Dinhlycuoicungcuafermat chua xac dinh

CÂU CHUYỆN HẤP DẪN VỀ BÀI TOÁN FERMAT Amir D Aczel Nguyên tác : FERMAT'S LAST THEOREM Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem Nxb : Four Walls Eight Windows New York/London Người dịch : Trần văn Nhung                 Đỗ trung Hậu                    Nguyễn kim Chi Nxb Giáo dục 2001     Mục lục Lời giới thiệu Lời người dịch Lời giới thiệu Nhà xuất Lời nói đầu tác giả Cambridge, Anh, tháng 6/1993 Pierre de Fermat Các số nguyên tố Một dòng ghi tiếng lề sách Tháng 7,8 /1993 - Phát kẽ hở quan trọng Khoảng sông Tigris sông Euphrates, Circa,     2000 năm trước Cơng Ngun Sự giàu có đại lượng bình phương "Plimpton 322" Hội Số học cổ đại - Những người sùng bái     thề giữ bí mật "Con số tất cả" Bình phương cạnh huyền tổng     bình phương hai cạnh Các số nguyên, phân số ? Di sản Pytagoras Dây thừng, sông Nile đời mơn hình học Định lý ? "Eureka ! Eureka !" Alexandria - phần Ai Cập thuộc HyLạp, khoảng năm 250 Truyện "Một nghìn đêm lẻ" Một thương gia thời Trung Cổ "Tỷ số vàng" Các nhà "Cosa" học Cơng tìm kiếm tri thức cổ thời kỳ Phục Hưng Bình phương, lập phương lũy thừa bậc cao Người nghiên cứu thuật toán Bảy cầu thành phố Konigsberg Gauss - Thiên tài vĩ đại người Đức Số ảo Sophie Germain Sao chổi rực sáng năm 1811 Một người học trò Những nhà tốn học Napoleon Hàm số tuần hồn Chứng minh Lamé Những số lý tưởng Một giải thưởng khác Hình học phi Euclid Thành cơng bi kịch Một nạn nhân khác Các iđêan Dedekind Kết thúc kỷ Các dạng modula Một liên quan bất ngờ với bánh vừng vòng Chứng minh Faltings Vị tướng Hy Lạp huyền bí mang tên khôi hài Các đường cong elliptic Một giả thuyết kỳ lạ đưa Tôkyô, Nhật Bản, đầu thập niên 1950 Một khởi đầu đầy hứa hẹn "Anh nói ?" Giả thuyết Shimura Mưu đồ phản bội "Một tập dành cho bạn đọc quan tâm" Sự dối trá Sâu rừng Đen, mùa thu 1984 Định lý Ribet Ước mơ cậu bé Ngọn lửa cũ lại bừng cháy Chia toán lớn thành toán nhỏ Bài báo Flach Một người bạn tốt Khâu cuối tốn Cơng việc Một kẽ hở lớn phát Nỗi đau khổ Việc diễn sau Có Fermat chứng minh Chú giải Lời tác giả LỜI GIỚI THIỆU     Độc giả có tay sách đặc biệt: vừa sách Toán, lại vừa tiểu thuyết mà nhân vật Bài tốn Phécma Ai biết, Bài toán Phécma toán khó tiếng tốn học, "nhân vật chính" Tốn học suốt ba kỷ Tác giả thông qua đời nhân vật để mơ tả cho độc giả tranh toàn cảnh lịch sử phát triển nhiều ngành toán học ba kỷ qua Sự lựa chọn tác giả thật hợp lý, lẽ Bài toán Phécma "con gà đẻ trứng vàng Toán học đại" Những cố gắng nhà toán học nhằm giải Bài toán Phécma làm nẩy sinh nhiều lý thuyết Những lý thuyết cịn với tốn học, Bài tốn Phécma giải xong Chứng minh "Định lý cuối Phécma" mà Andrew Wiles trình bày chứng minh khó, vận dụng hầu hết kiến thức nhiều ngành tốn học đại Nói Ken Ribet, có khoảng phần nghìn nhà tốn học hiểu chứng minh Vậy mà sách viết cho đối tượng rộng rãi: cho u thích tốn học! Cơng việc khó khăn hồn thành cách tài tình: tác giả làm cho người đọc hiểu đường dẫn đến chứng minh A Wiles, chí hiểu tư tưởng chứng minh Đây "tiểu thuyết lịch sử" (toán học) mà bạn đọc đọc lại nhiều lần Mỗi trình độ tốn học bạn nâng cao bước, bạn lại hiểu sâu điều sách Và điều quan trọng sách làm bạn thêm yêu toán học, ngành khoa học cần thiết cho sống, mà chứa đầy chất thơ, đầy phiêu lưu, chí âm mưu nữa!     Mong có nhiều sách này, sách góp phần lơi bạn trẻ vào khoa học Vì thế, trân trọng giúp đỡ Liên minh doanh nghiệp Mỹ giáo dục Việt Nam, Nhà xuất "Bốn tường Tám cửa sổ" tạo điều kiện để bạn trẻ Việt Nam có sách này, khác tương lai Cần nói thêm rằng, việc dịch sách "vừa toán, vừa tiểu thuyết" việc làm khó khăn Nó địi hỏi người dịch phải "vừa nhà văn, vừa nhà toán học" Bản dịch Giáo sư Trần Văn Nhung cộng xem thành cơng     Xin trân trọng giới thiệu sách bạn đọc.        GS TSKH HÀ HUY KHOÁI     LỜI NGƯỜI DỊCH     Trong lịch sử tốn học khơng thể có toán khác so sánh với Bài toán Phécma (Fermat) Nó phát biểu cách đơn giản đến mức học sinh trung học sở hiểu được, việc tìm lời giải thách thức trí tuệ nhân loại biết hệ suốt ba kỷ rưỡi vừa qua người hoàn tất chặng đường cuối vào năm 1993 GS.TS Andrew Wiles Ông sinh Cambridge (Anh), nhận tiến sĩ Trường Đại học Tổng hợp Cambridge sau sang giảng dạy nghiên cứu toán học Trường Đại học Tổng hợp Princeton (Hoa Kỳ) Cũng đây, sau năm lao động liên tục, bền bỉ khốc liệt ông giải xong Bài toán Phécma     Ở Việt Nam có nhiều người (làm tốn khơng làm tốn), nói riêng em học sinh thầy cô giáo phổ thông hay bạn sinh viên giảng viên đại học, cao đẳng, thích thú tìm hiểu, theo dõi trình giải siêu tốn thực tế có số người thử giải nó!     Theo chúng tơi biết nước ta, số nhà tốn học có uy tín làm việc lĩnh vực gần gũi với Bài tốn Phécma, hình học đại số, giải tích Điơphăng nắm lược đồ phương pháp chứng minh Andrew Wiles     Chúng bày tỏ cảm ơn tới bà Barbara Stewart, Chủ tịch Liên minh doanh nghiệp Mỹ giáo dục Việt Nam, người tặng sách gốc tiếng Anh tích cực giúp đỡ việc liên hệ với Nhà xuất "Bốn tường Tám cửa sổ" cho phép dịch sách sang tiếng Việt in Việt Nam Đồng thời, xin cảm ơn Nhà xuất Giáo dục, ông Giám đốc Ngơ Trần ái, Phó Giám đốc PGS.TS Vũ Dương Thụy, Phó Giám đốc TS Nguyễn Đăng Quang, bà Nguyễn Minh Lý (biên tập cho sách) TS Phạm Phu thuộc Nhà xuất Giáo dục tích cực cộng tác, giúp đỡ để dịch sách xuất Việt Nam Tập thể dịch giả đặc biệt cảm ơn GS TSKH Hà Huy Khoái (Viện Tốn học, TT KHTN CNQG) đọc, góp ý cho thảo viết lời giới thiệu cho sách     Do trình độ chun mơn tốn học tiếng Anh người dịch sách hạn chế, mong bạn đọc cảm thông giáo cho sai sót để lần tái sau hoàn thiện     Xin cảm ơn độc giả!                                            TM Tập thể dịch giả     Xuân Canh Thìn       GS TS KH Trần Văn Nhung           2000                     Bộ Giáo dục Đào tạo                                        49 Đại Cồ Việt, Hà Nội                                        ĐT: 04-8692479 Fax: 04-8693243                                        E-mail: tvnhung@moel.edu.vu     LỜI GIỚI THIỆU CỦA NHÀ XUẤT BẢN     Năm 1993, hội nghị khoa học nước Anh, nhà toán học đến từ thành phố Princeton (Hoa Kỳ) làm chấn động dư luận Ông giải vấn đề tốn học huyền bí, điều mà hàng ngàn nhà tốn học bó tay suốt 350 năm qua : ông chứng minh Định lý cuối Fermat (Phécma) báo dài 200 trang Việc chứng minh định lý ngốn ơng năm trời sau phải thêm năm để ơng hồn thiện chứng minh Định lý cuối Fermat câu chuyện người, lịch sử văn hóa nằm ẩn đằng sau thành tựu khoa học vang dội     Được viết học giả Pháp kỷ thứ XVII, định lý phát biểu lên nghe đơn giản: bình phương số số ngun phân tích thành tổng hai bình phương hai số nguyên khác chẳng hạn, năm bình phương (25) bốn bình phương (16) cộng ba bình phương (9) - điều tương tự không xảy lũy thừa bậc ba hay lũy thừa bậc cao Sau Fermat qua đời, nhiều nhà toán học dành đời để cố chứng minh định lý       Định lý có nguồn gốc từ thời xa xưa Khoảng 2000 năm trước Công nguyên, người Babylon tìm cách phân tích số phương thành tổng hai số phương Vào kỷ VI trước Cơng ngun, nhà tốn học Hy Lạp Pythagoras khái quát điều thành định lý tiếng ông định lý mở đường cho Fermat     Mấy kỷ sau Fermat qua đời, vào năm 1955, với bước tiến xa, hai nhà toán học Nhật Bản đưa đoán tuyệt vời khả có mối liên hệ hai ngành toán học khác hẳn 40 năm sau cơng trình họ giúp cho Andrew Wiles, nhà toán học thành phố Princeton, chứng minh Định lý cuối Fermat     Cuốn sách kết hợp triết học với môn khoa học khó, cộng với văn phong kiểu phóng mang màu sắc khảo cứu nhằm dựng nên câu chuyện thực trí tuệ nhân loại     NXB Bốn tường Tám cửa sổ     LỜI NÓI ĐẦU CỦA TÁC GIẢ       Tháng năm 1993 Tom Schulte, người bạn cũ Califomia đến Boston thăm Chúng ngồi quán cà phê tràn đầy ánh nắng phố Newbury với ly đồ uống lạnh trước mặt Tom ly dị vợ anh mang vẻ mặt trầm ngâm Anh quay phía tơi "Dẫu sao", anh nói, "Định lý cuối Fermat chứng minh" Lại trị đùa mới, tơi nghĩ Tom lại nhìn vỉa hè     20 năm trước, Tom hai người bạn chung phịng, hai chúng tơi sinh viên toán Trường Đại học Tổng hợp California Berkeley Định lý cuối Fermat đề tài thường bàn luận Chúng thường tranh luận hàm số, tập hợp, trường số, tơpơ Ban đêm chẳng sinh viên tốn ngủ sớm tập khó Điều làm cho khác biệt với sinh viên lĩnh vực khác Đôi chúng tơi phát điên đầu với tốn học cố chứng minh định lý định lý để nộp hạn vào sáng ngày hơm