Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng môn Toán: Chuyên đề ôn thi Đại học về số phức

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC VỀ SỐ PHỨC Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai” Trang 1 Tính giá trị biểu thức: 1. Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2 + 4z + 13 = 0. Tính giá trị của biểu thức: A = z 1 .z 2 + |z 1 | 2 + |z 2 | 2 ( )( ) 2 2 2 121 11 zzzzB ++−−= 2. Gọi z 1 , z 2 là nghiệm phức của phương trình: z 2 – 4z + 5 = 0. Tính: A = (z 1 – 1) 2011 + (z 2 – 1) 2011. 3. Cho z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình: 2z 2 – 4z + 11 = 0. Tính giá trị: ( ) 2 21 2 2 2 1 zz zz A + + = . 4. Cho phương trình: z 3 – 5z 2 + 16z – 30 = 0 (1). Gọi z 1 , z 2 và z 3 lần lượt là 3 nghiệm của phương trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: 2 3 2 2 2 1 zzzA ++= . 5. Cho hai số phức z, z’ thoả mãn: |z| = |z’| = 1 và 3' =+ zz . Tính giá trị biểu thức: A = |z – z’|. Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức: 6. Trong mp Oxy, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w = z – 1 + i thoả mãn: 121 2 +=−+ ziz 7. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: a) |z + 1 + i| = |z(1 – i)|. b) 0 2 =+ zz 8. Cho số phức z 1 thoả mãn: ( ) ( ) 2 3 1 1 21 i i z + + = . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: |z + z 1 | = 4 9. Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức ( ) 231 1 ++= ziz , biết rằng: |z - 1| = 2. 10. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(1 + i)z+1 biết 11z −≤ 11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (z + i)(2 + i), trong đó z là số phức thỏa |z - 2| = 3. Môđun của số phức nhỏ nhất hoặc lớn nhất: 12. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện: izz 34 −+= và biểu thức A = |z + 1 – i| + |z –2+3i| có giá trị nhỏ nhất. 13. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: ( ) 12 1 1 =+ − + i zi . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất. 14. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a) |iz – 3| = |z – 2 – i| b) |z + 1 + 2i| = 1 15. Tìm số phức z thoả mãn ( ) ( ) izz 21 +− là số thực và |z| nhỏ nhất. 16. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a) izzz 212 +−=− b) 1 3 51 = −+ −+ iz iz . 17. Trong tất cả các số phức z thoả mãn: |z – 2 + 2i| = 1, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Tìm phần thực, phần ảo: 18. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = (1 + i) n , trong đó n ∈ N và thoả mãn: log 4 (n-3) + log 5 (n+6) =4 19. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp: 1) ( ) ( ) 12 16 1 3 i i z + + = 2) z = ( ) ( ) 5 10 10 (1 ) 3 13 ii i −+ −− 3) ( ) ( ) 2011 2012 3 1 i i z + + = 4) ( ) 6 31 iz −= 5) z= ( ) 10 3 i− Tìm số phức z thoả mãn điều kiện cho trước: 20. Tìm số phức z thoả mãn: a) ziiz −= − 13 và 2 9 −z là số thuần ảo. b) 1 3 1 = − − z z và 2 2 = + − iz iz . 21. Tìm số phức z thoả mãn: a) i z z z 71 200 2 4 − −=+ b) 3 5 8 12 = − − iz z và 1 8 4 = − − z z c) ( ) 2 1 31 z i ziiz = + +− 22. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + i| = 2, biết z có phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 23. Tìm số phức z thoả mãn: a) izziz 22 +−=− và 4)( 22 =− zz . b) 8.2 2 2 =++ zzzz và 2 =+ zz 24. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: iziz +−=+ 12 và iz iz 2 1 + −+ là một số thuần ảo. 25. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 1) ( ) 2621 =+− iz và 25. =zz . 2) ( ) izzzz 413. −=−+ Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai” Trang 2 26. Cho các số phức: z 1 = 1 + 2i, z 2 = 3 – 4i. Xác định số phức z ≠ 0 thoả mãn: z 1 .z là số thực và 1 2 = z z . 27. Tìm số phức z thoả mãn: a) ( ) ( ) izz 21 +− là số thực và 22=z . b) 13. =zz và |z – 4| + |z + 4| = 10 28. Tìm số phức z thoả mãn: iziz 43|21| ++=−+ và iz iz + − 2 là một số thuần ảo. 29. Tìm số phức z thỏa mãn: 1) ( ) 1 2 5 . 34z i va z z+− = = 2) 15z −= và 17( ) 5 0z z zz+− = 3) 3 zz = Hai số phức bằng nhau: 30. Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1) x(3 + 5i) + y(1 – 2i) 3 = 7 + 32i. 2) ( ) ( ) iiy i ix 41121 32 23 3 +=−+ + − 31. Tìm môđun của số phức z, biết: 1) ( ) iziz 2125314 +=++ . 2) ( ) i z zi z i −+ − = − 2 .321 2 . 32. Giải phương trình trên tập số phức: 1) (z 2 + z) 2 + 4(z 2 + z) – 12 = 0 2) ( ) ( ) 0 22 =−+ zziz 3) |z| - iz = 1 – 2i 4) z 3 + 2z – 4i = 0 5) (z 2 – z)(z + 3)(z + 2) = 10 6) ( ) 52 2 4 −= zzz 7) z 4 – z 3 + 6z 2 – 8z – 16 = 0 a) 8 35 542 2 =−+ zzz b) i z z 68 25 −=+ 33. Giải phương trình trên tập số phức, biết phương trình có nghiệm thực: 2z 3 – 5z 2 + (3 + 2i)z + 3 + i = 0. 34. Chứng minh rằng phương trình z 4 - 4z 3 + 14z 2 - 36z + 45 = 0 có 2 nghiện thuần ảo. Tìm tất cả nghiệm. 35. Tìm phần thực, phần ảo của số phức: z = 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) 3 + … + (1 + i) 20 . 36. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thoả mãn: z = 1 + 2i + 3i 2 + 4i 3 + … + 2009i 2008 . 37. Cho số phức z thoả mãn: |z| = 1 và 2=+ z i z . Tính tổng: S = 1 + z 2 + z 4 + … + z 2010 . 38. Tìm phần thực, phần ảo của số phức: ( ) ( ) ( ) ( ) 3000963 3 333 iiiiz −++−+−+−= 39. Chứng minh số phức sau là số thực: i i i i z 32 323 32 323 − +− + + + −= 40. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: (x + i)(1 – yi) + (x – i)(y + i) = 6 – 2i. 41. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) n , với n ∈ N * và n là nghiệm của: ( ) ( ) 39log3log 44 =++− nn 42. Tìm số phức z có mô đun lớn nhất, biết z thỏa mãn điều kiện: 2 2 3 = +− +− iz iz 43. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 1+ (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) 3 + … + (1 + i) 20 . 44. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + 1 = i 2011 + i 2012 . Tìm môđun của số phức: ziz + 45. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết rằng: 32 +=− ziz và |4z – 8 – 9i| nhỏ nhất. 46. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 18 1 − − =− z z z . Tính: iz iz 2 4 − + 47. Cho z là số phức thỏa mãn: ( ) ( ) iziziz 2=++ . Tính: |z + i| 48. Tìm các số phức z 1 , z 2 thỏa mãn: 24 211 −=− zzz và ( ) i ziz i z −= − −         + 1 1 2 1 11 2 49. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z + 2i, biết rằng: |z – i| = |z(1 - i)| 50. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z 3 , biết: z(1 + i) = 2(1 + 2i). 51. Tìm số thực m để phương trình: z 3 – 5z 2 + (m – 6)z + m = 0 có 3 nghiệm phức phân biệt z 1 , z 2 , z 3 thỏa mãn điều kiện: |z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 = 21. 