PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM (Đề thi gồm có 2 trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN 7 Ngày thi 24/2/2023 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 MƠN TỐN Ngày thi: 24/2/2023 Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm có trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm) Câu Cho tam giác ABC có A = 100; B = 40 So sánh cạnh tam giác ta được: A AB = AC BC B AB = AC BC C AB = AC = BC D AB AC = BC Câu Cho đa thức P( x) = ax + bx + c Trong a, b, c số thỏa mãn a b c = = (a 0) Tính P(−2) − 3.P(1) : a A −6 B −15 D D 15 C D Câu 3.Với −3 x −1 A = x + + −1 − x bằng: A −2 x − B x + Câu Tính diện tích tam giác có độ dài cạnh 1cm kết quả: A 3cm2 B cm C cm D cm D 2 + − 19 43 2023 là: Câu Kết phép tính: A = 3 3− + − 19 43 2023 2− A B C Câu Cho a − b = a −3,5; b 3,5 Giá trị biểu thức A B Câu Giá trị x thỏa mãn đẳng thức A −2023 3a − b 3b − a là: + 2a + 2b − C x − x −1 x x +1 là: + = + 2021 2022 2023 2024 B −2022 C 2023 Câu Tổng hệ số bậc chẵn thu gọn đa thức f ( x) = ( x2 − x −1) A 22022 D B 22023 Câu Hai chữ số tận 20242023 là: C D 2022 2023 ằng: D A 64 B 76 C 16 Câu 10 Biết ( x, y ) cặp số thỏa mãn ( −2 x − ) A −1 2022 B D 24 + y + Khi x + y D −9 C Câu 11 Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC Kẻ tia Ax qua M Qua B, C kẻ đường thẳng vng góc với Ax, cắt Ax H K So sánh BH CK A BH CK B BH = 2CK Câu 12 Tính x + y biết A 32 Câu 13 Cho D BH = CK C 100 D 64 C 120 D 153 x x = = 16 y y B 136 x x + y = 60 Tính x + y = ? = y 11 A 50 Câu 14 Cho C BH CK B 60 x y = x − y = Tính tổng bình phương hai số x, y A 41 B 81 C D 25 Câu 15 Cho tam giác MNP có M = 80; N = 50 So sánh độ dài NP MP là: A NP MP B NP = MP C NP MP D Không so sánh Câu 16 Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch x1 = 2; y1 = 8; y2 − x2 = 30 Tính x2 y2 A 20 -5 B -5 20 C -20 D -20 Câu 17 Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch x1 = 2; x2 = y1 + y2 = 46 Tính x y A 10 B 15 C 20 D 24 Câu 18 Có 2023 đường thẳng cắt điểm O Hỏi có cặp góc đối đỉnh A 4086462 Câu 19 Cho B 4090506 C 4040 D 4094552 x = xy = Khi x + y bao nhiêu? y A 97 B 81 C 153 D 13 Câu 20 Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE DBE cắt K Khi BKC bằng: ( ) A BAC + BDC : ( ) B BAC − BDC : C BAC + BDC ( ) D BAC + BDC : II PHẦN TỰ LUẬN (14 điểm) Bài 1: (3,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: A = 30.47.329 − 5.145.212 54.614.97 − 12.85.75 Cho 21x = 14 y = z x − y + 3z = 51 Tính giá trị biểu thức B = 2x − y + z + Bài 2: (3,0 điểm) Cho a, b, c số thực khác , thỏa mãn: a +b −c b +c −a c + a −b = = c a b a +b −c b +c −a c + a −b + + c a b Tính độ dài cạnh tam giác biết rằng, chu vi tam giác 62 cm, cộng độ dài hai đường cao tam giác kết tỉ lệ với 5;7;8 Tính P = Bài 3: (3,0 điểm) Tìm giá trị nguyên x; y biết: xy + x − y − = Tìm x , biết x + x+1 + x+2 + x+3 = 240 Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân ABE, ACF vuông B C Có AH vng góc với BC H , tia đối tia AH lấy điểm I cho AI = BC Chứng minh rằng: ABI = BEC IC vng góc với BF Các điểm D, P theo thứ tự di chuyển cạnh AB tia đối tia CA cho BD = CP Chứng minh đường trung trực DP qua điểm cố định Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + b+c c+a a+b HƯỚNG DẪN GIẢI I TRẮC NGHIỆM 1-B 2-B 11 - D 12 - B 3-D 13 - D 4–C 14 - A 5-A 15 - A 6-B 16 - B 7-C 17 - C 8-A 18 - B 9-D 19 - C 10 - D 20 - D II TỰ LUẬN Bài 1: (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: A = 30.47.329 − 5.145.212 54.614.97 − 12.85.75 Cho 21x = 14 y = z x − y + 3z = 51 Tính giá trị biểu thức B = 2x − y + z + Lời giải A = 30.47.329 − 5.145.212 