sau Cịn Định lý cuối Fermat sao? Chẳng tin chứng minh Một định lý khó suốt 350 năm người cố gắng chứng minh Chúng phát điều lý thú kết nỗ lực nhằm chứng minh định lý làm cho tất môn toán học phát triển Nhưng cố gắng thất bại, hết người đến người khác Định lý cuối Fermat trở thành biểu tượng cho mục tiêu mà người đạt tới Thậm chí có lần tơi dùng tính không chứng minh định lý để tạo lợi cho Chuyện vài năm sau, Berkely, tơi tiếp tục chương trình thạc sĩ sau tốt nghiệp đại học Một gã sinh viên sau đại học ngành tốn khơng biết trình độ tốn học tơi tỏ ý muốn giúp tơi làm tốn gặp Ký túc xá Quốc tế nơi hai chúng tơi "Tơi làm tốn học lý thuyết.", - nói, "nếu gặp vấn đề tốn học mà anh khơng thể giải được, hỏi tôi, đừng ngại." Lúc chuẩn bị tơi nói "Hm, Có vấn đề mà anh giúp tơi " Anh ta quay lại hỏi: "Gì vậy? Chắc chắn tơi giúp Hãy cho tơi biết việc nào." Tơi với lấy tờ giấy ăn mở - lúc chúng tơi phịng ăn Tơi chậm rãi viết lên tờ giấy:     Xn + Yn = Zn khơng có nghiệm ngun n lớn     "Tôi cố gắng chứng minh điều từ tối hơm qua", tơi nói đưa cho tờ giấy ăn Mặt tái cắt không giọt máu "Định lý cuối Fermat", lầm bầm "Đúng vậy" tơi nói, "anh làm tốn học lý thuyết mà Anh giúp tơi ?" Sau lần tơi chẳng cịn nhìn thấy đến gần       "Tơi nói chuyện nghiêm túc đây", Tom nói uống cạn ly "Andrew Wiles người vừa tháng trước chứng minh Định lý cuối Fermat Cambridge Hãy nhớ lấy tên Anh cịn nghe thấy nhiều lần" Tối hơm Tom bay trở California Mấy tháng sau rõ Tom không đùa, dõi theo chuỗi kiện Trước tiên Wiles ca ngợi Thế kẽ hở chứng minh ơng bị phát Sau Wiles thêm năm trời để cuối trình làng chứng minh hồn hảo Nhưng qua tìm hiểu câu chuyện thành công thấy Tom sai chỗ Andrew Wiles tên mà cần phải lưu tâm tới Tôi giới cần thấy rõ chứng minh Định lý cuối Fermat cơng lao nhà tốn học Wiles đương nhiên người đáng ca ngợi nhất, vinh quang thuộc Ken Ribet, Barry Mazur, Goro Shimura, Yutaka Taniyama, Gerhard Frey, nhiều người khác Cuốn sách kể lại toàn câu chuyện, kể điều thực xảy đằng sau thành cơng này, chưa lọt vào tầm ống kính phương tiện thơng tin đại chúng ánh sáng đèn chiếu Đây câu chuyện đề cập đến dối trá, mưu đồ phản bội     Amir D.Aczel       "Có lẽ tốt tơi trình bày kinh nghiệm làm tốn giống việc vào lâu đài tối om Bạn bước vào phịng thứ tối đen mực Bạn bước loạng choạng, va đập vào đồ đạc phịng Dần dần, bạn biết vị trí thứ Và cuối cùng, sau khoảng sáu tháng bạn lần công tắc đèn bật lên Ngay thứ soi tỏ bạn thấy rõ đâu Thế bạn bước vào phịng lại bóng tối "     Đó cách mà Giáo sư Andrew Wiles miêu tả trình năm trời ông miệt mài làm việc để khám phá điều huyền bí vĩ đại tốn học * *    *     Sáng sớm tinh mơ ngày 23/6/1993, Giáo sư John Conway tới tòa nhà xỉn màu Khoa Tốn Trường Đại học Tổng hợp Princeton Ơng mở cửa lớn bước vội vào phòng làm việc Suốt tuần nay, trước đến thăm nước Anh Andrew Wiles người bạn đồng nghiệp ông, liên tiếp tin tức bán tín bán nghi lan truyền cộng đồng toán học giới Conway cảm thấy có điều quan trọng xảy Nhưng ơng khơng đốn điều Ơng bật máy vi tính, ngồi xuống nhìn chằm chằm vào hình 53 phút sáng, thư điện tử ngắn gọn từ bờ bên Đại Tây Dương lên: "Wiles chứng minh Định lý cuối Fermat"     Cambridge, Anh, tháng 6/1993     Cuối tháng 6/1993, Giáo sư Andrew Wiles đến nước Anh Ông trở lại Trường Đại học Tổng hợp Cambridge, nơi ông nhận tốt nghiệp từ 20 năm trước Giáo sư John Coates, nguyên người hướng dẫn Wiles làm luận án tiến sĩ Cambridge, tổ chức hội thảo lý thuyết Iwasawa - chuyên ngành đặc biệt lý thuyết số - ngành học mà Wiles viết luận án am hiểu rộng Coates hỏi người sinh viên cũ có muốn trình bày hội nghị thuyết trình ngắn khoảng chủ đề anh tự chọn không Anh chàng Wiles nhút nhát - người trước hãn hữu anh thừa nhận vơ tình "có lẽ chút bóng gió "     Khâu cuối toán     Vào ngày tháng năm 1993, Andrew Wiles ngồi phịng làm việc với tâm trạng khó chịu Hình số đường cong elliptic vốn lánh xa anh chẳng lại gần chút Anh chưa thể chứng minh chúng modula Wiles cần chúng phải modula anh chứng minh tất đường cong elliptic (bán ổn định) modula Định lý cuối Fermat suy từ Làm điều hầu hết đường cong elliptic bán ổn định kết toán học lớn lao lý thuyết