52. Cho hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn: |z 1 – z 2 | = |z 1 | = |z 2 | > 0. Tính giá trị của biểu thức: 4 1 2 4 2 1         +         = z z z z A Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 1 Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức: Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 1) z = 23 (2 )(3 ) (1 2 )ii i− − −− 2) z = (2 + i) 3 – (3 - i) 3 . 3) z = 5(4 2 ) 7 (8 5 )ii i−+ − 4) z = 25 (1 3 )( 2 )(1 ) i i ii −+ +−−+ 5) z = 7 7 11 2 i ii  −   6) z = 1 31 3 1 21 2 ii ii +− + −+ 7) z = 23 ( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )ii i i−+ − + − + 8) z = 22 (4 ) (1 3 ) ii − −− 9) z = 22 ( 2 5) (4 8) ii −+ + 11) z = (2 ) (1 )(4 3 ) 32 i ii i +++ − − 12) z = 32 1 ii ii −+ − + 13) z = 2 3 ( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 ) ii ii −+ − −+ 15) z = (3 4 )(1 2 ) 43 12 ii i i −+ +− − 16) (3 )(2 6 ) 1 ii i ++ − 17) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 223 121 ii ii z +−+ −−+ = 18) z = 44 (2 7 ) [(1 2 )(3 )]i ii+ −− + 19) z = 7 5 (1 )ii− 20) z = 34 (2 ) (2 ) ii+− Bài 2. Cho số phức z = 2 - 5i. Tìm phần thực, phần ảo và môđun: 1) z 2 – 2z + 4i. 2) 1 zi iz + − . Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn 2 (1 3 ) 1 i z i − = − . Tìm môđun của số phức z iz+ . Bài 4. Cho các số phức z 1 = 1 + 2i, z 2 = -2 + 3i, z 3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 1) 22 12 22 23 zz zz + + 2) 12 23 31 zz zz zz++ 3) 123 zzz 4) 222 123 zzz++ 5) 3 12 231 z zz zzz ++ Bài 5. Tìm các số thực x, y sao cho: 1) (1 – 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i 2) i i y i x = − − + + − 3 3 3 3 3) ( ) ( ) ( ) iyxyxyxyixi 2222 23 2 1 42343 −+−=++− Bài 6. Cho ba số phức 12 3 14; 15; 33z iz iz i=+ =−+ =−− có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C. Hãy tìm số phức z có điểm biểu diễn là: 1) trọng tâm G của tam giác ABC. 2) D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. 3) trực tâm H của tam giác ABC. 4) tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Bài 7. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức biểu diễn các số: 1 4 −i i ; (1 – i)(1 + 2i) ; i i − + 3 62 . 1) CMR: ∆ABC vuông cân. 2) Tìm số phức biểu diễn điểm D, sao cho ABCD là hình vuông Tính toán: 1) Cho số phức i i z − + = 1 1 . Tính z 2009 . 2) Tính: 2004 1 1       + i ; 21 321 335         − + i i ; ( ) ( ) 11 5 31 3 i i − + 3) Tính giá trị biểu thức: 816 1 1 1 1       + − +       − + = i i i i A 66 2 31 2 31         + +         +− = ii B Dạng 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: Bài 1. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 1) 2 13 12 ii z ii + −+ = −+ 2) 4 1 zi zi +  =  −  . 3) (9 3 ) (11 6 ) 57 ii i z −−+ = − 4) 8 3 =       − + iz iz 5) (1 + i)z 2 = -1 + 7i 6) ( ) 1 23 0 2 i z i iz i   + ++ + =    7) 35 12 (1 )(4 3 ) 13 2 ii z ii ii ++ + =−+ − 8) 3 (1 2) (3 4) 2 3iz i i+ − − =−+ 9) (2 ) 3 4iz i −=+ 10) 2 ( 2 5 ) ( 2 7 ) (1 )(1 2 )iz i i i+ =−+ − − − 10) (i+1) 2 (2– i)z = 8 +i+(1+2i)z (CĐ’09) 11) 5 (1 ) (3 2 )(1 3 )iz i i−=+ + 12) ( 2 7 ) (14 ) (1 2 )iz i iz−+ = − + − Bài 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: 1) 2 34zz i−=− . 2) 2 2 0zz+= 3) 2z + 3 z =2+3i 4) z 2 = z + 2 5) 2 0zz+= . 6) (2 ) 10zi−+= và . 25zz= (ĐH.B’09) 7) 2i ( ) ( ) 12z zi−+ là số thực và 15 z −= Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 2 8) 1z = và phần thực bằng 2 lần phần ảo. 9)    −=− =− |||1| |||2| izz ziz 11) 1 1 z zi − = − và 3 1 zi zi − = + Dạng 3: Giải phương trình bậc hai - tìm số phức z. Bài 1. Giải phương trình trên tập số phức: 1) z 2 – z + 1 = 0. 