Microsoft Word 53 CHUYÃ−N THÆI BÄNH 2021 2022 docx a b c Trang1 x + 3 x 3x2 + 33 2x + y 1 SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOT HÁIBÌNH ĐỀTHICHÍNHTHỨC Bài1 (2,0điểm) KỲTHITUYỂNSINHLỚP10THPTCHUYÊNTHÁIBÌNH Nămhọc[.]
SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOT HÁIBÌNH ĐỀTHICHÍNHTHỨC Bài1 KỲTHITUYỂNSINHLỚP10THPTCHUNTHÁIBÌNH Nămhọc:2021– 2022Mơnthi:TỐN (DànhchothísinhthichunTốn,Tin)Thờigi an:120phút(khơngkểthờigianphátđề) (2,0điểm) Cho f(x)=x 2 3x5c ó hainghiệmlà x1,x2.Đąt g(x)=x 2 4.Tínhgiátrịcủa T= g (x1) g(x2) Choa ,b,cl a cácsốthựckhác0vàthóamân ( a+b+c) 1+1+1 = a b c Chứngminh + 25+ 25 2021+ 2021 rằng( a b )( b c )( c a ) =0 Bài2 (2,5điểm) Giảiphươngtrình x + +4 x =3x+9 Giảihệphươngtrình Bài3 2xy 2 =1 x +y + x+y 3x2 + 33 +3 2x + y 1 =3x+y+6 (3,5điểm) Chotamgiác A B C n h ọ n ( ABA C ) nộitiếptrongđườngtròn( O) cócácđường caoB E ,CFc ắ t nhautại H GọiS l giaođiểmcủacácđườngthằngB C v E F ,gọiM làgiaođiểmkhác Ac ủ a S A v đườngtròn( O) a Chứngminhrằngtứgiác A E H F n ộ i tiếpvàH M v u n g gócvớiS A b GọiI l trungđiểmcủaB C ChứngminhrằngS H v u ô n g gócvớiA I c GọiTlà điểm nằm đoạn thằngHCsao choATv u n g g ó c v i BT Chứngminh hai đường tròn ngoại tiếp tam giác SMTvàCETtiếp xúc vớinhau Bài4.( , 0điểm) Giảsửn l sốtựnhiênthỏamãnđiềukiện n(n+1)+7 khôngchiahếtcho7.Chứng minhrằng n3 5n1k h n g làsốchínhphương Bài5 (0,5điểm) Choa ,b,clàcácsốthựcdươngthỏamãn a 2+b2+c2= 3abc.Tìmgiátrịlớnnhấtcủa biểuthứcT = a b 3a +2b2+c2 + 3b2+2c2+a2 c + 3c2+2a2+b2 Hết SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOT HÁIBÌNH ĐỀTHICHÍNHTHỨC Trang1 Bài1.( , 0điểm) KỲTHITUYỂNSINHLỚP10THPT Nămhọc: 2020– 2021Mơnthi:TỐN Thờigian:120phút(khơngkểthờigianphátđề)HƯ ỚNGDẪNGIẢI Cho f(x)=x 2 3x5c ó hainghiệmlà x1,x2.Đąt g(x)=x 2 4.Tínhgiátrịcủa T= g (x1) g(x2) Choa ,b,cl a cácsốthựckhác0vàthóamân ( a+b+c) 1+1+1= a b c Chứngminh + 25+ 25 2021+ 2021 rằng( a b )( b c )( c a )=0 Lờigiải Cho f(x)=x 2 3x5c ó hain ghiệmlà T= g (x1).g(x2) Vìx1,x2l nghiệmcủa x1,x2.Đặt g(x)=x 2 4.T í n h giátrịcủa f(x)=x 2 3x5n ê n tacó: x 23x5=0 x 2=3x+5 1 x 2=3x+5 x 3x5=0 2 2 x1+x2=3nên: TheođịnhlýVi-ettacó: = 1 xx 1 T= g (x1).g(x2) ( )( ) T= x 41 x T= ( 3x1+54 )( 3x2+ 54 ) T= ( 3x1+1)(3x2+ 1) T= 9x1x2+3(x1+x2)+1 T= 9(5)+3.3+1 T=35 VậyT = 35 Choa,b,cl cácsốthựcdươngkhác0vàthỏamãn ( a+b+c) 1+ 1+1= + 25+ 25 2021+ 2021 minhrằng( a b )( b c )( c a )=0 Vì( a+b+c) 1+1+1= 1n ê n a +b+c0 1.C h ú n g a b c 1+1+1= Trang2 a 1 b c a b c a+b+c 1 b + + = a+b+c c a +c +b bc= b+ca(a+b+ c) a ( b+c) (a+b+c) = + bc bc+a2+ab+ac abc(a+b+c) (b+c) ( = b+c)(c+a)(a+b) abc(a+b+c)= a=b b=c c=a + 25+ 25 2021+ 