Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

Bộ giáo dục đào tạo Đại học Thái Nguyên Nguyễn Thị Ngân Một số lớp hệ phương trình cặp ứng dụng Luận án tiến sĩ toán học Chuyên ngành: Mà số: Toán Giải tích 62 46 01 02 Tập thể hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc PGS TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, 2013 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác đà trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố công trình khoa học khác Tác giả luận án Nguyễn Thị Ngân i Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành khoa Toán thuộc trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Nguyễn Văn Ngọc PGS TS Hà Tiến Ngoạn Các Thầy đà truyền cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy Trong trình học tập nghiên cứu, tác giả nhận góp ý, động viên GS TSKH Đinh Nho Hào, PGS TSKH Nguyễn Minh Trí, TS Phạm Minh Hiền, Ths Đào Quang Khải (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam), GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, PGS TS Trần Huy Hổ (trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội), GS TSKH Lê Hùng Sơn, PGS TS Phan Tăng Đa (khoa Toán - Tin ứng dụng, Đại học Bách Khoa Hà Nội), PGS TS Đặng Quang (Viện Công nghệ Thông tin, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm giúp đỡ Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo anh chị em NCS, Cao học seminar Bộ môn Giải tích khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Phương trình vi phân - Viện Toán học, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đà giúp đỡ, động viên tác giả nghiên cứu khoa học sống Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Sau đại học - Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Ban chức năng, Phòng Quản lý đào tạo Sau ii đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán toàn thể giáo viên khoa, đặc biệt Bộ môn Giải tích đà tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt chồng, người thân gia đình đà giúp đỡ, động viên tác giả trình thực luận án Mơc lơc B×a i i ii iv Lêi cam ®oan Lêi cảm ơn Mục lục Một số ký hiệu dùng luận án Mở đầu viii Hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát 19 1.1 20 S hàm giảm nhanh 20 Biến đổi Fourier hàm 20 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 21 S hàm suy rộng tăng chậm 21 1.2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 22 1.2.3 23 BiÕn đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.1.1 Không gian 1.1.2 1.2 1.2.1 Không gian 1.3 Biến đổi Fourier cña tÝch chËp Các không gian Sobolev 24 H s (R) 24 1.3.1 Không gian 1.3.2 Các không gian s Hs (), H, (Ω), H s (Ω) 24 1.3.3 Định lý nhúng 25 iv 1.4 1.5 1.6 Các không gian Sobolev vect¬ 26 1.4.1 Kh¸i niƯm 26 1.4.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 28 Toán tử giả vi phân vectơ 30 1.5.1 Kh¸i niƯm 30 1.5.2 Chuẩn tích vô hướng tương đương 32 1.5.3 Nhóng compact 34 Tính giải hệ phương trình cặp 34 1.6.1 §Þnh lý nhÊt 34 1.6.2 Định lý tån t¹i 36 Hệ phương trình cặp số toán biên hỗn hợp phương trình điều hoà song điều hoà miền hình dải 2.1 Bài trình toán điều biên hỗn hợp thứ phương hoà 2.1.1 Phát biểu toán 41 42 43 2.1.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân 43 2.1.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.10) 45 2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 46 2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô 2.2 hạn phương trình đại số tuyến tính 49 Bài toán biên hỗn hợp dải đàn hồi 56 2.2.1 Phát biểu toán 56 2.2.2 §­a vỊ hệ phương trình cặp tích phân 58 2.2.3 TÝnh giải hệ phương trình cặp tích phân (2.51) 61 2.2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 64 2.2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô 2.3 hạn phương trình đại số tuyÕn tÝnh 67 Bài toán biên hỗn hợp phương trình song điều hoà 72 2.3.1 Phát biểu toán 73 2.3.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân 74 2.3.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.106) 77 2.3.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân nhân logarithm 84 2.3.5 Đưa hệ phương trình tích phân nhân logarithm hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tÝnh 2.4 86 Bài toán biên hỗn hợp thứ hai phương trình điều hoà 90 2.4.1 Phát biểu toán 91 2.4.2 §­a hệ phương trình cặp tích phân 91 2.4.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.157) 92 2.4.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 94 2.4.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô hạn phương trình đại số tuyÕn tÝnh Giải gần phương trình hệ cặp phương tích trình phân tích phân kỳ dị 96 hệ Fourier 102 3.1 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị dạng không thứ nguyên 102 3.2 Tính gần nghiệm hệ phương trình tích phân kỳ dị 106 3.2.1 Tính gần ma trận hạch hệ phương trình tích phân kỳ dị 106 3.2.2 Tính nghiệm gần hệ phương trình tích phân kỳ dị 110 3.2.3 Về tốc độ hội tụ Kết luận đề nghị 128 132 134 Danh mục công trình tác giả đà công bố liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo 135 Mét sè ký hiƯu dïng ln ¸n R: đường thẳng thực : khoảng hệ khoảng không giao R Rn : không gian vectơ Euclide n chiỊu Cn : kh«ng gian phøc n chiỊu C k (): tập tất hàm khả vi liên tục đến cấp k Ck (): tập tất hàm khả vi liên tục đến cấp k , có giá compact C (): tập tất hàm khả vi vô hạn C (R): tập hợp tất hàm khả vi vô hạn có giá compact R `2 : không gian dÃy số {fn }, n N, thoả mÃn điều kiện X |fn |2 < n=0 L1 (R): không gian hàm khả tích R L2 (R): không gian hàm bình phương khả tích R L21 (a, b): không gian hàm u(x) cho (a, b) cho ||u||L21 = Z ρ b 1/2 ρ (x)|u(x)| dx < +∞, ±1 a víi ρ(x) = p (x − a)(b − x), a < x < b viii S : kh«ng gian hàm giảm nhanh R S : không gian hàm suy rộng tăng chậm R D(): không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact D0 (): không gian ®èi ngÉu cđa D(Ω) s H s (R), H◦s (), H, (), H s (): không gian Sobolev s H~s (R), H~s◦ (Ω), H~◦,◦ (Ω), H~s (Ω): c¸c không gian Sobolev vectơ F : phép biến đổi Fourier F : phép biến đổi Fourier ngược p, p0 : toán tử hạn chế `, `0 : toán tử thác triển Tn (x): đa thức Chebyshev bậc n loại Un (x): đa thức Chebyshev bậc n loại hai Jm : hàm Bessel loại cấp m m,N m m,N ≤ C = C Lρ ρ(t) ρ(t) L2ρ Suy Z Z b φ (t) ... trận xác định dương Xét ứng dụng lý thuyết hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát vào nghiên cứu số lớp hệ phương trình cặp xuất giải số toán biên hỗn hợp cho phương trình điều hoà song... đưa hệ phương trình cặp tích phân (2.54) hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy (Mục 2.2.4) Mục 2.2.5 trình bày biến đổi hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Chứng minh hệ phương trình. .. 91 2.4.2 §­a vỊ hệ phương trình cặp tích phân 91 2.4.3 TÝnh giải hệ phương trình cặp tích phân (2.157) 92 2.4.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị