BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH NHẬT TOÀN BÀI TOÁN CHẶN TRẠNG THÁI CHO MỘT SỐ HỆ DƯƠNG CÓ CHẬM THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG Đ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH NHẬT TỒN BÀI TỐN CHẶN TRẠNG THÁI CHO MỘT SỐ HỆ DƯƠNG CÓ CHẬM THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH NHẬT TỒN BÀI TỐN CHẶN TRẠNG THÁI CHO MỘT HỆ SỐ DƯƠNG CĨ CHẬM THỜI GIAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN : PGS TS PHAN THANH NAM Bình Định - 2020 e Lời cam đoan Tơi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực chưa sử dụng để bảo vệ học vị Mọi giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc phép cơng bố Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Huỳnh Nhật Toàn e Mục lục Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Bài tốn tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho hệ có nhiễu 1.2.1 Hệ vi phân 1.2.2 Hệ sai phân 10 1.3 Hệ dương số bổ đề liên quan 10 Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần 14 2.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn 14 2.2 Chặn trạng thái cho hệ rời rạc dương có nhiễu bị chặn 19 2.2.1 Chặn thành phần cho hệ tuyến tính rời rạc 19 2.2.2 Chặn thành phần cho hệ tuyến tính rời rạc có nhiều chậm thời gian 23 2.2.3 2.3 Chặn thành phần cho hệ phi tuyến 23 Chặn trạng thái cho hệ suy biến dương có nhiễu bị chặn 26 2.3.1 Sự hội tụ sau thời gian hữu hạn hệ tuyến tính dương 28 2.3.2 Đánh giá trạng thái cho hệ vi-sai phân dương khơng có nhiễu 33 2.3.3 Chặn trạng thái cho hệ vi-sai phân dương có nhiễu 36 e Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn theo chuẩn 3.1 41 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn chuẩn k.k1,1 k.k∞,1 41 3.1.1 Điều kiện đủ để tập đạt hệ dương bị chặn siêu chóp 41 3.2 3.1.2 Tối ưu đa diện 44 3.1.3 Bài toán điều khiển ngược dựa trạng thái 45 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát 46 3.2.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương tuyến tính có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát 47 3.2.2 Mở rộng kết cho hệ có chậm thời gian, hệ phi tuyến 51 3.2.3 Một số hướng tiếp cận khác cho toán TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 58 e Danh mục ký hiệu R (R+ , R0,+ ) : Tập hợp số thực (dương, không âm) Rn (Rn0,+ ) : Tập hợp vectơ thực (khơng âm) n chiều Rn×m (Rn×m 0,+ ) : Tập hợp ma trận thực (khơng âm) n × m chiều N : {1, 2, 3, } N0 : {0} ∪ N Pn T n : i=1 |xi (t)|, x(t) = [x1 (t) · · · xn (t)] ∈ R kx(t)k1 kωk1,1 : maxni=1 |xi (t)|, x(t) = [x1 (t) · · · xn (t)]T ∈ Rn R∞ : kω(s)k1 ds kωk∞,1 : ess supt≥0 kω(t)k1 σ(A) : Tập giá trị riêng ma trận A ρ(A) : max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ ma trận A µ(A) : max{Re(λ) : λ ∈ σ(A)} A > (≥) : Ma trận A ma trận đối xứng xác định dương kx(t)k∞ (không âm) A () : Tất phần tử ma trận A dương (khơng âm) A, B ∈ Rn×m , A () B : aij > (≥) bij , i ∈ {1, , n}, j ∈ {1, , m} x = [x1 x2 xn ]T () : Vectơ x dương (không âm), nghĩa xi > (≥) với i ∈ {1, , n} x, y ∈ Rn , x () y : x − y () B(0, q) : {x ∈ Rn0,+ : x q}, hình cầu Rn0,+ deg(P ) : Bậc đa thức P (s) C([a, b], Rn ) : Tập tất hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn với chuẩn ||x|| = max ||x(t)|| t∈[a,b] e MỞ ĐẦU Vì nhiều lý hệ thống bị giới hạn tốc độ đường truyền, tác động không mong muốn từ bên ngoài, sai số đo đạc, yếu tố khơng chắn mơ hình hóa hệ thống nên chậm thời gian nhiễu không tránh khỏi hệ thống kỹ thuật thực tế Hai yếu tố gây tính khơng ổn định cho hệ thống Trong nhiều trường hợp, nhiễu giả sử bị chặn chặn biết Khi đó, thay nghiên cứu tính ổn định người ta nghiên cứu tốn tìm chặn trạng thái cho hệ có nhiễu Trong năm gần đây, nhiều quan tâm nghiên cứu dành cho tốn chặn trạng thái cho hệ dương có chậm Nhằm hệ thống kết có tìm kiếm vài phát triển hướng nghiên cứu định hướng Thầy hướng dẫn, tơi chọn đề tài “ Bài Tốn chặn trạng thái cho số hệ dương có chậm thời gian” Hướng nghiên cứu chặn trạng thái cho hệ dương mở rộng lần lên hệ dương có chậm thời gian báo [7] Sau năm 2014 báo [9] mở rộng lên lớp hệ với ma trận biến thiên Năm 2015 báo [15] mở rộng lên hệ phi tuyến đưa chặn nhỏ Các kết chủ yếu dành cho lớp hệ có nhiễu dương bị chặn theo thành phần Sau năm 2016 mở rộng toán chặn trạng thái cho lớp hệ rời rạc