54.614.97 − 12.85.75 = 2.3.5.214.329 − 5.25.75.212 2.33.214.314.314 − 3.22.215.75 = = 2.Từ 21x = 14 y = z ta 215.330.5 − 217.5.75 215.331 − 217.3.75 ( )=5 215.3 ( 330 − 22.75 ) 215.5 330 − 22.75 x y z x y 3z x − y + 3z 51 = = tiếp tục biến đổi = = = = = 3 21 − + 21 17 Do x = 6; y = 9; z = 21 Vậy B = 2x − y + z + = 25 = Bài 2: (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực khác , thỏa mãn: a +b −c b +c −a c + a −b Tính = = c a b a +b −c b +c −a c + a −b + + c a b Tính độ dài cạnh tam giác biết rằng, chu vi tam giác 62 cm, cộng độ dài hai đường cao tam giác kết tỉ lệ với 5;7;8 P= Lời giải Nếu a + b + c a +b−c b+c −a c + a −b a +b−c +b+c −a +c + a −b a +b+c = = = = = c a b c+a+b a+b+c a +b−c b +c −a c + a −b Nên P = + + = 1+1+1 = c a b a+b−c a +c −b b+c−a Nếu a + b + c = = −2; = −2; = −2 c b a a +b −c b +c −a c + a −b Nên P = + + = −6 c a b Gọi độ dài ba cạnh tam giác a, b, c với a 0, b 0, c ; đường cao tương ứng với cạnh , hb , hc Theo đề ta có a + b + c = 62 Theo để ta lại có ( + hb ) : ( hb + hc ) : ( hc + ) = : : Biến đổi điều thành + hb hb + hc hc + 2ha + 2hb + 2hc + hb + hc hb hc = = = = = = = =k 0 5+7 +8 10 suy = 3k ; hb = 2k ; hc = 5k Theo cơng thức diện tích tam giác ta a.ha = b.hb = c.hc = 3k a = 2k b = 5k c a b c a +b+c 62 = = = = = 10 15 10 + 15 + 31 Nên a = 20 ( cm ) ; b = 30 ( cm ) ; c = 12 ( cm ) Suy 3a = 2b = 5c biến đổi thành Bài 3: (4,0 điểm) Tìm giá trị nguyên x; y biết: xy + x − y − = Tìm x , biết x + x+1 + x+2 + x+3 = 240 Lời giải xy + x − y − = biến đổi thành ( x − 1)( y + 1) = xảy trường hợp sau: x −1 = TH1: tìm x = 7; y = 2 y + = x − = −6 TH2: tìm x = −5; y = −1 2 y + = −1 x −1 = TH3: tìm x = 3; y = 2 y + = x − = −2 TH4: tìm x = −1; y = −2 y + = −3 Ta có x + x+1 + x+2 + x+3 = 15.2 x Với x + x+1 + x+2 + x+3 = 240 ta x = 16 x = Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân ABE, ACF vuông B C Có AH vng góc với BC H , tia đối tia AH lấy điểm I cho AI = BC Chứng minh rằng: ABI = BEC IC vng góc với BF Các điểm D, P theo thứ tự di chuyển cạnh AB tia đối tia CA cho BD = CP Chứng minh đường trung trực DP qua điểm cố định Lời giải I F A E B H C Ta có AHB = 90 Theo tính chất góc ngồi tam giác, ta có: IAB = AHB + HBA = 90 + HBA = EBA + HBA = CBE Xét tam giác ABI tam giác BEC có: AI = BC (gt) ; BA = EB (gt) ; IAB = CBE (cmt) suy ABI = BEC (cgc) I F A Q J E B H C Chứng minh tương tự ý ta ACI = CFB Do ACI = CFB CI = FB Gọi giao điểm BF với AC CI J Q Do ACI = CFB nên ACI = CFB Vậy JCQ + CJQ = BFC + CJQ = 90 Suy FQC = 90 hay CI ⊥ BF Trên tia CP lấy điểm G cho CG = BA Các đường trung trực BC AG cắt K Ta có KB = KC; KA = KG nên KAB = KGC (ccc) suy KAB = KGC KBD = KCP Ta có KBD = KCP (cgc) nên KD = KP đường trung trực PD ln qua điểm K cố định Bài 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + b+c c+a a+b Lời giải Trong tam giác ta có b + c a dẫn đến a + b + c ( b + c ) từ a 2a b+c a +b+c b 2b c 2c ; a+c a+b+c a+b a +b+c a b c 2a 2b 2c Do + + + + = b+c c+a a +b a +b+c a +b+c a+b+c = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Tương tự ta ... + a −b a +b−c +b+c −a +c + a −b a +b+c = = = = = c a b c+a+b a+b+c a +b−c b +c −a c + a −b Nên P = + + = 1+1 +1 = c a b a+b−c a +c −b b+c−a Nếu a + b + c = = −2; = −2; = −2 c b a a +b −c b +c... c + + b+c c+a a+b Lời giải Trong tam giác ta có b + c a dẫn đến a + b + c ( b + c ) từ a 2a b+c a +b+c b 2b c 2c ; a+c a+b+c a+b a +b+c a b c 2a 2b 2c Do + + + + = b+c c+a a +b... TH3: tìm x = 3; y = 2 y + = x − = −2 TH4: tìm x = −1; y = −2 y + = −3 Ta có x + x+1 + x+2 + x+3 = 15.2 x Với x + x+1 + x+2 + x+3 = 240 ta x = 16 x = Bài 4: (6, 0 điểm) Cho tam giác nhọn