Đang tải... (xem toàn văn)
E \\Latex\\Luan van Anh\\LV da sua\\Luanvandasua dvi ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thị Ngọc Ánh SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI TRỰC HƯỚNG PHỦ LỚP MỎNG LIÊ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thị Ngọc Ánh SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI TRỰC HƯỚNG PHỦ LỚP MỎNG LIÊN KẾT TRƯỢT Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - 2014 z Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Phạm Chí Vĩnh, thầy tận tình hướng dẫn em suốt trình thực luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô môn Cơ học thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học trang bị kiến thức giúp em hoàn thành luận văn Các kết luận văn trình bày thảo luận xemina "Sóng ứng dụng" mơn Cơ học, khoa Toán - Cơ - Tin học Em nhận góp ý bổ ích từ thầy cô thành viên xemina Cuối cùng, em cảm ơn gia đình động viên tạo điều kiện tốt để em hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2014 Vũ Thị Ngọc Ánh z1 Mục lục Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt 1.1 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 1.1.1 Các phương trình 1.1.2 Dạng ma trận phương trình 1.1.3 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 10 1.2 1.3 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba 13 1.2.1 Phương trình tán sắc xấp xỉ 13 1.2.2 Ví dụ số 17 1.2.3 Trường hợp đẳng hướng 18 Cơng thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba 19 Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng không nén phủ lớp mỏng trực hướng không nén liên kết trượt 2.1 2.2 2.3 24 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 25 2.1.1 Các phương trình 25 2.1.2 Dạng ma trận phương trình 26 2.1.3 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 27 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba sóng Rayleigh 29 2.2.1 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba 29 2.2.2 Trường hợp đẳng hướng ngang 33 Công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba 34 KẾT LUẬN 37 z2 MỞ ĐẦU Cấu trúc gồm lớp vật liệu mỏng gắn với lớp vật liệu dày, mơ hình hóa bán không gian bị phủ lớp mỏng, sử dụng rộng rãi công nghệ đại Theo Makarov cộng [9], sau phủ xong, tính chất học lớp vật liệu mỏng bị thay đổi Vì thế, để sử dụng kết cấu có hiệu cần đánh giá tính chất học lớp mỏng sau phủ Trong nhiều phương pháp đánh giá, phương pháp sóng mặt sử dụng rộng rãi nhất, khơng gây phá hủy vật liệu, thời gian kiểm tra ngắn Trong số sóng mặt sử dụng, sóng mặt Rayleigh cơng cụ thuận tiện [6] Vì phương trình tán sắc dạng sóng Rayleigh sở lý thuyết để từ xác định tính chất học lớp mỏng từ số liệu thực nghiệm, nên mục tiêu nghiên cứu sóng Rayleigh truyền cấu trúc Sử dụng giả thiết lớp mỏng, tác giả rút phương trình tán sắc xấp xỉ sóng Rayleigh cách sử dụng điều kiện biên hiệu dụng: thay toàn ảnh hưởng lớp lên bán không gian điều kiện biên mặt biên phân chia Điều kiện biên rút cách thay lớp mỏng theo lý thuyết Kirchhoff Tiersten [20], hay theo lý thuyết Mindlin Achenbach [2], khai triển Taylor ứng suất mặt lớp vật liệu theo độ dày h lớp mỏng Niklasson cộng [13], Rokhlin & Huang [15, 16], Benveniste [3], Steigmann [17], Ting [22], Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32] Tiersten [20], Bovik [4], Trần Thanh Tuấn [24] giả thiết lớp bán không gian đẳng hướng rút phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai (chúng khơng trùng nhau) Steigmann [17] giả thiết lớp mỏng đẳng hướng ngang có ứng suất dư, bán khơng gian đẳng hướng Tác giả tìm phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai sóng Trong đó, Wang cộng [33] xét bán khơng gian đẳng hướng phủ lớp dẫn điện, thu phương trình tán sắc xấp xỉ bậc Gần đây, [31] lớp bán không gian giả thiết đàn hồi trực hướng, [32] chúng giả thiết đàn hồi trực hướng có ứng suất trước Các tác giả tìm phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cho hai trường hợp z3 