với nhiễu bị chặn khoảng [17] Và sau hai báo [4], [24] tiếp tục mở rộng cho lớp hệ dương với chặn theo chuẩn l1 chặn tập Trong luận văn này, hệ thống trình bày số kết chặn trạng thái cho số lớp hệ dương có chậm thời gian nhiễu bị chặn Đối tượng nghiên cứu luận văn là: Bài tốn tìm chặn trạng thái tập trung vào lớp hệ dương có chậm thời gian nhiễu bị chặn Đề tài sử dụng phương pháp so sánh nghiệm, kết hợp với số kiến thức e đại số tuyến tính liên quan đến ma trận không âm, ma trận Metzler, phương pháp hàm Lyapunov cho hệ dương số kỹ thuật tính tốn tối ưu Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương Chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị, giới thiệu toán chặn trạng thái, hệ dương tính chất liên quan Chương hai trình bày chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần Chương ba trình bày chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn theo chuẩn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình, nghiêm khắc Thầy Phan Thanh Nam, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn Giải Tích khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù tơi cố gắng khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến, góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện e Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương tơi xin trình bày số kiến thức cần thiết hệ vi phân, hệ sai phân, tính chất hệ dương có liên quan đến tốn chặn trạng thái cho số hệ dương có chậm thời gian 1.1 Một số khái niệm (a) Phương trình hệ vi phân có chậm thời gian Trong mục này, chúng tơi trình bày dạng tổng qt hệ phương trình vi phân có chậm thời gian Giả sử hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ chậm thời gian ≤ h < +∞ x(·) hàm liên tục R, nhận giá trị Rn , với t ∈ R ta xây dựng hàm xt ∈ C , phụ thuộc chậm thời gian sau: xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0], C := C [−h, 0], Rn không gian hàm liên tục từ [−h, 0] vào Rn Như vậy, đồ thị xt đoạn quỹ đạo đồ thị x(·) [t − h, t], tức xt (s) biến trạng thái x(·) thời điểm khứ t + s, s ∈ [−h, 0] Chuẩn xt chuẩn C xác định ||xt || = sup ||x(t + s)|| Khi đó, hệ s∈[−h,0] phương trình có chậm thời gian mơ tả phụ thuộc tốc độ thay đổi trạng thái hệ thống thời điểm t vào trạng thái hệ thống khoảng thời gian trước [t − h, t] cho dạng: x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ 0, x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], e (1.1) f : R0,+ × C → Rn hàm vectơ cho trước hàm ϕ ∈ C hàm giá trị ban đầu với kϕk = sup kϕ(s)k Nghiệm x(·) hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện s∈[−h,0] ban đầu x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0] ký hiệu x(t, ϕ) Để nghiên cứu tính ổn định hệ (1.1), ta giả thiết: (i) Hệ (1.1) ln có nghiệm x(t) ≡ 0, tức là, f (t, 0) = 0, t ∈ R0,+ (ii) Hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện tồn tại, kéo dài nghiệm đến vô (b) Các khái niệm ổn định Trong mục này, nhắc lại ba định nghĩa ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ phương trình vi phân có chậm thời gian (1.1): Định nghĩa 1.1 ([3]) Nghiệm x(t) ≡ hệ (1.1) gọi (i) ổn định với số > 0, tồn số δ > cho với ϕ ∈ C thỏa mãn ||ϕ|| < δ ||x(t, ϕ)|| < với t ≥ (ii) ổn định tiệm cận ổn định tồn số δ0 > cho với ϕ ∈ C thỏa mãn ||ϕ|| < δ0 lim ||x(t, ϕ)|| = t→+∞ (iii) ổn định mũ tồn số M > số α > cho nghiệm x(t, ϕ) hệ thỏa mãn ||x(t, ϕ)|| ≤ M e−αt ||ϕ|| với t ≥ Khi M gọi hệ số ổn định Lyapunov, α gọi số mũ ổn định Để cho ngắn gọn, thay nói nghiệm x(t) ≡ hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) (c) Hệ sai phân Xét hệ phương trình sai phân có chậm thời gian sau: x(k + 1) = f (k, xk ), k ∈ N0 , x(s) = ϕ(s), s ∈ {−h, −h + 1, , 0}, e (1.2) ... Chương Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần Trong chương tơi trình bày ba kết có chặn trạng thái cho hệ: hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn, hệ rời rạc dương có nhiễu bị chặn hệ. .. rộng cho lớp hệ dương với chặn theo chuẩn l1 chặn tập Trong luận văn này, hệ thống trình bày số kết chặn trạng thái cho số lớp hệ dương có chậm thời gian nhiễu bị chặn Đối tượng nghiên cứu luận văn. .. Hệ dương số bổ đề liên quan 10 Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần 14 2.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn 14 2.2 Chặn trạng thái