Microsoft Word 61 CHUYÃ−N VĨNH LONG 2021 2022 doc x 1 2x x x x x x +1 x +1 26 43 x SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TỈNH VĨNH LONG Năm học 2021 2022 Môn thi TOÁN Thời gi[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH LONG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN Năm học: 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho biểu thức A = x x 1 2x x x x B = x x +1 1 x +1 với x , x minh B > A b) So sánh 24 + 26 10 Câu (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = m 1 x + m + Rút gọn A chứng (m tham số) Tìm m để (d) cắt (P) điểm nằm phía trục tung Câu (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 43 x = x 1 x+ x 1 = x y b) Giải hệ phương trình: y 2 y = xy Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh tổng bình phương số nguyên liên tiếp khơng thể số phương b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 y + 2xy + y = 32x Câu (1,0 điểm) Cho hình vng ABCD điểm E cạnh BC biết AB = 4cm, BE = BC Tia Ax vng góc với AE A cắt tia CD F a) Tính diện tích AEF b) Gọi I trung điểm đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD K Chứng minh: AE = KF CF Câu (2,0 điểm) Cho O ; R điểm M cho OM = 2R Kẻ tiếp tuyến MA, MB với O (A, B tiếp điểm) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI I khác A) Qua I vẽ dây CD cho IC = ID C thuộc cung nhỏ AB Tiếp tuyến O C cắt OI Q Chứng minh: a) Tứ giác OCQD nội tiếp đường tròn b) AMB tam giác c) OQ MQ Câu (1,0 điểm) 3+x 6x Cho số thực x thỏa mãn x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: T = + x 3 x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (2,0 điểm) a) Cho biểu thức A = minh B > A b) So sánh 2x x x x x x 1 24 + 26 B = x x +1 x +1 1 với x > , x Rút gọn A chứng 10 Lời giải x a) Với x > , x Ta có: A = x x B = x (x +1 x +1 1 = 2x 1 x x x = x x 1 ( ) ( ) x 1 x x x 1 x 1 x x +1 x = x 1 x 1 = x 1 x 1 +1 x +1 x 1 = x x +1 1 = x x x +1 = )( ( ) ( ) ) ( ) Ta lại có: B A = x x x 1 = x x +1 = x 1 > với x > , x B > A (đpcm) b) Ta co: 24 + 26 ( 24 + 26 ) = 24 + 26 + 24.26 = 50 + 2.624 < 50 + 2.625 = 100 = 102 < 10 Câu (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m 1) x + m + (P) điểm nằm phía trục tung Xét PT hồnh độ giao điểm: (m tham số) Tìm m để (d) cắt Lời giải x2 = ( m 1) x + m + x2 ( m 1) x m = (*) ( ) Ta có: = ( m 1) ( m ) = m2 2m +1+ 4m +16 = m2 + 2m +1 +16 = ( m +1) +16 > m pt (*) có nghiệm phân m 1biệt hay (d) ln cắt (P) điểm phân biệt m x1 + x2 = Theo Vi-et ta có: 1x 2x = m Để (d) cắt (P) điểm nằm phía trục tung pt (*) ln có nghiệm phân biệt trái dấu hay: m < m > Câu (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 43 x = x 1 x+ x 1 = x y b) Giải hệ phương trình: y 2 y = a) ĐK: 43 x x 43 xy Phương trình x 1 43 x = ( x 1) Lời giải x 1 1 x 43 x x 42 = 43 x = x2 2x +1 1 x 43 x=7 ( x )( x + ) = b) ĐK: x y 2x 2x + = 1 2x ( x y ) + 2x = 1( x y ) (1) x y Hệ phương trình 2y y ( x y ) y = 3( x y ) ( ) 4 y =3 xy Cộng vế với vế (1) với (2) ta được: 2x ( x y ) + 2x + y ( x y ) y = ( x y ) x y = x = y ( x y )( x + y ) = ( KTM ) x+2y=0 x = 2 y (TM ) 2 y 1 7 Với = y= x = x = 2 y 2 y + 3 y 12 7 x= Thử lại ta thấy (TM ) y= 12 7 x= Vậy hệ pt có nghiệm là: y= 12 Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh tổng bình phương số ngun liên tiếp khơng thể số phương b) Tìm nghiệm ngun dương phương trình: x2 y + 2xy + y = 32x Lời giải a) Giả sử số nguyên liên tiếp là: Ta có: 2 x ; x +1; x + 2; x + 3; x + 4; x + 2 x2 + ( x +1) + ( x + 2) + ( x + 3) + ( x + 4) + ( x + 5) ( x) = x2 + x2 + 2x +1+ x2 + 4x + + x2 + 6x + + x2 + 8x +16 + x2 +10x + 25 = x2 + x2 + 2x +1+ x2 + 4x + + x2 + 6x + + x2 + 8x +16 + x2 +10x + 25 = 6x2 + 30x + 55 ( b) Ta có: x2 y + 2xy + y = 32x y x2 + 2x +1 = 32x y = Do: 32x ( x +1) 2 x ; y + 32x ( x +1) 32x ( x + 2) ( x +1) 32x2 + 64x + 32 32 ( x +1) 32 ( x +1) 2 2 ( x +1) U ( 32 ) = 1; 2; 4;8;16;32 ( x +1) 4 ;16 (Vì: ( x +1) > số phương) x =1 TH1: ( x +1) = x2 + 2x = (TM ) y = (TM ) x = 3 ( KTM ) = x TH2: ( x +1) = 16 x2 + 2x 15 = (TM ) y = (TM ) x = 5 ( KTM ) Vậy nghiệm pt là: ( x; y ) = (1;8) ; (3; 6) Câu (1,0 điểm) Cho hình vng ABCD điểm E cạnh BC biết AB = 4cm, A cắt tia CD F BE = BC Tia Ax vng góc với AE a) Tính diện tích AEF b) Gọi I trung điểm đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD K Chứng minh: AE = KF CF Lời giải x A B 1 I F a) Ta có: A D Xét ABE ADF có: = A A B (cmt ) = = 90 D ) AD = ( gt AE (2 cạnh tương ứng) AEF 3 Mà: BE = BC (gt) BE = = 3(cm) 4 Theo Pi-Ta-Go ta có: AE = b) Vì: AEF cân A (cmt) C K = A(cùng phụ với A ) AB2 + BE2 = = E F ABE = ADF ( g c g ) cân A 42 + 32 = ( cm ) S AEF = ( AE.AF 5.5 = = 12, cm = 45 Mà: FI = EI ( gt ) AI trung trực EF AI EF IAE ; IAF cân I FI = EI = AI I = C E = 90 IF KF Xét IKF CEF có: chung IKF ∽ CEF (g.g) F KF.CF = IF.EF = IF.(2IE ) = 2IE2 = IE + IA2 = AE (đpcm) CF = EF KF.CF = IF.EF Câu (2,0 điểm) Cho (O ; R điểm M cho OM = 2R Kẻ tiếp tuyến MA, MB với ) (O) (A, B tiếp điểm) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI I khác A) Qua I vẽ dây CD cho IC = ID C thuộc cung nhỏ AB Tiếp tuyến ( O ) C cắt OI Q Chứng minh: a) Tứ giác OCQD nội tiếp đường tròn b) AMB tam giác c) OQ MQ Lời giải D A Q I O H M C B a) Ta có: IC = ID ( gt ) OI CD I (Đường kính vng góc với dây cung qua trung điểm) OI đường trung trực CD OQ đường trung trực CD QD = QC Xét DOQ COQ có: QD = QC (cmt ) ; OC = OD = R ( gt ) ; OQ chung DOQ = COQ (c.c.c) DOCQ = ODQ = OCQ 90 + ODQ = 180 OCQ nội tiếp R OA = = = 30 = OM M 2R Gọi H giao điểm AB OM ta có: MA = MB (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Mà: OA = OB = R OM đường trung trực AB OM AB H = 90 = 90 30 = 60 hay = 60 M BAM HAM Mặt khác: ABM cân A (Vì: MA = MB) ABM (đpcm) c) Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: OI.OQ = OD = R OI OM = OI.OQ = OH OM OH OQ OH OM = = R2 OA b) Xét AOM A có: sin M Xét OHI OQM có: OI = OM ( cmt ) ; O chung OHI ∽ OQM OH ( c g c ) OQM Câu (1,0 điểm) OQ = = 90 OHI OQ MQ (đpcm) Cho số thực x thỏa mãn x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: T = 3+x + 6x x 3 x Lời giải (3 + x )( x) + (6 x) x + x 6x + = Ta có: T = x (3 x) x 3x ( = x2 + 6x x2 3x x2 ) = 2x2 6x x2 3x T x2 3x = 2x2 6x Tx2 3Tx 2x2 + 6x + = (T ) x2 + ( 3T ) x + = ( *) ( Có: = ( 3T ) (T ) = 36 36T + 9T 36T + 72 = T 8T +12 ( ) ) Để phương trình (*) có nghiệm T 8T +12 T 8T +12 Với T = Với T = TMin = 2x2 6x = 2x x2 3x 2x 6x = 2x x2 3x x= 2 6x = 2x2 2 12x + = x = (TM ) 2x2 6x x2 3x = 13 ( = 6, 2x 4x2 12x 18 = 13x2 39x 9x2 27 x +18 = x2 3x + = = 6, T – 6x = (vô lý) – 6x = 6x 18x 4x Vì: x Thay x = vào T ta được: T = TMax T x =1 ) ( – 6x = 13 x – 3x (TM ) x = x = x=2 THCS.TOANMATH.com ) ... 27 x +18 = x2 3x + = = 6, T – 6x = (vô lý) – 6x = 6x 18x 4x Vì: x Thay x = vào T ta được: T = TMax T x =1 ) ( – 6x = 13 x – 3x (TM ) x = x = x=2 ... Tx2 3Tx 2x2 + 6x + = (T ) x2 + ( 3T ) x + = ( *) ( Có: = ( 3T ) (T ) = 36 36T + 9T 36T + 72 = T 8T +12 ( ) ) Để phương trình (*) có nghiệm T 8T +12 T 8T +12... > A (đpcm) b) Ta co: 24 + 26 ( 24 + 26 ) = 24 + 26 + 24.26 = 50 + 2.624 < 50 + 2.625 = 100 = 102 < 10 Câu (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m 1) x + m + (P) điểm nằm