2) x 2 – 6x + 25 = 0 3) ( ) ( ) 2 2 2 1 30zz+ ++ = 4) z 2 + 2z +5 = 0 5) 2 50xx− +−= 6) z 2 – 3z + 3 + i = 0 7) x 4 + 7x 2 + 10 = 0 8) 42 5 40xx+ += Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) ( ) ( ) 2 3 6 3 13 0zi zi+− − +− + = 2) ( ) ( ) 2 22 4 12 0zz zz+ + +−= 3) 2 33 3. 4 0 22 iz iz zi zi ++  − −=  −−  Bài 3. (ĐH.A’09) Cho z 2 + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức z 1 và z 2 là nghiệm. Tính giá trị 22 12 Az z= + . Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số phức: 1) 2 43 10 2 z zz z− + ++= 2) 01 23 =+ + − +       + − +       + − iz iz iz iz iz iz 3) 10)2)(3)(( 2 =++− zzzz 4) z 4 + 2z 3 – z 2 + 2z + 1 = 0 5) z 4 – 4z 3 + 6z 2 – 4z – 15 = 0. 6) 42 2 3 (1 ) 4(1 ) 0zz z z− +− + = 7) (z 2 + 3z + 6) 2 + 2z(z 2 + 3z + 6) - 3z 2 = 0 8) z 6 + z 5 – 13z 4 – 14z 3 – 13z 2 + z + 1 = 0 Bài 5. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 1) z 3 + (2 – 2i)z 2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 2) z 3 + (1 + i)z 2 + (i – 1)z – i = 0 Dạng 4: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn các điều kiện: 1) 34zz++ = 2) 12zz i− +− = 3) (3 4 ) 2zi−− = . (ĐH.D’09) 4) |z – 2| + |z + 2| = 10 5) 22 () 4zz −= 6) 32 1zi−+ = 7) (1 3 ) 3 2z iz i+ − = +− 8) 22 zi zz i−= −+ 9) |2i.z – 1| = 2|z+3| 10) 9. =zz 11) (3 2 )(1 ) 1z ii−+ −= 12) |z + i| = |z – 2 – 3i| 13) |z + 2| = |i – z| 14) 3 (1 ) 1zi−− = 15) 2 () zi− là một số thực dương 16) 1222 −=− zzi 17) 1 3 = + − iz iz 18) 4 zi zi − = + 19) 1 1 zi = + 20) iz z + − 2 là số thực 21) zi zi + − là một số thực dương 22) 2 ( 1)zi−+ là một số thuần ảo. 23) ( ) 2 ()ziz−+ là số thực tùy ý, 24) 1 1z − là một số thuần ảo. Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: 23zi z i−= −− . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. Dạng 5: Dạng lượng giác và Acgumen của số phức. Dạng lượng giác của số phức: ( ) ϕϕ sincos irz += ; r ≥ 0. ϕ được gọi là agumen. r là môđun của z. Bài 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 1) 31 i− 2) 1 + i 3) )1)(31( ii +− 4) i i + − 1 31 5) i22 1 + 6) )3(2 ii − Bài 2. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau: 1) |z| = 3 và một acgumen của iz là 4 5 π 2) 3 1 =z và một acgumen của i z +1 là 4 3 π − Bài 3. Gọi z 1 và z 2 là 2 nghiệm phức của phương trình: 0432 2 =−− izz .Viết dạng lượng giác của z 1 và z 2 Một số bài tập: 1. Tìm căn bậc hai của số phức: -8 + 6i; 3 + 4i ; i221− 2. Xác định phần thực của số phức 1 1 − + z z , biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1. 3. Chứng minh rằng: nếu 1 1 − + z z là số ảo thì |z| = 1. 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3 18 26 z i = + Giải: 3 18 26 z i = + ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 18 18 26 18 3 26 3 3 26 x xy x yi i x y y x xy x y y  − =  ⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −  − =   Gi ả i ph ươ ng trình b ằ ng cách ñặ t y=tx ta ñượ c 1 3, 1 3 t x y = ⇒ = = . Vậy z=3+i Ví dụ 2) Cho hai số phức 1 2 ; z z thoả mãn 1 2 1 2 ; 3 z z z z= + = Tính 1 2 z z − Giải: Đặ t 1 1 1 2 2 2 ; z a bi z a b i = + = + . Từ giả thiết ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 a b a b a a b b  + = + =   + + + =   ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 a b a b a a b b z z ⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − = Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2 8(1 ) 63 16 0 z i z i − − + − = Giải: Ta có ( ) 2 2 ' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8 i i i i ∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là 1 2 5 12 , 3 4 z i z i = − = + Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 2 2(1 ) 4(2 ) 5 3 0 i z i z i + − − − − = Giải: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i) 2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là: z 1 = i ii i i i i 2 5 2 3 2 )1)(4( 1 4 )1(2 4)2(2 −= − − = + − = + + − z 2 = i ii i i i i 2 1 2 1 2 )1)(( 1)1(2 4)2(2 −−= − − = + − = + − − Ví dụ 3) Giải phương trình 3 2 9 14 5 0 z z z − + − = Giải: Ta có ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) 2 2 1 4 5 0 z z z − − + = . T ừ ñ ó ta suy ra ph ươ ng trình có 3 nghi ệ m là 1 2 3 1 ; 2 ; 2 2 z z i z i = = − = + Ví dụ 4) Giải phương trình: 3 2 2 5 3 3 (2 1) 0 z z z z i − + + + + = biết phương trình có nghiệm thực Giải: Vì ph ươ ng trình có nghi ệ m th ự c nên 3 2 2 5 3 3 0 2 1 0 z z z z  − + + =  + =  1 2 z − ⇒ = tho ả mãn cả hai ph ương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) 2 2 1 3 3 0 z z z i + − + + = . Giải phương trình ta tìm ñược 1 ; 2 ; 1 2 z z i z i = − = − = + www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 Ví dụ 5) Giải phương trình: 3 2 (1 2 ) (1 ) 2 0 z i z i z i + − + − − = biết phương trình có nghiệm thuần ảo: Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có ( ) ( ) 3 2 2 3 2 (1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0 bi i bi i bi i b b b b b i + − + − − = ⇔ − + − + + − = 2 3 2 0 1 2 2 0 b b b z i b b b  − =  ⇔ ⇒ = ⇒ =  − + + − =   là nghi ệ m, t ừ ñ ó ta có ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) 2 (1 ) 2 0 z i z i z − + − + = . Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: 2 z z = . Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( ) 2 a bi a bi + = + 2 2 2 a b a ab b  − = ⇔  = −  Gi ải hệ trên ta tìm ñược 1 3 ( , ) (0;0),(1;0),( ; ) 2 2 a b = − ± . V ậy phương trình có 4 nghi ệm là 1 3 0; 1; 2 2 z z z i = = = − ± Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức: Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: 1 2 2 z i z i + − = − + và 5 z i− = Giải: Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có 1 ( 2) 2 (1 ) ( 1) | 5 x y i x y i x y i  + + − = − + −   + − =   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 2) (1 ) 1 5 x y x y x y  + + − = − + −  ⇔  + − =   2 3 10 6 4 0 y x x x =  ⇔  − − =  1, 3 x y ⇔ = = hoặc 2 6 , 5 5 x y = − = − . Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện. Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn ; 1 ( 2 ) i m z m R m m i − = ∈ − − a) Tìm m ñể 1 . 2 z z = b)Tìm m ñể 1 4 z i − ≤ c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. Giải: a) Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (1 ) 2 (1 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 4 i m m mi i m m m m m m z m mi m mi m mi m m − − − − − − + + − + = = = − + − + − − − + www.MATHVN.com www.MATHVN.com 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 m m i m m m i z i m m m m m + + + = = + ⇒ = − + + + + + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 . 1 2 1 2 2 1 m z z m m m + ⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ± + b) Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 1 4 m m m z i i i m m m m   − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤   + + + +   ⇔ 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 16 1 (1 ) (1 ) 16 1 6 15 15 m m m m m m m m m ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤ + + + c) Ta có ( ) 2 max 2 2 2 1 1 1 | | 1 0 1 1 m z z m m m + = = ≤ ⇒ = ⇔ = + + Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện 2 4 5 z i− − = Tìm số phức z có modun lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) 2 2 2 4 5 x y − + − = Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính 5 R = D ễ dàng có ñược (2 5 sin ;4 5 cos ) M α α + + . Modun s ố phức z chính là ñộ dài véc tơ OM. Ta có |z| 2 = 2 2 2 (2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos ) OM α α α α = + + + = + + Theo BDT Bunhiacopxki ta có ( ) 2 2 2 (sin 2cos ) (1 4) sin cos 5 α α α α + ≤ + + = 5 sin 2cos 5 α α ⇒ − ≤ + ≤ 5 3 5 z⇒ ≤ ≤ . Vậy min 1 2 | | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2 5 5 z x y z i α α α α − − = ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = + max 1 2 | | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6 5 5 z x y z i α α α α = ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = + Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện 2 4 2 z i z i − − = − .Tìm số phức z có moodun nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 4 0 x y x y x y − + − = + − ⇔ + − = Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn s ố phức z là ñường thẳng y=-x+4 Ta có 2 2 2 2 2 2 (4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2 z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . Từ ñó suy min 2 2 2 2 2 2 z x y z i = ⇔ = ⇒ = ⇒ = + Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: a) 3 z z i = − b) 3 4 z z i = − + c) 4 z i z i − + + = www.MATHVN.com www.MATHVN.com 4 Giải: Gọi z=x+yi a) Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 2 2 9 9 3 9( ( 1) ) ( ) 8 64 z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − = V ậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm 9 3 (0; ), 8 8 I R = b) T ừ giả thiết ta có ( ) 2 2 2 2 3 (4 ) 6 8 25 x y x y x y + = − + − ⇔ + = . Vậy tập hợp các ñiểm M là ñường thẳng 6x+8y-25=0 c) Gi ả sử z =x+yi thì 4 z i z i − + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 4 x y x y ⇔ + − + + + = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 16 1 4 2 1 4 1 16 8 1 1 x y x y x y y x y x y x y   + + ≤ + + ≤   ⇔ ⇔   + − = +   + − = − + + + + +   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 16(1) 1 16 4 4 8 4 8 16 1(2) 3 4 4 4(3) x y x y x y x y y y y y y  + + ≤  + + ≤     ⇔ + + + = + + ⇔ + =     ≥ − ≥ −     Ta th ấ y các ñ i ể m n ằ m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñ i ể m n ằ m trên (Elip) luôn tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n y >-4. V ậ y t ậ p h ợ p ñ i ể m M là Elip có pt 2 2 1 3 4 x y + = . Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức ( ) 1 3 2 i z ω = + + biết rằng số phức z thoả mãn: 1 z − ≤ 2. Giải: Đặ t ( ) , z a bi a b R = + ∈ Ta có 1 z − ≤ 2 ( ) 2 2 1 4 a b ⇔ − + ≤ (1) T ừ ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 3 1 3 2 1 3 2 3 3 3( 1) x a b x a b i z x yi i a bi y a b y a b ω   = − + − = − +   = + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔   = + − = − +     T ừ ñó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 4 1 16 x y a b   − + − ≤ − + ≤   do (1) V ậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn ( ) ( ) 2 2 3 3 16 x y − + − ≤ ; tâm ( ) 3; 3 I , bán kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho số 2 2 z z − + có acgumen bằng 3 π . Giải: www.MATHVN.com www.MATHVN.com 5 Giả sử z=x+yi, thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x yi x yi x yi z z x yi x y − + + +     − + −     = = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 x y yi x x x y y i x y x y x y − + + + − + + − = = + + + − + − + (1) Vì s ố ph ứ c 2 2 z z − + có acgumen bằng 3 π , nên ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 cos sin 3 3 2 2 x y y i i x y x y π π τ + −   + = +     − + − + v ớ i 0 τ > ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 3 2 2 x y x y y x y τ τ  + − =  − +  ⇒   =  − +  T ừ ñó suy ra y>0 (1) và 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 3 4 (2) 4 3 3 3 y y x y x y x y     = ⇔ + − = ⇔ + − =     + −     .T ừ (1) và (2) suy ra t ập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức: Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu 1 z ≤ thì 2 1 1 2 z iz − ≤ + Giải: Gi ả s ử z =a+bi (a, b ∈ R) thì 2 2 2 2 1 1 z a b a b = + ≤ ⇔ + ≤ . Ta có 2 2 2 2 4 (2 1) 2 1 2 (2 1) 2 (2 ) (2 ) a b z a b i iz b ai b a + − − + − = = + − + − + .Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương v ới 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 (2 1) 1 4 (2 1) (2 ) 1 (2 ) a b a b b a a b dpcm b a + − ≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒ − + Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện 3 3 1 2 z z + ≤ . Chứng minh rằng: 1 2 z z + ≤ Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức 1 2 , z z bất kỳ ta có 1 2 1 2 z z z z + ≤ + Ta có 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3z z z z z z z z z z z z z z     + = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +         Đặt 1 z z + =a ta có ( )( ) 2 3 3 2 0 2 1 0 a a a a dpcm − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒ www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]... = 2 - 4i e) z - 2 z = -1 - 8i d) z 2 - z = 0 f) ( 4 - 5i ) z = 2 + i Trang 104 Trần Só Tùng Số phức 4 ỉ z+iư g) ç ÷ =1 è z -iø h) i) 2 z - 3z = 1 - 12i k) ( 3 - 2i ) 2 l) [(2 - i ) z + 3 + i ](iz + o) 3 + 5i = 2 - 4i z ( )( 2+i - 1 + 3i z= 1- i 2+i ( z + i ) = 3i ỉ 1 ư 1 m) z ç 3 - i ÷ = 3 + i 2 ø 2 è 1 )=0 2i ( ) p) ( z + 3i ) z2 - 2 z + 5 = 0 ) q) z2 + 9 z2 - z + 1 = 0 r) 2 z3 - 3z2 + 5z + 3i - 3... b) z - z + 1 - i = 2 c) z - z + 2i = 2 z - i d) 2i.z - 1 = 2 z + 3 e) 2i - 2 z = 2 z - 1 f) z + 3 = 1 g) z + i = z - 2 - 3i h) k) 2 + z = i - z l) z + 1 < 1 z - 3i =1 z+i i) z - 1 + i = 2 m) 1 < z - i < 2 Bài 2 Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) z + 2i là số thực b) z - 2 + i là số thuần ảo c) z z = 9 VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức. .. i) 2 (3 + 2i) 2 - (2 + i ) 2 3+ i (1 - 2i )(1 + i ) q) 3 e) f) ( 2 - 3i )( 3 + i ) i) b) ( 2 + i ) - ( 3 - i ) 3 ỉ2 5 ư c) ( 2 - 3i ) - ç - i ÷ è3 4 ø 2 - 3i 4 + 5i c) ( 3 + 4i ) f) ( 2 - i ) 2 6 g) (-1 + i )3 - (2i )3 h) (1 - i)100 i) (3 + 