Trong tất cơng trình nêu trên, lớp bán không gian giả thiết gắn chặt Trong thực tế, sau thời gian sử dụng, lớp (mỏng) thường bị bóc tách khỏi bán khơng gian Khi đó, liên kết chúng liên kết trượt Cho đến nay, có phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba tìm Achenbach Keshava [2] cho trường hợp liên kết trượt, lớp bán khơng gian giả thiết đẳng hướng Tuy nhiên, phương trình tán sắc phụ thuộc vào hệ số trượt, có nguồn gốc từ lý thuyết Mindlin, mà việc sử dụng cần phải tránh nhấn mạnh Touratier [23], Muller Touratier [12], Stephen [18] Mục tiêu luận văn xây dựng phương trình tán sắc xấp xỉ (bậc ba) sóng Rayleigh truyền bán khơng gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng trực hướng với liên kết trượt Lớp bán không gian giả thiết nén không nén Để đạt mục đích này, luận văn sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng: thay toàn ảnh hưởng lớp lên bán không gian điều kiện biên hiệu dụng (dạng ma trận) Nó liên kết (một cách tuyến tính) véctơ chuyển dịch với véctơ ứng lực mặt biên bán không gian (xem Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32]) Sự truyền sóng Rayleigh bán khơng gian phủ lớp (mỏng) sau xét sóng Rayleigh truyền bán không gian, không bị phủ lớp mỏng, mà biên chịu điều kiện biên hiệu dụng thu Để thu điều kiện biên hiệu dụng, cần thiết lập mối liên hệ (tuyến tính) véctơ chuyển dịch với véctơ ứng lực biên phân chia lớp bán không gian, gọi "điều kiện biên tiền hiệu dụng" Điều kiện biên tiền hiệu dụng rút cách sử dụng phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi khai triển Taylor véctơ chuyển dịch-ứng lực (thành lập từ véctơ chuyển dịch véctơ ứng lực) biên lớp (được giả thiết tự ứng suất) theo độ dày lớp (xem Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32]) Khi liên kết bán không gian lớp gắn chặt, véctơ chuyển dịch-ứng lực liên tục qua biên phân chia bán không gian lớp Điều kiện biên hiệu dụng suy trực tiếp từ điều kiện biên tiền hiệu dụng cách z4 thay véctơ chuyển dịch, ứng lực lớp biên véctơ chuyển dịch, ứng lực bán không gian biên bán không gian Khi liên kết bán không gian lớp trượt: thành phần chuyển dịch pháp ứng suất pháp (vng góc với biên phân chia lớp bán không gian) liên tục qua biên phân chia, thành phần ứng suất tiếp khơng đó, thành phần chuyển dịch ngang (song song với biên phân chia) bị gián đoạn Khi véctơ chuyển dịch-ứng lực khơng liên tục qua biên phân chia điều kiện biên hiệu dụng không suy dễ dàng từ điều kiện biên tiền hiệu dụng trường hợp liên kết gắn chặt Để vượt qua khó khăn này, ta sử dụng biểu diễn nghiệm sóng Rayleigh để khử thành phần chuyển dịch ngang lớp khỏi điều kiện biên tiền hiệu dụng Cuối ta thu hệ thức liên hệ (tuyến tính) thành phần chuyển dịch pháp với thành phần ứng suất pháp lớp biên phân chia Từ (cùng với điều kiện thành phần ứng suất tiếp không biên bán không gian), ta thu điều kiện biên hiệu dụng cách thay thành phần chuyển dịch pháp thành phần ứng suất pháp lớp biên phân chia đại lượng tương ứng bán không gian Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt Chương 2: Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi trực hướng không nén phủ lớp mỏng trực hướng không nén liên kết trượt Các kết luận văn là: Thiết lập phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi trực hướng, nén khơng nén Tìm điều kiện biên hiệu dụng bậc ba cho hai trường hợp: (i) lớp bán không gian đàn hồi trực hướng nén được, liên kết trượt với (ii) lớp bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được, liên kết trượt với Tìm phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cho hai trường hợp nêu Xây dựng công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba z5 Các ví dụ số phương trình tán sắc cơng thức vận tốc sóng xấp xỉ thu có độ xác cao Các kết chương công bố báo sau: Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh, Rayleigh waves in an orthotropic half-space coated by a thin orthotropic layer with sliding