híng dÉn ®äc toµn v¨n b¸o c¸o KQNC ! B¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanh nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng[.]
hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Më View trªn Menu, Chän Zoom to ! Chän tû lƯ cã s½n hép kÝch th thíc muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cÊp ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN LỰC MỘT SỐ ƯỚC LƯỢNG CỦA SỐ FROBENIUS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN LỰC MỘT SỐ ƯỚC LƯỢNG CỦA SỐ FROBENIUS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 i Mục lục Mở đầu 1 Một vài thuật toán 1.1 Vấn đề Frobenius 1.2 Thuật toán Euclide 1.2.1 Xác định ước chung lớn 1.2.2 Chương trình tìm ước số chung lớn 1.2.3 Giải phương trình ax + by = c 1.3 Thuật toán xác định g(a1 , a2 , a3 ) 1.3.1 Thuật toán Rodseth 1.3.2 Thuật toán Davison 1.3.3 Thuật toán Killingbergtro 1.3.4 Thuật toán Greenberg 1.4 Độ phức tạp phương diện tính số Frobenius 1.4.1 Độ phức tạp 1.4.2 Một vài số chặn chặn số Frobenius 3 6 8 11 12 13 13 14 Số Frobenius 2.1 Số Frobenius cho n = 2, n = 2.1.1 Số Frobenius g(a, b) 2.1.2 Tiếp cận số Frobenius qua hàm sinh 2.1.3 Về Số Frobenius g(a, b, c) 2.1.4 Một vài công thức chặn 2.2 Về Số Frobenius g(a1 , a2 , a3 , a4 ) 2.2.1 Một vài kết g(a1 , a2 , a3 , a4 ) 2.2.2 Một số ví dụ bổ sung 15 15 15 18 20 21 24 24 28 ii Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Số học ln coi nữ hồng Tốn học chứa đựng nhiều vẻ đẹp tư logic Khơng nhiều ngành tốn học khác, Số học tồn nhiều giả thuyết chưa có câu trả lời mà học sinh hiểu với kiến thức trung học sở Quá trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết làm nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết lớn toán học nảy sinh Do Số học mệnh danh nữ hoàng tư nên tốn Số học ln ln xuất giữ vị trí quan trọng kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Số học cầu nối tự nhiên đưa người học tiếp cận với khoa học đại Xuất phát từ toán "đổi tiền", Frobenius đưa giả thiết đầy thú vị Cho tập A = {a1 , a2 , , an } ⊂ N số nguyên dương khác Ta nói rằng, số nguyên m ∈ N tổ hợp nguyên số a1 , a2 , , an tồn số nguyên xi ∈ N, i = 1, 2, , n, để có m = a1 x + a2 x + · · · + an x n Khi ước chúng lớn (a1 , a2 , , an ) = dễ dàng kiểm tra tính hữu hạn tập n số nguyên dương không lào tổ hợp nguyên a1 , a2 , , an Ký n P xi |xi ∈ N, i = 1, 2, , n C(A) = N \ C(A) Thông thường, hiệu C(A) = i=1 ta giả thiết < a1 < a2 < · · · < an (a1 , a2 , , an ) = Bởi tập số nguyên dương C(A) hữu hạn nên tồn Số Frobenius g(a1 , , an ) = max C(A) Giải vấn đề Frobenius mô tả tường minh tập C(A) công thức xác định số g(a1 , , an ) Vấn đề Frobenius có xuất xứ từ tốn "đổi tiền." Khi ta có đồng xu mệnh giá a1 , a2 , , an ta khơng thể đổi loại tiền thuộc C(a1 , a2 , , an ) thành đồng xu đổi tất đồng tiền mệnh giá lớn g(a1 , , an ) Trường hợp n = giải trọn vẹn J J Sylvester vào năm 1884 Ông rằng, hai số nguyên dương a1 , a2 thỏa mãn (a1 , a2 ) = số nguyên n > (a1 − 1)(a2 − 