Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————— Nguyễn Viết Đại HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ STURM LIOUVILLE TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN VÀ TRÊN KHOẢNG VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội 2019 z z ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- Nguyễn Viết Đại HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN VÀ TRÊN KHOẢNG VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội - 2019 z z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- Nguyễn Viết Đại HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN VÀ TRÊN KHOẢNG VƠ HẠN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn: TS Đặng Anh Tuấn Hà Nội - 2019 z z LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Đặng Anh Tuấn Thầy tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Thầy không hướng dẫn em mặt chun mơn tốn, thầy cịn dạy em nhiều điều sống Những lời dạy bảo thầy giúp em nhìn chuyện, giúp em vượt khúc mắc, yếu đuối mặt tâm lý mà tưởng chừng vượt qua Em xin lỗi thầy nhiều yếu đuối muốn bỏ cuộc, em ngắt liên lạc với thầy, thầy không bao dung quan tâm đến em em khơng thể tiếp tục Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin cám ơn tới ông nội , ông bà ngoại, bố mẹ cậu mợ em người thương yêu , quan tâm che chở cho em Ngoài em xin cảm ơn trung tâm anh ngữ ViViAn tận tình dạy cho em để thi tiếng anh B1 Em xin cảm ơn anh Đỗ Duy Hiếu nhận em vào làm trung tâm anh để có tiền trang trải sống suốt thời gian Hà Nội, em xin lỗi bỏ mà khơng nói lời Em xin cảm ơn Viện Tốn kí hợp đồng với em tháng, khơng có hợp đồng làm động lực để quay lại em khơng thể vượt qua tiếng anh B1 Cuối em xin cảm ơn bạn Tô Thị Vân Anh bạn Nguyễn Đức Ngà, bạn Vân Anh liên lạc gọi em lại học tiếng anh chuyên ngành, bạn Ngà hướng dẫn em bước làm thủ tục bảo vệ Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2018 Học viên Nguyễn Viết Đại z LỜI MỞ ĐẦU Từ đại số tuyến tính hữu hạn chiều, cho ma trận đối xứng ta tìm thấy sở trực chuẩn khơng gian gồm tồn vectơ riêng ma trận Khi ta có khai triển n v= ∑ (v, vk )vk k =1 với vk vectơ riêng chuẩn hóa ma trận A Ngồi ta có đẳng thức Pythagoras |v|2 = ∑nk=1 |(v, vk )|2 Từ lý thuyết chuỗi Fourier hàm f tuần hồn chu kì 2π khả vi liên tục R có khai triển +∞ f (x) = ∑ k=−∞ ( f , vk )vk ( x ) √ vk ( x ) = eikx / 2π hàm riêng chuẩn hóa ứng với giá trị d2 riêng k toán tử vi phân thường − Ngồi ta có đẳng thức Parseval dx ∞ || f ||22 = ∑+ −∞ |( f , vk )| Chuỗi Fourier xuất ta giải phương trình truyền nhiệt, dao động sợi dây, dao động màng mỏng, phương pháp tách biến Sự tương tự vấn đề đại số tuyến tính lý thuyết phương trình nhà toán học thấy từ lâu trước Tuy nhiên D.Hilbert người hệ thống lại tương tự việc làm lý thuyết phương trình tích phân, xem [5] Một kết việc làm làm nảy sinh khơng gian Hilbert l2 sau khơng gian Hilbert tổng qt Xây dựng tốn học cho khơng gian l2 không gian Hilbert trừu tượng dẫn đường cho phát triển mạnh mẽ lý thuyết phổ tốn tử tự liên hợp khơng gian Hilbert Lý thuyết phổ trừu tượng hoàn thiện, định lý sở toàn lý thuyết định lý khai triển phổ Một toán tử tự liên hợp không gian Hilbert khai triển thơng qua phép chiếu phổ Eλ (cịn gọi họ phổ giải thức đơn vị) Tuy nhiên trường hợp tốn tử cụ thể thơng tin tiệm cận giá trị riêng, hàm riêng họ phổ Trong luận văn em đọc hiểu trình bày chi tiết lại kết khai triển hàm riêng toán tử Sturm-Liouville cho hai trường hợp khoảng hữu hạn nửa đường thẳng Nội dung luận văn gồm chương Chương 1: kiến thức chuẩn bị z Chương 2: khai triển khoảng hữu hạn Chương 3: khai triển nửa đường thẳng Nội dung chương trình bày cơng thức tiệm cận giá trị riêng hàm riêng toán tử Sturm-Liouville, chứng minh tồn dãy đếm giá trị riêng cách khác nhau: sử dụng định lý Rouche, lý thuyết dao động Sturm, phương pháp phương trình tích phân Ngồi chương có cách chứng minh khác cho định lý khai triển hàm riêng : phương pháp phương trình tích phân, phương pháp thặng dư Cauchy Ở cuối chương định lý , hội tụ điểm khai triển hàm riêng Sturm-Liouville giống hội tụ điểm chuỗi Fourier thông thường Nội dung chương 3, xây dựng hàm phổ ρ(λ) (cịn gọi độ đo phổ) từ định nghĩa biến đổi Fourier tổng quát thu đẳng thức Parseval định lý khai triển dạng tương tự chương Đồng thời chương trình bày phân loại giới hạn điểm, giới hạn trịn tốn tử Sturm-Liouville nhiên em chưa tìm hiểu xuất phát điểm vật lý khái niệm Ngoài chương trình bày biểu diễn tích phân giải thức, rõ họ phổ Eλ toán tử Sturm-Liouville Ở cuối chương ánh xạ f ( x ) 7→ F (λ) đặt tương ứng hàm f ( x ) ∈ L2 (0, ∞) với biến đổi Fourier tổng quát F (λ) ∈ L2ρ(λ) (−∞, +∞) ánh xạ Unitary ( song ánh bảo toàn chuẩn) Các kết mục 2.2 tham khảo [7] [9], mục 2.3 tham khảo [4] [11], mục 2.4 2.5 tham khảo [4] [9], mục 2.6 tham khảo [8] [9], chương tham khảo [9], họ phổ Eλ trình bày trừu tượng tìm đọc [6] phụ lục [9] Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2018 Học viên Nguyễn Viết Đại z Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính trù mật 1.2 Một số định lý phương trình vi phân thường 1.3 Một số định lý giải tích phức 1.4 Một số kết tích phân Khai triển khoảng hữu hạn 11 2.1 Giới thiệu số tính chất 11 2.2 Công thức tiệm cận cho giá trị riêng hàm riêng 14 2.3 Phân bố không điểm hàm riêng 24 2.4 Hàm Green, toán tử compact đối xứng 30 2.5 Định lý khai triển đẳng thức Parseval 37 2.6 Chứng minh định lý khai triển tích phân Cauchy 41 2.7 Hội tụ điểm khai triển hàm riêng 52 Khai triển nửa đường thẳng 57 3.1 Đẳng thức Parseval với nửa đường thẳng 57 3.2 Giới hạn điểm, giới hạn trịn 3.3 Biểu diễn tích phân giải thức 73 3.4 Tính trực giao khai triển 79 65 Tài liệu tham khảo 93 z Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính trù mật Ký hiệu C [ a, b] không gian hàm giá trị phức, liên tục khoảng mở hữu hạn ( a, b), liên tục phải a liên tục trái b Không gian C [ a, b] có tích vơ hướng cho bởi: ( f , g) = Z b a f ( x ) g∗ ( x )dx, f , g ∈ C [ a, b], g∗ ( x ) liên hợp phức g( x ) Cho D ( L) tập C [ a, b] xác định D ( L) = {y( x ) ∈ C2 [ a, b] : BCa (y) = BCb (y) = 0}, BCa (y) = y( a)cos(α) + y ( a)sin(α) = 0, BCb (y) = y(b)cos( β) + y (b)sin( β) = (α, β ∈ R), C2 [ a, b] khơng gian hàm giá trị phức, khả vi liên tục cấp hai ( a, b), khả vi liên tục cấp hai bên phải a bên trái b Khi ta có khẳng định sau: Bổ đề 1.1.1 ([2]) D ( L) trù mật không gian C [ a, b] với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng z 1.2 Một số định lý phương trình vi phân thường 1.2 Một số định lý phương trình vi phân thường Bổ đề 1.2.1 (Cơng thức Liouville) ([4]) Xét phương trình 00 y ( x ) + p( x )y ( x ) + q( x )y( x ) = 0, với p( x ), q( x ) ∈ C [ a, b] Giả sử y1 ( x ) y2 ( x ) hai nghiệm phương trình 0 Khi định thức W {y1 , y2 }( x ) = y1 ( x )y2 ( x ) − y1 ( x )y2 ( x ) Wronskian y1 ( x ) y2 ( x ) cho công thức Liouville: Z x W {y1 , y2 }( x ) = c.exp p(t)dt ∀ x ∈ [ a, b], (1.2.1) a với c số Bổ đề 1.2.2 (Bất đẳng thức Gronwall-dạng vi phân) ([4]) Cho η (.) hàm không âm, liên tục [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức vi phân η (t) ≤ φ(t)η (t) + ψ(t), ∀t ∈ [0, T ], φ(t), ψ(t) hàm khơng âm liên tục [0, T ] Khi đó: η (t) ≤ e Rt φ(r )dr [ η (0) + Z t ψ(s)ds], ∀t ∈ [0, T ] Bổ đề 1.2.3 (bất đẳng thức Gronwall-dạng tích phân) ([4]) Cho ξ (t) hàm không âm, liên tục [0, T ] thỏa mãn theo t bất đẳng thức tích phân: ξ (t) ≤ C1 Z t ξ (s)ds + C2 , với số C1 , C2 ≥ Khi đó: ξ (t) ≤ C2 (1 + C1 teC1 t ), ≤ t ≤ T Định lý 1.2.1 (định lý tồn nghiệm ([9]) ) Nếu q( x ) hàm liên tục [ a, b], với α ∈ R, λ ∈ C toán Cauchy: 00 y ( x ) + (λ − q( x ))y( x ) = 0, ϕ( x0 , λ) = sin(α), ϕ x ( x0 , λ) = −cos(α), ( x0 ∈ [ a, b] cố định ) (1.2.2) có nghiệm ϕ( x, λ), x ∈ [ a, b] Với x cố định thuộc [ a, b] hàm ϕ( x, λ) hàm nguyên λ, tức hàm chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C z ... NHIÊN ——————- Nguyễn Viết Đại HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ STURM- LIOUVILLE TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN VÀ TRÊN KHOẢNG VƠ HẠN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn:... tử cụ thể thơng tin tiệm cận giá trị riêng, hàm riêng họ phổ Trong luận văn em đọc hiểu trình bày chi tiết lại kết khai triển hàm riêng toán tử Sturm- Liouville cho hai trường hợp khoảng hữu hạn. .. triển khoảng hữu hạn 2.1 Giới thiệu số tính chất Tốn tử Sturm- Liouville tốn tử vi phân thường L có dạng L= − d2 + q ( x ), dx2 q( x ) hàm giá trị thực liên tục đoạn hữu hạn [ a, b] Toán tử tuyến