Đang tải... (xem toàn văn)
a ab 1 ab a 1 ab a ab 2 x2 x 4 2 y 1 2xy x 4 y 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2021 2022 Môn Toán (Đề chuyên) Thời gian làm[.]
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2021-2022 Mơn: Tốn (Đề chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC a ab a S ab ab ab Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức với a 0, b 0, a2 b2 Rút gọn biểu thức S Tính giá trị biểu thức S a Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình x2 x a a 1 : x2 x x y 2xy x y 2 x y Câu III (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) ab b 11 x Giải hệ phương trình b ab đường kính AB Gọi tiếp tuyến 2R Qua M vẽ tiếp tuyến MC (C thuộc (O) A Trên lấy điểm M cho MA R đường tròn (O), C khác A) Gọi H D hình chiếu vng góc C AB AM Gọi d đường thẳng qua điểm O vng góc với AB Gọi N giao điểm d BC Chứng minh OM //BN MC NO Gọi Q giao điểm MB CH , K giao điểm AC OM Chứng minh đường thẳng QK qua trung điểm đoạn thẳng BC Gọi F giao điểm QK AM E giao điểm CD OM Chứng minh tứ , giác FEQO hình bình hành Khi M thay đổi , tìm giá trị lớn QF EO Câu IV (1,5 điểm) Giải phương trình x3 y2 x 3z 2021 x, y z số nguyên với Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Bên hình vng người ta lấy tùy ý 2021 điểm phân biệt A , A , , A A, B, C, D, A1, A2 , , A2021 2021 cho 2025 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh từ 2025 điểm ln tồn điểm đỉnh hình tam giác có diện tích khơng q 4044 Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh 1 1 512 1 x y z - HẾT Họ tên thí sinh:……………….……………………Số báo danh: Cán coi thi số 1……………………… …………Cán coi thi số 2…………… KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2021-2022 Mơn: Tốn (Đề chun) Thời gian làm bài: 150 phút SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm thi có 05 trang) Lưu ý: - Điểm làm tròn đến 0,25 - Các cách giải khác mà cho điểm tương đương Nội dung Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức Điểm a1 a a b ab ab a S ab ab 1 : ab với a 0,b 0, a2 b2 ab 1.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức S S a 11 a2 : ab a ab a ab b a 1 ab ab a2 ab ab a b a 1 ab: a ab a b ab 0,25 ab 0,25 0,25 a b 0,25 2.(1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức S với a 2 b 11 3 a32 2 1 b 11 S 2 Câu II (2,0 điểm) 2 a1 b 2 0,5 0,25 0,25 (1,0 điểm) Giải phương trình: x2 x x x2 x Phương trình x2 x x x2 x 1 TXĐ: ℝ Đặt t x2 x t 0 , phương trình (1) trở thành 0,25 t t x 0,25 Với t x2 x x2 x x 0; x 0,25 t2 2 x t 2x (2) Với t2 x x2 x x x x Thử lại, ta tới kết luận S 0;1; 4 0,25 x y 2xy x y (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x y x 2xy x 4y Điều kiện: x 0;2y y Phương trình x22 x 2y 1 2y x2 2y x 2y x y 0,25 0,25 x x (thỏa mãn) 0,25 x y y y Suy hệ phương trình có nghiệm x; y 3;0 0,25 Khi ta có hệ Câu III (3,5 điểm) Cho đường tròn O đường kính AB 2R Gọi tiếp tuyến O A Trên lấy điểm M di động cho MA R Qua M dựng tiếp tuyến MC ( C thuộc đường tròn O , C khác A ) Gọi H D hình chiếu vng góc C lên AB AM Gọi d đường thẳng qua điểm O vng góc với AB Gọi N giao điểm d BC 3 (Học sinh khơng vẽ hình ý khơng chấm điểm ý đó) 1.