contact, International Journal of Engineering Science 75 (2014) 154–164 Cần nhấn mạnh rằng, phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi công cụ thuận tiện để rút điều kiện biên tiền hiệu dụng mà cịn sử dụng cho nhiều tốn khác, chẳng hạn để rút biểu diễn Stroh [19], để nghiên cứu phản xạ khúc xạ sóng [1] Khi mơi trường khơng nén (hay nói chung chịu ràng buộc đấy), để thu phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi cần khử áp suất thủy tĩnh (các nhân tử Lagrange) khỏi phương trình Do trình đến phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi không nén phức tạp khó khăn so với trường hợp nén z6 Chương Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt Trong chương này, ta nghiên cứu lan truyền sóng Rayleigh theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 , bán không gian đàn hồi trực hướng nén vô hạn x2 ≥ phủ lớp mỏng đàn hồi trực hướng nén có độ dày h x2 = -h _ _ c, ij c, ij x3 x1 x2 Hình 1.1: Mơ hình bán khơng gian trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén Ở đây, ta giả thiết trục vật liệu lớp bán không gian trùng Một hệ tọa độ Descartes Ox1 x2 x3 sử dụng cho trục trùng với trục vật liệu (hình 1.1) Giả thiết lớp mỏng z7 bán không gian liên kết trượt với Chú ý đại lượng giống bán không gian lớp có ký hiệu phân biệt dấu gạch ngang liên quan đến lớp 1.1 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 1.1.1 Các phương trình Xét trạng thái biến dạng phẳng, thành phần chuyển dịch có dạng sau: ui = ui (x1 , x2 , t), u¯i = u¯i (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 = u¯3 ≡ (1.1) ui , u¯i thành phần vectơ chuyển dịch, t thời gian Do vật liệu đàn hồi trực hướng nén được, mối liên hệ thành phần ứng suất σij thành phần gradien chuyển dịch (ui,j = ∂ui /∂xj ) (xem [21]) : σ ¯11 = c¯11 u¯1,1 + c¯12 u¯2,2 , σ ¯22 = c¯12 u¯1,1 + c¯22 u¯2,2 , (1.2) σ ¯12 = c¯66 (¯ u1,2 + u¯2,1 ) số đàn hồi c¯11 , c¯22 , c¯12 , c¯66 phải thỏa mãn bất đẳng thức sau (điều kiện cần đủ để lượng biến dạng xác định dương): c¯kk > 0, k = 1, 2, 6, c¯11 c¯22 − c¯212 > (1.3) Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động lớp có dạng [21]: 11,1 + 12,2 = uă1 , (1.4) 12,1 + 22,2 = uă2 vi l mật độ khối lượng lớp, dấu chấm " " biểu thị đạo hàm theo biến thời gian t 1.1.2 Dạng ma trận phương trình Từ (1.2)3 , ta có: u¯1,2 = −¯ u2,1 + z8 σ¯12 c¯66 (1.5) Từ (1.2)2 , suy ra: u¯2,2 = − c¯12 u¯1,1 + σ ¯22 c¯22 c¯22 (1.6) Theo (1.4)1 : (1.7) 12,2 = 11,1 + uă1 o hm (1.2)1 theo x1 , ta được: (1.8) σ ¯11,1 = c¯11 u¯1,11 + c¯12 u¯2,21 Đạo hàm (1.6) theo x1 sử dụng kết vào (1.8), dẫn tới: σ ¯11,1 = c¯11 c¯22 − c¯212 c¯12 u¯1,11 + σ¯22,1 c¯22 c¯22 (1.9) Thay (1.9) vào (1.7), ta có: σ ¯12,2 = − c¯11 c¯22 − c¯212 c¯12 u1,11 22,1 + uă1 c22 c22 (1.10) Theo (1.4)2 suy ra: (1.11) σ ¯22,2 = −¯ σ12,1 + uă2 Nh vy, ta ó biu din c o hàm theo hướng vng góc với lớp u¯1,2 , u¯2,2 , σ ¯12,2 , σ ¯22,2 qua đạo hàm theo hướng song song với lớp đạo hàm theo t đại lượng u¯1 , u¯2 , σ¯12 , σ¯22 tham số vật liệu qua phương trình (1.5), (1.6), (1.10), (1.11) Từ phương trình (1.5), (1.6), (1.10), (1.11) ta rút phương trình ma trận (toán tử) sau: (1.12) ξ = Mξ, ξ= U¯ = h ¯ U T¯ ,M = u¯1 u¯2 iT , T¯ = z9 M1 M2 M3 M4 h , σ ¯12 σ ¯22 iT x=x(0) E0x x=x(0) h x000 (0) = − 6E3 + 6E2x x0 (0) + 3E1xx x02 (0) + 3E1x x00 (0) i + 3E0xx x0 (0)x00 (0) + E0xxx x03 (0) /E0x z 19 x=x(0) (1.64) ... đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt Chương 2: Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng không nén phủ lớp mỏng trực hướng không nén liên kết trượt Các kết luận. .. [18] Mục tiêu luận văn xây dựng phương trình tán sắc xấp xỉ (bậc ba) sóng Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng trực hướng với liên kết trượt Lớp bán không gian giả thiết... Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt Trong chương này, ta nghiên cứu lan truyền sóng Rayleigh theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 , bán