3i )5 Bài 3 Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: z+i iz - 1 Bài 4 Phân tích thành nhân tử, với a, b, c Ỵ R: a) z2 - 2 z + 4i b) a)... = 16sin5 t - 20sin3 t + 5sin t b) cos 5t = 16 cos5 t - 20 cos3 t + 5 cos t c) sin 3t = 3cos2 t - sin3 t d) cos3t = 4 cos3 t - 3 cos t Trang 107 Số phức Trần Só Tùng II ÔN TẬP SỐ PHỨC Bài 1 Thực hiện các phép tính sau: 6 ỉ -1 + i 3 ư ỉ 1 - i 7 ư b) ç ÷ +ç ÷ è 2 ø è 2 ø a) (2 - i ) (-3 + 2i)(5 - 4i ) 16 ỉ1+ i ư ỉ 1- i ư c) ç ÷ +ç ÷ è 1- i ø è1+ i ø 8 d) 6 3 + 7i 5 - 8i + 2 + 3i 2 - 3i e) (2 - 4i)(5 + 2i)... của các số phức sau: a) ( 4 – i ) + ( 2 + 3i ) – ( 5 + i ) ỉ1 ư b) 2 - i + ç - 2i ÷ è3 ø ỉ3 1 ư ỉ 5 3 ư e) ç + i ÷ - ç - + i ÷ è4 5 ø è 4 5 ø ỉ 1 ư ỉ 3 ư 1 d) ç 3 - i ÷ + ç - + 2i ÷ - i 3 ø è 2 è ø 2 3 -i 2 -i 3 h) g) 1+ i i 1 + 2i m a+i a l) k) i m a-i a 1+ i a+i b o) p) 2-i i a Bài 2 Thực hiện các phép toán sau: 2 a) (1 + i ) - (1 – i ) ỉ1 ư d) ç - 3i ÷ è2 ø 2 1+ i 1- i m) 3 (1 + 2i) 2 - (1 - i) 2... f) í ï ï ỵ z - 12 5 = z - 8i 3 z-4 =1 z -8 Trang 105 z -1 =1 z -i z - 3i =1 z +i Số phức ì z 2 + z 2 = 5 + 2i ï g) í 1 2 ïz1 + z2 = 4 - i ỵ Trần Só Tùng ì ï z - 2i = z ï z - i = z -1 ỵ h) í ìz 2 + z 2 + 4 z z = 0 ï1 2 1 2 z1 + z2 = 2i ï ỵ i) í Bài 8 Giải các hệ phương trình sau: ì1 1 1 1 ï + = - i d) í x y 2 2 ï x 2 + y 2 = 1 - 2i ỵ ìx + y = 5 - i b) í 2 2 ỵ x + y = 8 - 8i ì x 2 + y 2 = -6 ï e) í 1... + ( 2 - i 5 ) 6 ỉ -1 + i 3 ư ỉ -1 - i 3 ư c) ç ÷ +ç ÷ è 2 ø è 2 ø 6 ỉi+ 3 ư ỉi- 3 ư e) ç ÷ +ç ÷ è 2 ø è 2 ø 4 c) (1 + i 3 ) + (1 - i 3 ) 6 5 n ỉ -1 + i 3 ư ỉ -1 - i 3 ư d) ç ÷ +ç ÷ è 2 ø è 2 ø 5 6 Bài 26 Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z - 2 + 3i = nhỏ nhất 3 Tìm số phức z có môđun 2 Bài 27 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau: 4i 2 + 6i ; (1 - i)(1... -1 3-i a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông Bài 28 Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) z3 + (2 - 2i)z2 + (5 - 4i)z - 10i = 0 b) z3 + (1 + i )z2 + (i - 1)z - i = 0 c) z3 + (4 - 5i )z2 + (8 - 20i )z - 40i = 0 Bài 29 Cho đa thức P( z) = z3 + (3i - 6)z2 + (10 - 18i)z + 30i Trang 110 Trần Só Tùng Số phức. .. z4 + iz3 - (1 + 2i)z2 + 3z + 1 + 3i, với z = 2 + 3i 1 b) B = ( z - z2 + 2 z3 )(2 - z + z2 ), với z = ( 3 - i) 2 Bài 4 Tìm các số thực x, y sao cho: x -3 y -3 b) + =i a) (1 - 2i ) x + (1 + 2 y )i = 1 + i 3+i 3-i 1 c) (4 - 3i ) x 2 + (3 + 2i ) xy = 4 y 2 - x 2 + (3 xy - 2 y 2 )i 2 Bài 5 Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: b) 3 + 4i c) 1 + i a) 8 + 6i ỉ1+ i ư e) ç ÷ è 1- i ø i) 2 3 -i ỉ 1- i 3 ư f)... ç ÷ ç 3 -i ÷ è ø k) 1 + 1 2 g) 1 2 i 2 2 l) -2 (1 + i 3 ) i 1+ i 3 2 2 Bài 6 Tìm các căn bậc ba của các số phức sau: a) -i b) –27 c) 2 + 2i Bài 7 Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau: a) 2 - i 12 b) 3 + i Bài 8 Giải các phương trình sau: a) z3 - 125 = 0 c) -2 i b) z 4 + 16 = 0 d) 7 - 24i h) i, –i m) 1 1 + 1+ i 1- i d) 18 + 6i d) -7 + 24i c) z3 + 64i = 0 d) z3 - 27i = 0 e) z7 - 2iz4 - iz3 - 2 = 0 . CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC VỀ SỐ PHỨC Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó. Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai” Trang 2 26. Cho các số phức: z 1 = 1 + 2i, z 2 = 3 – 4i. Xác định số phức. là số ảo thì |z| = 1. 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số