này, chưa đủ để anh đạt mục đích Tạm ngừng công việc nghiên cứu căng thẳng mà chưa đến đâu để nghỉ ngơi chút ít, Wiles xem lại báo cũ người thầy đáng kính Barry Mazur, Trường Đại học Harvard Mazur có khám phá đặt móng cho lý thuyết số Những kết ông truyền cảm hứng cho nhiều chuyên gia lĩnh vực này, kể Ribet Frey, người mà cơng trình họ mở đường cho cố gắng Wiles Bài báo Mazur mà Wiles đọc lại mở rộng lý thuyết iđêan khởi đầu Kummer Dedekind, tiếp tục nhà toán học thứ ba kỷ XIX - Feldinand Gotthold Eisenstein (1823- 1852) Mặc dù sớm, Eisenstein có cống hiến quan trọng cho phát triển lý thuyết số Thậm chí, Gauss nói, người ta trích dẫn: "Chỉ có ba nhà tốn học thời đại: Archimedes, Newton Eisenstein"       Bài báo Mazur iđêan Eisenstein có dịng làm cho Wiles ý Mazur nói chuyển từ tập đường cong elliptic đến tập khác Phép chuyển phải thực gắn liền với số nguyên tố Điều Mazur nói có nghĩa ta làm việc với đường cong elliptic dựa số ngun tố biến đổi chúng cho ta nghiên cứu chúng cách thay số số nguyên tố Phép chuyển thành điều mà Wiles cần Anh bị bế tắc khơng thể chứng minh lớp định đường cong elliptic dựa số nguyên tố modula Và đến đây, Mazur nói ơng chuyển chúng thành đường cong dựa số nguyên tố 5, mà đường cong dựa số Wiles chứng minh modula Như vậy, phép chuyển thành thủ thuật cuối Điều cho phép biến đổi đường cong elliptic dựa số 3  khó nghiên cứu thành đường cong dựa số biết modula Một lần nữa, ý tưởng tuyệt diệu nhà toán học khác lại giúp Wiles chiến thắng trở ngại tưởng vượt qua Andrew Wiles cuối hoàn tất việc     Wiles thu xếp thời gian thật tuyệt vời Vào tháng sau, tức tháng Sáu, thầy hướng dẫn cũ anh John Coates chủ trì hội nghị lý thuyết số Cambridge Tất nhà tốn học có tên tuổi lĩnh vực lý thuyết số có mặt Cambridge vốn thành phố quê hương anh nơi anh học chương trình sau đại học Phải nơi lý tưởng để anh trình bày chứng minh Định lý cuối Fermat? Lúc Wiles phải chạy đua với thời gian Anh cần xếp lại tất việc làm để chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama đường cong elliptic bán ổn định Điều có nghĩa đường cong Frey khơng tồn Và đường cong Frey khơng tồn có nghĩa khơng tồn nghiệm phương trình Fermat với n >2  Định lý cuối Fermat chứng minh Bài viết đầy đủ Andrew Wiles dài 200 trang Anh hoàn tất lúc để kịp bay sang nước Anh Khi thuyết trình cuối anh kết thúc, anh trở nên bật kỳ tích trước tràng pháo tay vang dội, ống kính camera bừng sáng đơng đảo phóng viên         Công việc     Bây lúc tổng duyệt lại tồn chứng minh Thơng thường, kết toán học hay phát minh khoa học muốn cơng nhận phải gửi đăng tạp chí có uy tín Các nhà khoa học thường cơng bố cơng trình tạp chí chuẩn mực Các tạp chí có trách nhiệm gửi báo đến chuyên gia thuộc lĩnh vực phù hợp để họ xem xét nội dung báo, xác định xem kết nghiên cứu có khơng báo có đáng cơng bố hay khơng Những cơng trình khoa học đăng tạp chí có uy tín ví bánh mì bơ giới khoa học Quyền lợi thăng tiến, hay thông thường, bậc lương việc tăng lương nhà khoa học hoàn toàn phụ thuộc vào báo cơng bố tạp chí danh tiếng       Nhưng Andrew chọn phương pháp khác Thay cho việc gửi chứng minh đến tạp chí tốn học chun ngành hầu hết nhà khoa học thường làm, anh trình bày hội nghị Có thể có hai lý Suốt năm dài tìm chứng minh, Wiles ln ln phải giữ bí mật Nếu anh gửi đăng chứng minh tạp chí trước tiên viết anh gửi tới phản biện tạp chí lựa chọn số người biên tập viên tiết lộ bí mật giới Cũng Wiles lo ngại biết chứng minh anh họ đánh cắp cách hay cách khác gửi đăng thành cơng trình họ Thật đáng tiếc điều xảy khoa học Lý thứ hai Wiles muốn làm cho thính giả thêm hồi hộp theo dõi anh trình bày chứng minh Cambridge     Mặc dù kết trình bày hội nghị, cơng trình phải gửi xin ý kiến phản biện Những bước chứng minh phải xem xét lại thật kỹ lưỡng, tức là, chuyên gia lý thuyết số phải kiểm tra lại chứng minh Wiles, dòng một, để khẳng định anh thực đạt điều mà anh muốn chứng minh     Một kẽ hở lớn phát     Bài báo 200 trang Wiles gửi cho nhiều chuyên gia hàng đầu lý thuyết số Ngay lập tức, số chuyên gia quan tâm nhìn chung nhà tốn học cho phép chứng minh Tuy nhiên, họ cịn phải chờ lời phán nhà chuyên môn "Ồ, tin chứ!", Ken Ribet trả lời hỏi xem anh có tin chứng minh Wiles khơng "Tơi khơng biết chun gia nói sau họ đọc xong chứng minh không thấy sử dụng Hệ thống Euler"       Một số chuyên gia chọn để làm phản biện cho chứng minh Wiles Nick Katz, người bạn anh Princeton Giáo sư Nick Katz giành trọn hai tháng, tháng tháng năm 1993, khơng làm hết ngồi việc nghiên cứu tồn chứng minh Hàng ngày, Katz dính vào bàn làm việc cẩn trọng đọc dịng, ký hiệu tốn học, phép suy diễn logic để bảo đảm chứng minh hoàn hảo chấp nhận nhà toán học họ đọc chứng minh Hàng ngày, Katz gửi thư điện tử hai lần cho Andrew Wiles (vì anh xa Princeton vào mùa hè đó) hỏi: "Anh muốn nói dịng trang này?" "Tôi không hiểu cách phép suy diễn lại suy từ phép suy diễn nêu phần trên", v.v Wiles trả lời lại thư điện tử vấn đề địi hỏi phải giải thích chi tiết anh gửi fax câu trả lời cho Katz     Một hôm, duyệt xong khoảng hai phần ba thảo dài lê thê Wiles, Katz thấy có vấn đề Những câu trả lời trước Wiles làm cho Katz hoàn toàn thỏa mãn lần khơng Để trả lời câu hỏi Katz, Wiles gửi thư điện tử Katz phản hồi ngay: "Tôi không hiểu, Andrew ạ" Vì vậy, lần Wiles phải gửi fax để làm rõ mối liên hệ logic Katz khơng thỏa mãn Đơn giản có điều khơng ổn Đây chi tiết mà Wiles Katz xem xét kỹ lưỡng hồi mùa xuân Wiles giảng "chuyên đề" Họ cố gắng khắc phục khó khăn kẽ hở chứng minh Wiles qua mặt hai người Nếu nghiên cứu sinh khác mà tiếp tục khóa học nghiên cứu sinh góp phần giúp hai người phát kẽ hở     Khi mà Katz phát nhầm lẫn nhà toán học khác giới nhận vấn đề khơng ổn chứng minh Wiles Đơn giản khâu không thấy sử dụng Hệ thống Euler khơng làm Khơng có Hệ thống Euler, xem tổng qt hóa cơng trình Flach Kolyvagin, khơng có Cơng thức số lớp Khơng có Cơng thức số lớp khơng thể "đếm" biểu diễn Galois đường cong elliptic để so sánh với dạng modula giả thuyết ShimuraTaniyama không chứng minh Một giả thuyết ShimuraTaniyama mà chưa chứng minh chưa có chứng minh cho Định lý cuối Fermat Nói cách ngắn gọn, thiếu vắng Hệ thống Euler làm cho điều sụp đổ giống nhà giấy     Nổi đau khổ      Andrew Wiles trở lại Princeton vào mùa thu năm 1993 Anh bối rối, bực mình, cáu giận, thất vọng buồn bã Wiles hứa hẹn với giới chứng minh Định lý cuối Fermat anh chưa hoàn tất Trong toán học hầu hết lĩnh vực khác, thực chất khơng thể có giải thưởng "loại hai" "khuyến khích" Wiles chán nản quay gác xép cố gắng hoàn tất chứng minh "Lúc này, anh giấu giới điều bí mật", Nick Katz nhớ lại, "và nghĩ anh cảm thấy bực bội điều đó" Các đồng nghiệp cố giúp Wiles, kể người sinh viên cũ anh Richard Taylor giảng dạy Cambridge đến Princeton để cố giúp anh hoàn tất chứng minh     "Bảy năm đầu làm việc mình, tơi ln hào hứng với phút một", Wiles nhớ lại, "tôi đối mặt mà không ngần ngại chút với vấn đề khó khăn đến mức tưởng vơ vọng Nhưng làm tốn theo cách phơ bày hết chắn phong cách Tôi không tình lặp lại lần nữa" Và kinh nghiệm cay đắng dằng dai bám lấy anh Hết kỳ nghỉ phép, Richard Taylor quay Cambridge mà Wiles chưa nhìn thấy đoạn kết đâu Đồng nghiệp nhìn anh với ánh mắt động viên, hy vọng, xen lẫn thông cảm người xung quanh thấu hiểu nỗi đau khổ anh Họ muốn biết Họ muốn nghe tin tức tốt lành không đồng nghiệp dám hỏi anh hoàn tất chứng minh đến đâu Ngồi Khoa Tốn anh, giới hồi hộp đợi chờ Vào buổi tối ngày tháng 12 năm 1993, Andrew Wiles gởi thư điện tử đến nhóm tin tức máy tính Sci.math, tổ chức mà nhiều nhà lý thuyết số nhà toán học khác tham gia Nội dung thư sau:       Xét trạng việc nghiên cứu giả thuyết "ShimuraTaniyama" Định lý cuối Fermat, tơi muốn thơng báo tóm tắt tình hình Trong trình duyệt lại chứng minh, có nhiều vần đề nảy sinh hầu hết giải quyết, song cịn trường hợp riêng tơi chưa giải Tơi tin hồn tất việc ngày gần cách sử dụng ý tưởng giải thích thuyết trình tơi Cambridge Vì cịn nhiều việc phải làm thảo nên chưa thể đưa cơng bố Trong chuyên đề Princeton bắt đầu vào tháng tơi trình bày đầy đủ cơng trình     Andrew Wiles     Việc diễn sau       Nhưng Andrew Wiles lạc quan sớm Cuối chuyên đề mà anh dự kiến trình bày Princeton chưa đưa giải pháp Sau năm trôi qua kể từ thắng lợi ngắn ngủi Cambridge, Andrew Wiles gần từ bỏ hy vọng muốn