 → e k+1 = Theo giả thiết quy nạp, đa giác A1 A2 Ak ta có → − − − − − A1 A2 → e + A2 A3 → e + + Ak−1 Ak → e k−1 + Ak A1 (−→ e)= → − − − − − ⇒A1 A2 → e + A2 A3 → e + + Ak Ak+1 → e k + Ak+1 A1 → e k+1 = e 11 Chương Phương pháp vectơ tọa độ hình học Trong chương này, chúng tơi ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải số tốn hình học phẳng hình học khơng gian Nội dung này, tham khảo tài liệu [1], [3], [4], [6] 2.1 2.1.1 Các tốn hình học phẳng Ứng dụng phương pháp vectơ Trong phần này, áp dụng khái niệm tính chất vectơ, phép toán cộng hai vectơ phép nhân số với vectơ để giải số toán hình học phẳng Bài tốn Cho tam giác ABC Chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ABC đồng qui Giải Gọi I giao điểm hai đường trung tuyến AM BN A K N I B M C IN IM MN = = = IB IA AB −→ − → −→ −−→ −→ Gọi K trung điểm AB Khi 2IK = IA + IB = 2M I + 2N I Vì ∆IM N ∼ ∆IAB nên −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ Suy IK = M C + CI + N C + CI = 2CI − CB + CA = 2CI − CK e 12 −→ −−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ Do 2CI = CK + IK = IK + CI + IK Suy CI = 2IK hay (−2)IK = IC Vậy ba điểm K, I, C thẳng hàng Bài toán Chứng minh điểm G trọng tâm tam giác ABC −→ −−→ −→ → − GA + GB + GC = Giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC , P trung điểm AB Khi −→ −→ G nằm trung tuyến CP tam giác ABC 2GP = −GC A P A P G G N C B −→ −−→ B −→ −→ −→ C M → − Khi GA + GB + GC = 2GP + GC = −→ −−→ −→ → − Đảo lại, giả sử GA + GB + GC = Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB G giao điểm AM, BN Khi −→ −−→ −→ → −→ −→ → −→ −→ − − GA + GB + GC = ⇔ 2GP + GC = ⇔ GC = (−2)GP Suy ba điểm C, G, P thẳng hàng Vậy G trọng tâm tam giác ABC Bài toán Cho đường thẳng AB điểm O Chứng minh điểm −−→ −→ −−→ M thuộc đường thẳng AB OM = xOA + y OB , x + y = Với điều kiện x, y M thuộc đoạn thẳng AB −−→ −−→ Giải Điểm M thuộc đường thẳng AB M A = k M B với k ∈ R\{1}, điều tương đương với −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −k −−→ OA − OM = k OB − OM A B ⇔ OM = A M 1−k OA + M 1−k OB B −−→ −→ −−→ −k ;y = , OM = xOA + y OB x + y = Giá trị x, y 1−k 1−k không phụ thuộc vào điểm O −−→ −−→ Điểm M thuộc đoạn thẳng AB M A = k M B k < Khi −−→ −→ −−→ OM = xOA + y OB , x + y = x > 0, y > Đặt x = Bài toán Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, F F, F A Chứng minh hai tam giác M P R N QS có trọng tâm e 13 −−→ −→ −→ −−→ −→ −→ Giải Ta có M N = AC, P Q = CE, RS = EA Khi −−→ −→ −→ −→ −−→ −→ → − M N + P Q + RS = AC + CE + EA = Gọi G trọng tâm tam giác M RP Khi −−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ −→ → − = M N + P Q + RS = M G + GN + P G + GQ + RG + GS S A F M R B G E Q N C −−→ −→ −→ −−→ D P −→ −→ → − Do GN + GQ + GS = GM + GP + GR = Suy G trọng tâm tam giác N SQ Bài toán Cho ba dây cung song song AA0 , BB , CC đường tròn (O) Chứng minh ba trực tâm tam giác ABC , BCA0 , CAB thẳng hàng −→ Giải Gọi H, I, K trực tâm ∆ABC , ∆BCA0 , ∆CAB Khi OA + −−→ −−→0 −−→ −−→0 −−→ −→ −→ −→ −−→ −→ −−→ OB + OC = OH; OA + OB + OC = OI OA + OB + OC = OK −→ −→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ Suy HI = OI − OH = OA0 − OA + OC − OC = AA0 + C C −−→ −−→ −−→ −−→0 −−→ −→ −−→0 −−→0 −−0→ HK = OK − OH = OB − OB + OC − OC = BB + C C A0 A B B0 O C C0 −−→ −−→ −−→ Vì ba dây AA0 , BB , CC song song nên AA0 , BB , CC phương , −→ −−→ HI, HK phương Vậy ba điểm H, I, K thẳng hàng Bài toán Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác, hình chiếu M lên BC, CA, AB D, E, F Gọi G trọng tâm ∆DEF Chứng tỏ M G qua điểm cố định e 14 Giải Qua M vẽ đoạn thẳng P Q, RS, IK song song với AB, BC, CA Các tam giác M QK, M SP, M IR tam giác nên D, E, F trung điểm QK, SP, IR Gọi O trọng tâm tam giác ABC , −→ −−→ −→ → − −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ OA + OB + OC = ⇔M A − M O + M B − M O + M C − M O −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔M A + M B + M C = 3M O Hơn −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ MQ + MK + MS + MP + MI + MR MD + ME + MF =  −−→ −−→ −−→ −−→i h −−→ −−→ = MQ + MR + MS + MK + MI + MP   −−→ −−→ −−→ −−→ = M B + M C + M A = M O 2 A P I E F M Q D S R B C K Vì G trọng tâm tam giác DEF nên −−→ −−→ −−→ −−→ MG = MD + ME + MF −−→ = M O Suy ba điểm M, G, O thẳng hàng.Vậy M G qua điểm cố định O Tiếp theo chúng tơi dùng khái niệm tích vơ hướng tính chất tích vơ hướng để giải số tốn hình học phẳng Bài toán Cho tam giác ABC Chứng minh ba đường cao tam giác ABC đồng qui Giải Gọi I giao điểm hai đường cao AH BK A K I B H e C 15 Ta có −→ −→ −−→ − → −→ −→ CI.BA + CB.AI + CA.IB → −→ → −→ − −→ −→ −→ −→ − =CI.BA + CI + IB AI + CI + IA IB −→ −→ − → −→ −→ − → − → =CI BA + AI + IB + IB AI + IA = −−→ − → −→ −→ −→ −→ Vì AH⊥BC BK⊥AC nên CB.AI = CA.IB = Suy CI.BA = Vậy IC⊥AB Bài tốn Cho hình vng ABCD, điểm M nằm đoạn AC cho AM = AC Gọi N trung điểm đoạn thẳng DC Chứng minh BM N tam giác vuông cân → − − → −  −−→ → −−→ → −→ → −−→ → b − − − Giải Đặt AD = a , AB = b Khi AM = a + b , AN = a + D N C → − a M → − b A B Ta có  − → − 1 → → − −−→ −→ −−→ → → − − M B = AB − AM = b − a + b = −a +3 b 4 → −  → − 1 → → − −−→ −−→ −−→ → → b − − M N = AN − AM = a + − a + b = 3− a + b 4 −−→ −−→ Do M B.M N =   → −  → → − → − → − 1 − − − −→ a +3 b 3− a + b = −3→ a + b + 8→ a b = 16 16 Suy M N ⊥M B Hơn h → − → −i → −−→ → − → − M B = (M B) = ( a ) + 9( b ) − a b = (− a )2 ; 16 h i 85 → − → − − − → → − → − − M N = (M N )2 = 9( a )2 + ( b )2 + a b = (→ a )2 16 Suy M N = M B Bài toán Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn tâm O D trung điểm AB G trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OG⊥CD e 16 −−→ −→ −−→ −→ Giải Gọi E trung điểm đoạn AC Khi OD⊥AB; OE⊥AC OD = OE − Gọi vectơ → v vng góc với DC , có hướng ngồi miền tam giác ADC có độ dài OD Áp dụng định lý nhím cho ∆ABC , ta có −−→ −−→ −−→ −−→ → − → − − − v = AD.OD + AC.OE + DC.→ v = ⇔ AC.OD + AC.OE + DC.→ −→ −→ −−→ 1 → − − ⇔ AC.OD + AC OA + OC + DC.→ v = −−→ 2−→ −→ → − − v = ⇔ AC OD + OA + OC + DC.→   −→ − → DC → − − − ⇔ AC.OG + DC.→ v = ⇔ OG = − → v AC −→ − Suy OG phương với → v Vậy OG⊥CD A D G E O → − v B C Bài toán 10 Cho ∆ABC có trọng tâm G Chứng minh với M ,