2021 Vậy( a b )( b c )( c a )=0(đpcm) Bài2 (2,5điểm) Giảiphươngtrình x + +4 x =3x+9 Giảihệphươngtrình 2xy 2 =1 x +y + x+y 3x2 + 33 +3 2x + y 1 =3x+y+6 Lờigiải Giảiphươngtrình x + +4 x =3x+9 Điềukiệnxácđịnh: x0,tacó: x + +4 x =3x+9 x+3 ( x+34 ( 2)2+2( x+3 x +32=0 x 1=0 x+3=4 +4)+2(x2 x +1)=0 x 1)2=0 x=1(tmDKXD) x=1 Vậyphươngtrìnhcónghiệmduynhất x 2+y 2+ Gi ải ệươ ng rìn h x=1 Trang3 2xy x+y = 3x2 + 33 +3 2x + y 1 =3x+y+6 (1 ) (2) Trang4 2x+y 10 ĐKXĐ: x+y0 (1)x 2+y2+ 2xy x+y = 2xy x+y = ( x+y )2 2xy+ ( x+y )3 2xy(x+y )+2xy= (x+y ) Đặt S=x+y,P=xy ( S 24P)t a có: S 2SP+2P=S S=1 S 2+S2 P=0 TH1:Với x+y =1y =1x ,thayvào ( ) t a được: 3x2 + 33 +3 =3x+1x +6 x =2x+7 3x2+ 33+23 x2+ 33.3 63 x2+33 ( x +9x=4x + 28x+49 x =x 2+19x+16 ) 36 3x2+33 x=x 4+361x2+256+38x3+32x2+608x x4 70x3+393x2 580x+256=0 ( x 1)2(x )(x 4)= x x =1y =0 (TM) =4y = (TM) x=64y=63(TM) TH2:Vớix2+y 2+x+y=0.Tacoiđâylàphươngtrìnhbậchaiẩn x Đểtồntại x t h ì =14(y2+y ) 04 y +4y10 1+2 + y +2 y 12 + 1+2 y2 Tươngtựtacũngcó 1+ 2 x 1+2 ) ( S 1) S2+S 2P =0 x+y=1 2 x + y+ x+y=0 3x2 + 33 +3 2x + 1 x 1 ( S (S+ 1)(S 1)2 P(S 1)=0 Suyra x+y 12 1+ 2 1+ + 2 10 ,khôngthỏamãnđiềukiện x+y 10 nên trườnghợpnàyhệvơnghiệm Vậyt ậ pnghiệmcủahệ p hư ơn g trìnhl { ( ; 0),(4;3),(64;63)} Bài3 (3,5điểm) Chotamgiác A B C nhọn( ABA C ) nộitiếp trongđườngtrịn( O) cócácđường caoB E ,CFc ắ t nhautại H GọiS l giaođiểmcủacácđườngthằngB C v E F ,gọiM làgiaođiểmkhác Ac ủ a S A v đườngtròn( O) a ChứngminhrằngtứgiácA E H F n ộ i tiếpvàH M v u ô n g gócvớiS A b GọiI l trungđiểmcủaB C ChứngminhrằngS H v u n g gócvớiA I c GọiTlà điểm nằm đoạn thằngHCsao choATv u ô n g g ó c v i BT Chứngminh hai đường tròn ngoại tiếp tam giác SMTvàCETtiếp xúc vớinhau Lờigiải a)C h ứ n g minhrằngtứgiácA E H F n ộ i tiếpvàH M v u n g gócvới S A VìAEH+ AFH= 90+90=180nêntứgiácAEHFnộitiếpđườngtrịnđườngkínhA H (dhnb) ( ) CótứgiácBCEFnộitiếp BEC=BFC=90 SFB=SCE XétSBF SFB=SCE (gócngồivàgóctrongtạiđỉnhđốidiệncủatứgiácnộitiếp) vàSCE có: (cmt);góc FSBlàgócchung SBF#SEC(g.g) SB=SF SE SB SC= S F SE SC (1 ) CótứgiácBCAMnộitiêpđườngtrịn( O).Xét SBMvà SACc ó GócGóc SBM=SAC(gócngồivàgóctrongtạiđỉnhđốidiệncủatứgiácnộitiếp) MSBlàgócchung SB SM SBM#SAC(g.g) = SA (2) SB.SC=SM.SA SC S F SA Từ( 1)v ( ) suyra S F SE=SM.SA = ,lạicógóc SM MSFlàgócchung SE SMF#SEA ( c.g.c)SMF=SEA(2góctươngứng) AMFEl nộitiếpđường trịn Suyra5điểmA,M,F,H,Ec ù n g nằmtrênđườngtrịnđườngtrịnđườngkínhA H Tứgiác AEHMn ộ i tiếpđườngtrịn,suyragócgóctro ngtạiđỉnhđốidiệncủatứgiácnộitiếp) HEA=HMS=90 (gócngồivà SuyraH M SA b.Gọi I l trungđiểmcủaB C ChíngminhrằngS H v u n g gócvới A I Kéo dàiA O c ắ t đường tròntạiD , khiđótacóD