qn chứng minh cịn khiếm khuyết     Buổi sáng thứ Hai, ngày 19 tháng năm 1994, Wiles ngồi bàn làm việc Trường Đại học Tổng hợp Princeton với chồng tài liệu bày la liệt xung quanh Anh định xem lại phép chứng minh lần cuối trước xếp lại từ bỏ hy vọng chứng minh Định lý cuối Fermat Wiles cần phải tìm cho điều ngăn cản anh xây dựng Hệ thống Euler Anh muốn biết, dù để thỏa mãn tò mò cá nhân mình, anh thất bại Tại lại khơng có Hệ thống Euler đó? Anh muốn xác định xác chi tiết kỹ thuật làm cho toàn vấn đề đổ bể Anh thấy dù phải từ bỏ chứng minh chí anh phải có câu trả lời sai     Wiles nghiên cứu báo nằm trước mặt mình, tập trung cố gắng cao độ khoảng chừng hai mươi phút Và lúc anh thấy xác lại khơng thể hồn tất cơng việc Cuối anh hiểu sai khâu "Đó thời điểm quan trọng toàn đời nghiên cứu tôi", sau anh kể lại cảm giác "Đột nhiên, hồn tồn bất ngờ đến mức khó tin, tơi có khám phá tuyệt vời Khơng có điều mà tơi làm " Chính lúc giọt nước mắt trào Wiles nghẹt thở xúc động Điều Wiles phát vào thời điểm định mệnh "tuyệt diệu không tả nổi, thật đơn giản tao bắt đầu chuyển sang không tin" Wiles phát điều làm cho Hệ thống Euler khơng dùng chứng minh lại điều làm cho phương pháp Lý thuyết hoành Iwasawa mà anh bỏ bẵng năm trước lại áp dụng Wiles nhìn chằm chằm vào báo lúc lâu Chắc chắn mơ, anh nghĩ Điều tuyệt diệu đến mức khó tin Sau anh nói điều tuyệt vời cách giản đơn sai Nhưng phát quan trọng tuyệt vời đến cần phải     Wiles đi lại lại phòng suốt Anh khơng rõ tỉnh hay mơ Chốc chốc anh trở lại bàn làm việc để xem xem điều phát kỳ diệu anh có cịn khơng - cịn Anh nhà ngủ tâm trạng đầy suy tư điều vừa khám phá Biết đâu sáng mai anh lại phát lỗi bước lập luận Một năm chịu sức ép từ giới, năm mà hết cố gắng đến cố gắng khác thất bại làm lung lay niềm tin Wiles Anh trở lại bàn làm việc trường vào buổi sáng hôm sau viên ngọc kỳ lạ mà anh vừa tìm thấy hơm qua cịn nằm đó, đợi chờ anh       Wiles viết cách chi tiết chứng minh có sử dụng phương pháp Lý thuyết hoành Iwasawa Cuối cùng, thứ đặt vào chỗ Cách tiếp cận mà anh sử dụng năm trước Anh nhận điều thấy đường Flach Kolyvagin mà anh chọn không phù hợp Bản thảo sẵn sàng để gửi Trong tâm trạng phấn chấn, Andrew Wiles ngồi vào bàn máy tính gửi thơng điệp điện tử qua mạng internet đến nhiều nhà toán học khắp giới: "Hãy đợi bưu phẩm phát chuyển nhanh vài ngày tới"       Như hứa với bạn Richard Taylor, người từ Anh sang để giúp anh sửa chữa chứng minh, báo với phần hiệu đính Lý thuyết Iwasawa mang tên hai người, Wiles đạt kết thực sau Taylor nước Trong tuần sau đó, nhà tốn học nhận hiệu đính Wiles cho báo cáo mà anh trình bày Cambridge họ duyệt kỹ tất chi tiết Khơng tìm thấy lỗi lầm Lần này, theo cách thơng lệ, Wiles gửi cơng trình hồn tất cơng bố Thay làm Cambridge năm rưỡi trước, anh gửi báo đến tạp chí tốn học chun ngành, Annals of Mathematics, nơi mà báo nhiều nhà toán học xem xét kỹ Quá trình đánh giá kéo dài vài tháng lần người ta khơng tìm thấy sai sót Số tạp chí Tháng năm 1995 đăng nguyên văn báo cáo Wiles trình bày Cambridge với hiệu đính Taylor Wiles [24] Đến đây, Định lý cuối Fermat hoàn toàn chứng minh     Có Fermat chứng minh được?     Andrew Wiles mô tả chứng minh "phép chứng minh kỷ XX" Quả vậy, Wiles sử dụng cơng trình nhiều nhà toán học kỷ XX Anh sử dụng kết nhà toán học tiền bối Tất yếu tố công trình Wiles bắt nguồn từ kết người khác, nhiều người khác Vì vậy, chứng minh Định lý cuối Fermat thực thành tựu đơng đảo nhà tốn học kỷ XX nhà toán học trước thời đại Fermat Theo Wiles, Fermat có chứng minh đầu ơng viết lời ghi tiếng bên lề trang sách Nhận định Wiles giả thuyết Shimura-Taniyama không tồn tận kỷ XX Nhưng liệu Fermat có cách chứng minh khác khơng?     