1) biểu diễn thành dạng n = a1 x + a2 y với hai số nguyên không âm x, y Như vậy, ta có g(a1 , a2 ) = a1 a2 −a1 −a2 Hơn nữa, (a1 − 1)(a2 − 1) Với n = 3, ta có vài ví dụ đặc biệt C(3, 5, 7) = {1, 2, 4} C(7, 8, 10) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 19}, Sylvester |C(a1 , a2 )| = v.v Theo F Aguiló A Miralles báo [On the Frobenius’ Problem of three numbers, EuroComb 2005,317-322], việc giải vấn đề Frobenius cho n > toán mở Tuy vậy, vấn đề nhiều người quan tâm Luận văn đặt vấn đề trình bày lại số thuật toán ước lượng để đánh giá Số Frobenius Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln ủng hộ, giúp đỡ suốt thời gian qua Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Học viên Trần Văn Lực Chương Một vài thuật toán 1.1 Vấn đề Frobenius Giả sử có nhiều vơ hạn đồng tiền xu muốn đổi chúng thành đồng tiền xu Vậy loại tiền đổi được? Ta thấy = 1.5 + 0.7, = 0.5 + 1.7 10 = 2.5 + 0.7, 12 = 1.5 + 1.7 14 = 0.5 + 2.7, 15 = 3.5 + 0.7 17 = 2.5 + 1.7, 19 = 1.5 + 2.7 20 = 4.5 + 0.7, 21 = 0.5 + 3.7 22 = 3.5 + 1.7, 24 = 2.5 + 2.7 25 = 5.5 + 0.7, 26 = 1.5 + 3.7 27 = 4.5 + 1.7, 28 = 0.5 + 4.7 29 = 3.5 + 2.7, 30 = 6.5 + 0.7 dễ dàng rằng, loại tiền 24, 25, 26, 27, 28, đổi thành hai loại xu Đồng 23 xu loại tiền lớn không đổi qua thành loại xu Tổng quát vấn đề sau: Giả sử ta muốn hủy tiền xu cũ để thay đồng xu mệnh giá a1 , a2 , , an xu Những đồng tiền đổi qua đồng xu loại Vấn đề Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) James Joseph Sylvester (1814-1897) quan tâm Đặc biệt, ông quan tâm đến đồng tiền lớn đổi qua lọai xu thường gọi vấn đề đổi tiền xu Frobenius Bây ta trình bày lại tương đối hệ thống vấn đề toán số học Giả sử a1 , a2 , , an số nguyên dương > Ký hiệu ước số chung lớn chúng qua (a1 , a2 , , an ) Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên dương m gọi tổ hợp nguyên không âm a1 , a2 , , an tồn số nguyên x1 , x2 , n P , xn > để m có biểu diễn dạng m = x i i=1 Đã từ lâu xuất toán tồn số nguyên dương M để cho m > M tổ hợp nguyên không âm a1 , a2 , , an Thực ra, ý tưởng coi kết tất yếu nảy sinh từ định lý Định lý 1.1.2 Cho a1 , a2 , , an số nguyên dương với ước chung lớn (a1 , a2 , , an ) = Khi tồn số nguyên L để cho số nguyên s > L tổ hợp nguyên không âm a1 , a2 , , an Chứng minh: Vì (a1 , a2 , , an ) = dựa vào thuật toán Euclide với đồng (a1 , a2 , , an ) = ((a1 , a2 , , an−1 ), an ) nên có số nguyên m1 , m2 , , mn P P thỏa mãn m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an = Ký hiệu P = mj aj −Q = mi mi 0 Ta có P − Q = P, Q thuộc nửa nhóm cộng W sinh a1 , , an Do số ngun k khơng âm viết thành k = ha1 + r với h > r < a1 nên (a1 − 1)Q + k = (a1 − 1)Q + ha1 + r(P − Q) = ha1 + (a1 − − r)Q + rP thuộc nửa nhóm cộng W Như vậy, tất số nguyên lớn (a1 − 1)Q thuộc W Điều có nghĩa: Bất kỳ số nguyên m > (a1 − 1)Q biểu diễn tổ hợp nguyên không âm a1 , a2 , , an Ta nhận thấy, số nguyên dương (a1 , , an ) = n−1 P số nguyên dương b đủ lớn, chẳng hạn b > (an − 1) , biểu i=1 diễn thành tổ hợp