C B H ( c ù n g vnggóc vớiC A ) vàD B CH ( c ù n g v u n g g ó c v i B A ) n ê n B H C D l hình bìnhhành MàI l trungđiểmcủaB C s u y raI l trungđiểmcủa H D ,hayI ,H,Dt h ẳ n g hàng LạicóD M AM doA D l đườngkính,H M SAnên D,H,Mt h ẳ n g hàng Vậybốnđiểm D ,I,H,Mt h ẳ n g hàng,suyra I M A S MàA H SIn ê n H l trựctâmASISHAI c.GọiT l điểmnằmtrênđoạnthằngH C choATvng gócvớiB T Chứngminhrằngha iđườngtrịnngoạitiếpcủacáctamgiácS M T vàC E T tiếp xúcvớinhau Gọi tiaA H c ắ t B C t i K , suyratứgiác H K S M n ộ i tiếp XétAMH vàAKS HKS+HMS=180 có:SAHchung; AMH=AKS=90 AMH#AKS(g.g) AH = AM (3 ) AK A H AK= A M AS AS Tương tựtacótứgiácH K E C n ộ i tiếpsuyra AEH#AKC(g.g) Từ( 3)v ( ) suyra AE= AH A E AC=A H AKAK AC (4) AM.AS=AE.AC Theogiảthiết,ATB=AEB=90AETBlàtứcgiácnộitiếp,suyraATE=ABE, MàABE= ACT ATE= ACT,lạicóTAEchung ACT#ATE(g.g) AT A C = A E AC= A T AE AT VìATE=ACT Lạicó (cmt)nên A T l tiếptuyến củađườngtrònngoại tiếpcủa AM.AS=A E AC=A T 2 CET(1) AM =A T AT AS ( AT AM XétATMvàASTcó: SATchung; = cmt) AT AS ATM#AST(c.g.c)ATM= AST(2góctươngứng) SuyraA T l tiếptuyếncủađườngtrònngoạitiếpcủa SMT( ) Từ( 1)và ( ) suyrahaiđườngtrònngoạitiếpcủacáctamgiác SMTv CETt i ế p xúcvớinhau Bài4 (1,0điểm) Giảsửn l sốtựnhiênthỏamãnđiềukiện n(n+1)+7 khôngchiahếtcho7.Chứng minhrằng n3 5n1k h n g làsốchínhphương Lờigiải Giảsửtồntạisốtựnhiên n t h ỏ a mãnđiểukiện 4n3 5n1l s ố c hí nh p h n g n(n+1)+7 khơngchiahếtcho7và Tac ó 4n3 5n1=(n+1)(4n2 4n1) ĐặtUCLN ( n+1;4n2 4n1)=d ( d*) n+1d Suyra 4n 24n 1d Có4n 24n 1=4n(n+1)8(n+1)+7d7d Vìn (n+1)+7 khơngchiahếtcho7nên khơngchiahếtcho7,suyra d 7d=1 n(n+1)k h n g chiahếtcho7,suyra Dođó, n+1v n2 4n1l haisốnguntốcùngnhau,màtíchcủachúnglàsốchính phươngsuyra n+1và n2 4n1l cácsốchínhphương Suyr a n2 4n1=a 2(a) ( n1)2 a 2= ( na 1)(2n+a 1)=2 Vì2na12n+a1 2na 1=1 2n+a 1=2 2na 1=2 2n+a 1=1 n= a= n = a= ,khôngthoảmãn n , alàcácsốtựnhiên 2 Vậygiảsửlàsai,tacóđiềuphảichứngminh n+1 Bài5 (0,5điểm) + + = Choa ,b,clàcácsốthựcdươngthỏamãna b2 c2 3abc.Tìmgiátrịlớnnhấtcủa biểuthứcT = a b 3a +2b2+c2 + 3b2+2c2+a2 c + 3c2+2a2+b2 Lờigiải a b c Tacó:a 2+b2+c2= 3abc + + = bc ca ab Ápdungbấtđẳngthức A M GMt a có: a+ b + 2 a b bc ca= bc ca c b+ c bc = ca ab ca ab a a+ c ac = 2 bc ab bc ab b Cộngvếvớivếcủa3bấtđẳngthứctrên,tacó: a + b + 2 bc ca c 1 1 1 2 + a+ + + 3 ab b c a b c TiếptụcápdụngbấtđẳngthứcAM-GMtacó: ( )( ) 3a2+2b2+c2= a + b2 + a +c2 4ab+2ac a 3a2+2b2+c2 a =1 4ab+2ac 22 b +c +1+1 Ápdụng Cauchy–Schwarztacó: b Hồntồntươngtự,tacó: 1 + 1 b b+b+c 22 b +c 18 b c 12 c b 3b2+2c2+a2 18 T a b c 1, VậyGTLNcủa T dấu" ="x ả y rakhia =b=c=1 1+1+11.3 SuyraT 1 +a ; 12 a c 3c2+2a2+b2 18 c 1 +b