Câu trả lời có lẽ khơng Nhưng điều khơng hồn tồn chắn Chẳng biết Mặt khác, Fermat sống 28 năm kể từ ông viết định lý lên lề trang sách, song khơng ơng nói thêm điều định lý Có thể ơng biết khơng thể chứng minh định lý này; ơng lầm cho phương pháp giảm vô hạn mà sử dụng chứng minh cho trường hợp đơn giản với n=3 áp dụng cho trường hợp tổng quát; đơn giản ông quên định lý chuyển sang làm việc khác Từ trái sang phải : Các nhà toán học John Coates, Andrew Wiles, Ken Ribet, Karl Rubin chúc mừng chứng minh Wiles Cambridge sau thuyết trình lịch sử       Cuối cùng, việc chứng minh định lý hoàn tất vào thập niên 1990 địi hỏi nhiều kiến thức tốn học hẳn điều mà Fermat biết Bản chất sâu xa định lý không chỗ có q trình lịch sử xuyên suốt chiều dài văn minh nhân loại, mà lời giải cuối tốn có nhờ áp dụng hợp tất lĩnh vực tốn học Chính hợp lĩnh vực tốn học tách rời cuối chinh phục định lý Và Andrew Wiles người thực công đoạn quan trọng cuối định lý việc chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama, yếu tố cần thiết để chứng minh Định lý cuối Fermat, tồn chứng minh có cơng lao nhiều người Và tất đóng góp cộng lại dẫn đến lời giải cuối Không có cơng trình Ernst Kummer khơng có lý thuyết iđêan, khơng có iđêan khơng thể có cơng trình Barry Mazur Khơng có Mazur khơng có giả thuyết Frey khơng có giả thuyết quan trọng với đóng góp Serre khơng có chứng minh Ribet từ giả thuyết Shimura-Taniyama suy Định lý cuối Fermat Và có lẽ khơng thể có chứng minh Định lý cuối Fermat giả thuyết Yutaka Taniyama đề xướng vào năm 1955 Hội nghị Tơk-Nikko, mà sau Goro Shimura chi tiết hóa hồn thiện Hay chứng minh khơng theo quy trình trên?       Tất nhiên, Fermat nêu lên giả thuyết uyên bác đến mức hợp hai ngành toán học khác Hay ơng làm điều đó? Chẳng có chắn Chúng ta biết cuối định lý chứng minh chứng minh kiểm tra kiểm tra lại đến chi tiết nhỏ nhiều nhà toán học khắp giới Nhưng chứng minh phức tạp đại nên khơng có nghĩa tồn chứng minh đơn giản Trên thực tế, báo mình, Ribet hướng chứng minh Định lý cuối Fermat mà khơng cần chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama Và Fermat biết nhiều tốn học "hiện đại", cơng cụ đầy hiệu lực, mà kết nghiên cứu ông bị thất lạc (thực tế người ta chưa tìm thấy Diophantus Bachet mà lề trang sách Fermat viết khẳng định tốn học tiếng mình) Vì vậy, liệu Fermat có "chứng minh tuyệt diệu" cho định lý hay khơng, chứng minh mà khơng thể ghi hết lề trang sách, điều mãi bí mật ơng Gerd Faltings, người có cách tiếp cận hồn tồn khác với Định lý cuối Fermat Vào năm 1993, Andrew Wiles thất bại chưa tìm lời giải hồn chỉnh cho tốn, nhiều người ngại lúc Faltings tìm lời giải để vượt lên Ardrew Wiles Andrew Wiles vào thời điểm quan trọng buổi thuyết trình thứ ba Cambridge (tháng 6/1993), mà tất người nhận thấy rõ lời giải toán Fermat tầm tay Ken Ribet quán cà phê tiếng, nơi ơng hồn thành chứng minh từ giả thuyết Shimura-Taniyama suy Định lý cuối cuùg Fermat cần phải     CHÚ GIẢI     E.T Bell, Những người đàn ơng làm tốn , New York: Simon Schuster, 1937, trang 56     Barry Mazur, "Lý thuyết số người châm chọc", Tạp chí American Mathematical Monthly, Số 98, 1991, trang 593       Vào năm 1934, Otto Neugebauer lưu ý giới khoa học viên gạch Plimpton 322 từ tốn học Babylon phát triển lên trình độ cao Tài liệu tiếng Anh vấn đề tìm sách ơng có tên gọi "Khoa học xác thời cổ đại", NXB ĐHTH Princeton, 1957     Thực tế, Cantor xa Ơng giả thiết bậc vơ hạn số vô tỷ bậc vô hạn số hữu tỷ Nghĩa ông cho không tồn bậc vô hạn vừa cao bậc vô hạn số hữu tỷ lại vừa thấp bậc vô hạn số vô tỷ Khẳng định biết đến với tên gọi Giả thuyết Continuum cơng trình nghiên cứu Kurt Godel Paul Cohen kỷ thứ XX người ta chứng minh giả thuyết phạm vi cịn lại tốn học Giả thuyết Continuum đứng riêng (cùng với vài cách phát hiểu lại tương đương), đối lập với toàn cịn lại thuộc tốn học tính đắn tương ứng chúng hồn tồn độc lập với Đây chân lý kỳ dị tảng toán học       D Wells, Những số gây tò mò đầy lý thú, London: Penguin Books, 1987, trang 81     C Boyer, Lịch sử toán học, New York: Wiley, 1968, trang     Được in lại (tái XB) sách B Mazur     Ian Stewart, Các số tự nhiên , New York: Basic Books, 1995, trang 140     Michael Mahoney, Sự nghiệp toán học Pierre de Fermat , in lần thứ 2, NXB ĐHTH Princeton, 1994, trang     10 Harold M Edwards, Định lý cuối Fermat , New York: Springer-Verlag, 1977, trang 61 -73     11 Nhiều điều hội bí mật biết đến cách rộng rãi nhờ sách Paul R Halmos, "Nicolas Bourbaki", Scientific American, số 196, tháng 5/1957, trang 88-97       12 André Weil, Tuyển tập cơng trình , Tập I-III, Paris: Springer-Verlag, 1979     13 Phỏng theo "Định lý cuối Fermat Số học đại" Kenneth A Ribet Brian Hayes, American Scientist , số 82, tháng 3-4/1994, trang 144-156     14 Một tài liệu nhập môn hay lĩnh vực sách Joseph H Silverman John Tate, Các điểm hữu tỷ đường long elliptic , New York: Springer-Verlag, 1992     15 Phần lớn tư liệu đời Yutaka Taniyama lấy từ sách Goro Shimura "Yutaka Taniyama thời đại ơng: Sưu tập đời riêng", Tạp chí Hội Toán học London, Số 21 , 1989, trang 184-196       16 Được in lại tạp chí tiếng Nhật Sugaku, tháng 5/1956, trang 227-231     17 Như Shimura thông báo với Serre giả thuyết Đây lần ơng nói giả thuyết với người khác hoàn toàn tin Serre cơng nhận người khởi xướng     18 André Weil, Tuyển tập cơng trình , trích đoạn từ Tập III, trang 450       19 André Weil, "Uber die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen" (Về việc xác định chuỗi Đi-ric-lê phương trình hàm), Math Annalen , Số 168, 1967, trang 165172 (tiếng Đức)     20 Bức thư Weil gửi cho Lang với nhiều chi tiết trình tự kiện mơ tả đây, có hội thoại thư từ riêng, in sách Serge Lang "Một vài nét lịch sử Giả thuyết Shimura-Taniyama", Notices of the American Mathematical Society, tháng 11/1995, trang 1301-1307 Công lao Lang chỗ báo ông "Hồ sơ Taniyama-Shimura" phổ biến giới toán học từ 10 năm cuối làm cho Goro Shimura cơng nhận cách hồn tồn xứng đáng       21 Jean-Pierre Serre, "Thư gửi ngài J.F Mestre", in lại Những xu hướng hình học đại số - số học , Providence : Hội Toán học Mỹ, 1987, trang 263-268     22 Barry Mazur, "Các đường cong modula iđêan Eisenstein", Paris, Pháp: The Mathematical Publications of I.H.E.S., số 47, 1977, trang 33-186     23 Trích dẫn Barry Mazur      24 Bài báo quan trọng số báo Andrew Wiles, "Các đường cong elliptic modula Định lý cuối Fermat", Annals of Mathematics, số 142, 1995, trang 443-551 , bắt đầu với khẳng định ghi lề sách tiếng La tinh Fermat định lý mình: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi Hanc marginis exiguitas non caperet Pierre de Fermat Tạp chí chí bán hết trước ngày xuất lần định giá 14 đôla Mỹ/cuốn    LỜI TÁC GIẢ     Trong chuẩn bị sách này, tơi trích dẫn nhiều tư liệu lịch sử từ nguồn khác Tài liệu gốc hoàn chỉnh mà tơi thích thú sách E.T Bell "Những người đàn ơng làm tốn" (dù tơi khơng thích nhan đề có phân biệt giới tính thế, thiếu xác có hai nhà toán học nhắc đến sách phụ nữ; sách viết năm 1937) Rõ ràng nhà viết lịch sử toán học khác trích dẫn thơng tin từ sách Bell, không nêu tên họ Tất nguồn tư liệu quan trọng mà sử dụng đề cập phần giải Ngồi ra, tơi tham khảo báo có giá trị Jacquelyn Savani, Trường Đại học Tổng hợp Princeton (Tuần san Princeton, 6/9/1993) Tôi cám ơn bà gửi cho tơi băng ghi chương trình phát đài BBC nói Định lý cuối Fermat     Tôi xin cảm ơn C.J Mozzochi cung cấp số ảnh nhà toán học tham gia vào trình chứng minh Định lý cuối Fermat Tôi chân thành cảm ơn giáo sư Kenneth A Ribet, Trường Đại học Tổng hợp California Berkeley, dành cho vấn bổ ích để thu thông tin quan trọng cơng trình nghiên cứu ơng dẫn đến chứng minh Định lý cuối Fermat Tôi biết ơn sâu sắc giáo sư Goro Shimura Trường Đại học Tổng hợp Princeton, người dành nhiều thời gian để giúp tơi có tư liệu quan trọng cơng trình nghiên cứu ơng giả thuyết thiếu ông chứng minh Định lý cuối Fermat Tôi vô cảm ơn giáo sư Gerd Faltings Viện Max Planck Bonn giáo sư Gerhard Frey Trường Đại học Tổng hợp Essen, Đức, dành cho vấn đầy ấn tượng lời góp ý sâu sắc Tôi cảm ơn giáo sư Barry Mazur Trường Đại học Tổng hợp Harvard giải thích cho tơi khái niệm quan trọng Hình học số học Nếu cịn sai sót sách hồn tồn lỗi     Tôi cảm ơn John Oakes, người xuất sách này, khích lệ ủng hộ Tôi cảm ơn Jill Ellyn Riley Kathryn Belden Nhà xuất "Bốn tường Tám cửa sổ" Và cuối cùng, biết ơn vợ tôi, Debra     Amir D Aczel Tiến sĩ Amir D Aczel tốt nghiệp đại học ngành Toán sau nhận thạc sĩ khoa học Trường Đại học Tổng hợp California Berkeley Hiện ông phó giáo sư Thống kê học Trường Đại học Bentley thành phố Waltham thuộc bang Masachusetts Ông viết cho nhiều tạp chí có Tạp chí Nhà Kinh tế Mỹ, Tạp chí Tính tốn Thống kê Tạp chí Dự báo Ơng tác giả nhiều sách HẾT