tuyến tính ngun khơng âm b = a1 α1 + · · · + an αn với αi > nguyên theo Định lý 1.1.2 Khi tồn số ngun khơng âm nhỏ G(a1 , , an ) để cho số nguyên b > G(a1 , , an ) biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính ngun khơng âm b = a1 α1 + · · · + an αn Vấn đề Frobenius đặt ra: Xác định số nguyên G(a1 , , an ) hay số g(a1 , , an ) = G(a1 , , an ) − cho tất tập hữu hạn số nguyên dương a1 , , an với (a1 , , an ) = Số Frobenius sử dụng nhiều nghiên cứu mật độ tổng hai tập số nguyên Lý thuyết xác suất, cơng thức xác định số Frobenius cịn vấn đề mở mà đến chưa giải Người ta giải số trường hợp đặc biệt đưa chặn cho g(a1 , , an ) Chú ý rằng, từ Định lý 1.1.2 ta suy chặn cho số g(a1 , , an ) Hệ 1.1.3 Giả sử a1 , a2 , , an số nguyên dương với (a1 , a2 , , an ) =1 Khi g(a1 , a2 , , an ) < (a1 − 1)Q Ví dụ 1.1.4 Cho a1 , a2 , , an số nguyên dương với ước chung lớn (a1 , a2 , , an ) = Ký hiệu F (a1 , a2 , , an ) số với tính chất: Phương trình tuyến tính a1 x + a2 x + · · · + an x n = m có nghiệm nguyên dương xi > với i = 1, 2, , n với số nguyên m > F (a1 , a2 , , an ) Hàm L(a1 , a2 , , an ) = F (a1 , a2 , , an ) − a1 − a2 − · · · − an thỏa mãn điều kiện: Phương trình tuyến tính a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = m có nghiệm nguyên xi > với i = 1, 2, , n với số nguyên m > L(a1 , a2 , , an ) Ta xét ví dụ C(5, 6), chẳng hạn số nguyên dương ` = 20 biểu diễn thành 5.4 + 6.0 với 4, ∈ N số nguyên dương b > ` viết thành 5x + 6y với x, y ∈ N Như vậy, số nguyên dương lớn g0 = 19 để phương trình 5x + 6y = g0 với x, y ∈ N không giải Dễ dàng kiểm tra, với L(5, 6) = 20 = 4.5 + 6.0 thỏa mãn điều kiện: Phương trình 5x + 6y = m ln có nghiệm x, y ∈ N với m > 20 số F (5, 6) = 20 + 11 = 31 thỏa mãn điều kiện: Phương trình 5x + 6y = m ln có nghiệm x, y ∈ N∗ với m > 31, chẳng hạn: 31 = 5.5 + 6.1, 32 = 5.4 + 6.2, 33 = 5.3 + 6.3, 34 = 5.2 + 6.4, 35 = 5.1 + 6.5, 36 = 5.6 + 6.1 Số 30 biểu diễn thành 30 = 5x + 6y với x, y nguyên dương, 5x, 30 chia hết cho 6y phải chia hết cho Như vậy, từ tồn số L ta suy tập số nguyên không âm {0, 1, 2, , L} Để chọn số nguyên dương M thỏa mãn yêu cầu dặt toán xác định số M Vấn đề: Phương pháp chọn M nào? Đặc biệt, việc tìm kiếm cơng thức biểu diễn số M ? Những toán làm nẩy sinh toán, gọi chung Vấn đề Frobenius, việc xác định số tự nhiên lớn không tổ hợp nguyên không âm a1 , a2 , , an ký hiệu qua g(a1 , a2 , , an ) Số gọi số Frobenius Do độ phức tạp toán nên người ta đưa chặn thuật toán để giải ... TRẦN VĂN LỰC MỘT SỐ ƯỚC LƯỢNG CỦA SỐ FROBENIUS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN LỰC MỘT SỐ ƯỚC LƯỢNG CỦA SỐ FROBENIUS LUẬN... tính số Frobenius 1.4.1 Độ phức tạp 1.4.2 Một vài số chặn chặn số Frobenius 3 6 8 11 12 13 13 14 Số Frobenius 2.1 Số Frobenius cho n = 2, n = 2.1.1 Số Frobenius. .. xác định số Frobenius n số cho vấn đề P 1.4.2 Một vài số chặn chặn số Frobenius Một số nhà toán học quan tam đến số Frobenius đưa chặn hay chặn cho số (1) [Davison 1994] g(a, b, c) > √ 3abc − a