(1,5 điểm) Chứng minh OM //BN MC NO Ta có MA MC OA OC suy MO đường trung trực đoạn thẳng AC, suy MO AC 1 Do ‸ACB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ‸ACB 900 AC BN 0,25 0,25 2 Từ (1) (2) suy MO//BN 0,25 Xét MAO NOB vuông A O ; AO OB ; ‸AOM N‸BO ( hai góc đồng vị) Suy MAO NOB MA NO Mặt khác : MA MC MC ON 2.(1,0 điểm) Gọi Q giao điểm MB CH Gọi K giao điểm AC 0,5 0,25 OM Chứng minh đường thẳng QK qua trung điểm đoạn thẳng CB Do QH //AM suy Do CH //ON suy QH AM CH BH BA HB (3) CH HB ON OB AM AB 0,25 4 0,25 CH , suy Q trung điểm CH 0,25 Lại có K trung điểm AC Suy QK qua trung điểm CB 0,25 (1,0 điểm) Gọi F giao điểm QK AM , E giao điểm CD OM Chứng minh tứ giác FEQO hình bình hành Khi M thay đổi , tìm giá trị lớn QF EO Chứng minh ADCH hình chữ nhật Do K trung điểm AC Q trung 0,25 điểm CH suy F trung điểm AD Ta có EKC OKA g.c.g KE KO Từ (3) (4) ta có QH Ta có FKA QKC g.c.g KF KQ 0,25 Suy FEQO hình bình hành Ta có FQ EO AH CB AH BH BA AH AB AH AB 0,25 Khi AH AB AH AB AH 2 AB 2 AB AH AB AB.AH AB AB Dấu xảy AH AB AM 3.R AB AB2 AB.AH 0,25 Câu IV (1,5 điểm) (0,75 điểm) Tìm số nguyên x, y z thỏa mãn phương trình x3 y2 x 3z 2021 Xét theo mod ta có y2 0;1mod 3 2021 2mod 3 0,25 x3 x x 1 x x 1 0mod 3; 3z 0mod 3 0,25 Như vế trái chia cho dư mà vế phải chia cho dư Vậy phương 0,25 trình cho vơ nghiệm ngun (0,75 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Bên hình vng người ta lấy tùy ý 2021 điểm phân biệt A1, A2 , , A2021 cho 2025 điểm A, B, C, D, A1, , A2021 khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh từ 2025 điểm tồn điểm tạo thành hình tam giác có diện tích khơng 4044 Ta chứng minh từ 2025 điểm cho tạo 4044 tam giác điểm chung (tức là: điểm Y nằm miền tam giác khơng nằm miền tam giác kia) Bước 1: từ A, B, C, D A1 tạo tam giác khơng có điểm chung Bước 2: Điểm A2 nằm bên trong tam giác có Khơng tính tổng qt ta giả sử A2 nằm ABA1, tạo thêm tam giác Như có tam giác khơng có điểm chung 0,25 Bước 3: Điểm A3 nằm tam giác có, khơng tính tổng qt, giả sử A3 nằm ABA2 Khi ta có tam giác khơng có điểm chung Sau 2021 bước hình vng cho chia thành 4044 tam giác 0,25 điểm chung Mặt khác tổng diện tích 4044 tam giác 1, suy tồn tam giác có diện tích khơng q 4044 0,25 Câu V (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y z thỏa mãn x y z Chứng minh 1 1 1 512 x y z Ta có 1 x 1 y 1 z 512x y2 z 1 x1 x1 y 1 y 1 z 1 z 512x2 y2 z2 2 2 0,25 Do x y z nên ta có 1 x1 y 1 z 1 x1 y 1 z y z z x x y 2x y z x y z x y 2z 1 Chứng minh được: x y y z z x 8xyz 0,25 2 Và: 2x y z x y z x y 2z 2 x y xz yx yz zx z y 8 x y y z z x 8.8xyz 0,25 3 Từ (1), (2) (3) suy điều phải chứng minh Dấu xảy x y z 0,25 ... - HẾT Họ tên thí sinh: ……………….……………………Số báo danh: Cán coi thi số 1……………………… …………Cán coi thi số 2…………… KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN Năm học: 2021- 2022 Mơn: Tốn (Đề chun) Thời gian... học: 2021- 2022 Mơn: Tốn (Đề chun) Thời gian làm bài: 150 phút SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUYÊN (Hướng dẫn chấm thi có 05 trang) Lưu ý: - Điểm làm tròn... hình vng ABCD có độ dài cạnh Bên hình vng người ta lấy tùy ý 2021 điểm phân biệt A1, A2 , , A2021 cho 2025 điểm A, B, C, D, A1, , A2021 khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh từ 2025 điểm tồn