2 2 2 MG = MA + MB + MC − AB + BC + CA Giải Vì G trọng tâm tam giác ABC nên −−→ −−→ −−→ −−→ M A + M B + M C = 3M G, với M −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có 2M A.M B = 2M A.M B cos M A, M B = M A2 + M B − AB −−→ −−→ −−→ −−→ Tương tự 2M B.M C = M B + M C − BC 2M C.M A = M C + M A2 − CA2 Hơn  −−→2 9M G = 3M G −−→ −−→2 = MA + MB + MC −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ =M A2 + M B + M C + 2M A.M B + 2M B.M C + 2M C.M A =M A2 + M B + M C + M A2 + M B − AB
+ M B + M C − BC + M C + M A2 − CA2

=3 M A2 + M B + M C − AB + BC + CA2
Vậy M G2 =


M A2 + M B + M C − AB + BC + CA2 e ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHỔNG XUÂN THẠNH PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TỐN SƠ CẤP Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 Người hướng... khơng gian Chương Ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ toán đại số Trong chương này, ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải số toán đại số, chẳng hạn tốn phương trình bất phương trình; tốn bất đẳng... bị Trong chương này, hệ thống kiến thức vectơ tọa độ vectơ để chuẩn bị cho chương sau Chương Phương pháp vectơ tọa độ hình học Trong chương này, chúng tơi ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải