ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO VÀNH EUCLIDE CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO VÀNH EUCLIDE CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO VÀNH EUCLIDE CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - 2017 c LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, nhận đề tài nghiên cứu “ Vành Euclide số nguyên đại số ” hướng dẫn PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Đến nay, luận văn hồn thành Có kết dạy bảo hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Thầy Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy gia đình! Tơi xin gửi lờn cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học Khoa Toán – Tin Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập trường thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện thầy, giáo, cán thuộc Phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin đã để lại lịng ấn tượng tốt đẹp Không biết nói hơn, lần tơi xin trân trọng cảm ơn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp cao học Tốn K9N (Khóa 2015-2017) quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ động viên để tơi hồn thành nhiệm vụ Thái Ngun, ngày 15 tháng năm 2017 Tác giả c Mục lục MỞ ĐẦU Vành Euclide bao đóng nguyên √ √ √ 1.1 Vành Z[ d] Z[ p, q] 5 1.2 Vành Euclide 1.3 Vành số nguyên đại số 12 1.4 Chuẩn vết 23 Một số vận dụng 28 2.1 Chứng minh tồn nghiệm Z[α] 28 2.2 Số nguyên đại số 34 KẾT LUẬN 42 c MỞ ĐẦU Vành Euclide khái niệm quen thuộc trừu tượng lý thuyết vành Lớp vành đặc biệt có tính chất quan trọng ứng dụng nhiều tốn phổ thơng, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi nước Hiện xuất nhiều tốn khó kỳ thi học sinh giỏi mà giải theo kiến thức phổ thơng ta phải cần nhiều kết phụ mẹo mực Nhưng xét tốn theo mắt tốn cao cấp ta có cách giải hệ thống Do vấn đề nhìn tốn sơ cấp mắt toán cao cấp đáng quan tâm Luận văn đặt vấn đề nghiên cứu vành Euclid, mở rộng vành, bao đóng nguyên, phần tử nguyên đại số, chuẩn vết, để từ truyền tải số kết toán cao cấp vào toán sơ cấp Cấu trúc luận văn chia làm chương cụ thể sau Chương trình bày vành Euclide bao đóng nguyên Trong √ chương này, Tiết 1.1 quan tâm đến hai loại vành đặc biệt vành Z[ d] √ √ Z[ p, q] với d, p, q số nguyên ước phương Tiết 1.2 nghiên cứu khái niệm vành Euclide đưa số ví dụ √ vành Euclide vành Z[ d] với d = −1, 2, (xem Mệnh đề 1.2.8) vành đa thức biến với hệ số trường (Định lí 1.2.11) Tiết 1.3 quan tâm đến khái niệm số nguyên đại số, bao đóng nguyên √ đại số, vành số nguyên đại số trường Q( d) với c d = −11, −7, −3, −2 vành Euclide (Định lí 1.3.8), đồng thời xác định √ vành số nguyên đại số trường Q( d) (Định lí 1.3.26) Phần cuối Chương nghiên cứu chuẩn vết số đại số Chương trình bày việc vận dụng kiến thức lí thuyết Chương để giải số dạng toán sơ cấp Trong phần đầu Chương 2, chúng tơi khai thác tính chất chuẩn, vết phần tử vành √ √ √ √ √ Euclid Z[i], Z[ 2], Z[ 3], Z[ −2] vành Z[ −11], Z[ −7], √ √ √ Z[ 5], Z[ 6], Z[ −6] để giải toán đại số sơ cấp, nhiều √ số quy tốn tồn nghiệm Z[ d] Tiết cuối Chương hệ thống toán sơ cấp mà lời giải chúng sử dụng kết vành số ngun đại số, đặc biệt tính đóng phép cộng, trừ, nhân tập số nguyên đại số Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót nhât định, kính mong q thày bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hồn thiện luận văn c Chương Vành Euclide bao đóng ngun Mục đích chương trình bày kết vành Euclide, quan tâmhđếni3 lớp n vành√Euclide đặco biệt sau đây: √ - Vành Z d = a + b d |a, b ∈ Z với d ∈ {−1, 2, 3} - Một số vành số nguyên đại số - Vành đa thức biến trường 1.1 √ √ √ Vành Z[ d] Z[ p, q] Nhiều để giải toán ta phải sử dụng vành √ Trong mục chúng tơi sử dụng vành Z[ d] với d số nguyên không chứa nhân tử phương Mệnh đề 1.1.1 Cho số ngun d > khơng số phương Khi √ √ (1) Tập Z[ d] = {a+b d | a, b ∈ Z} phép cộng nhân lập thành √ √ vành giao hốn có đơn vị ánh xạ f : Z[ d] → Z[ d] cho √ √ f (a + b d) = a − b d, tự đẳng cấu √ √ (2) Tập Z[ −d] = {a + ib d | a, b ∈ Z} phép cộng nhân lập √ thành vành giao hốn có đơn vị ánh xạ f từ vành Z[ −d] √ √ √ đến vành Z[ −d] cho f (a + ib d) = a − ib d tự đẳng cấu c √ √ √ √ Với z = a + b d ∈ Z[ d], u = a + ib d ∈ Z[ −d], ta ký hiệu N (z) = a2 − db2 , N (u) = a2 + db2 Ta gọi N (z) chuẩn z N (u) chuẩn u Khi ta có tính chất sau chuẩn √ √ Hệ 1.1.2 Với z1 , z2 , , zn ∈ Z[ d] u1 , u2 , , un ∈ Z[ −d] ta ln có hệ thức N (z1 z2 zn ) = N (z1 )N (z2 ) N (zn ) N (u1 u2 un ) = N (u1 )N (u2 ) N (un ) √ √ Chứng minh Giả sử zk = ak + bk d ∈ Z[ d] với k = 1, , n, viết n √ √ Q tích (ak + bk d) = a + b d Qua tự đẳng cấu liên hợp ta có n Q k=1 √ √ (ak − bk d) = a − b d Vì k=1 2 a −b d= n Y √ (ak + bk d) k=1 n Y (ak − bk √ n Y d) = (a2k − b2k d) k=1 k=1 Nên ta suy N (z1 z2 zn ) = N (z1 )N (z2 ) N (zn ) Tương tự, ta có N (u1 u2 un ) = N (u1 )N (u2 ) N (un ) Sử dụng định nghĩa đẳng cấu vành, ta kiểm tra tính chất sau Mệnh đề 1.1.3 Giả thiết p, q hai số nguyên dương khơng có nhân tử phương cho (p, q) = Khi tập √ √ √ √ √ Z[ p, q] = {a + b p + c q + d pq | a, b, c, d ∈ Z} phép cộng nhân thông thường lập thành vành giao hốn √ √ √ √ có đơn vị ánh xạ φi : Z[ p, q] → Z[ p, q] cho ứng phần tử c √ √ √ z = a + b p + c q + d pq với phần tử √ √ √ φ (z) = a + b p + c q + d pq √ √ √ φ (z) = a − b p + c q − d pq √ √ √ φ3 (z) = a + b p − c q − d pq φ (z) = a − b√p − c√q + d√pq tự đẳng cấu, với i=1,2,3,4 √ √ Với z ∈ Z[ p, q], đặt N (z) = φ1 (z)φ2 (z)φ3 (z)φ4 (z) Ta gọi N (z) chuẩn z Khi đó, sử dụng đẳng cấu mệnh đề ta có tính chất sau chuẩn √ √ Hệ 1.1.4 Nếu z1 , z2 ∈ Z[ p, q] N (z1 z2 ) = N (z1 )N (z2 ) √ √ √ √ Chứng minh Với z1 , z2 ∈ Z[ p, q], ta có z1 z2 ∈ Z[ p, q] Hơn nữa, φi (z1 z2 ) = φi (z1 )φi (z2 ) Vậy N (z1 z2 ) = Y φi (z1 ) i=1 Y φi (z2 ) = N (z1 )N (z2 ) i=1 Cho α ∈ C Ký hiệu Q[α] = {f (α) | f (x) ∈ Q[x]}; n f (α) o Q(α) = | f (x), g(x) ∈ Q[x], g(α) 6= g(α) Khi Q [α] vành nhỏ C chứa Q α Hơn nữa, Q (α) trường nhỏ C chứa Q α Rõ ràng Q (α) chứa Q [α] Nếu α số đại số (tức α nghiệm đa thức khác không với hệ số Q) Q (α) = Q [α] (xem Định lý 1.3.15) Với α, β ∈ C, đặt Q (α, β) = (Q (α)) (β) Khi Q (α, β) trường nhỏ C chứa Q, α, β c Mệnh đề 1.1.5 Cho p, q hai số ngun dương khơng có nhân tử √ √ √ √ phương cho (p, q) = Khi Q p, q = Q p + q Hơn √ √ √ √ p, q = Q p, q Q √ √ √ √ √ √ √ √ Chứng minh Vì p+ q ∈ Q p, q nên Q p+ q ⊆ Q p, q √ √ Đặt u = p + q Khi ta có hệ (√ √ p+ q =u √ √ (p + 3q) p + (q + 3p) q = u3 Suy √ √ p, q ∈ Q(u) Như √ Q Tóm lại Q √ √ √ q ⊇ Q p, q √ √ √ √ p, q = Q p + q Dễ dàng Q 1.2 p+ √ √ √ √ p, q = Q p, q Vành Euclide Trước tiên ta nhắc lại vài khái niệm Phần tử p 6= không khả nghịch thuộc miền nguyên R gọi phần tử bất khả quy khơng có ước thực Phần tử p 6= không khả nghịch gọi phần tử nguyên tố với a, b ∈ R p|ab p|a p|b Chú ý miền nguyên, phần tử nguyên tố phần tử bất khả quy Miền nguyên R gọi vành iđêan iđêan Định nghĩa 1.2.1 Miền nguyên R gọi vành Euclide tồn ánh xạ (Euclide) δ : R∗ = R \ {0} → N thỏa mãn hai điều kiện đây: (i) Với a, b ∈ R∗ , a 6= b|a, có δ(b) δ(a) c 17 Phần nghiên cứu tính chất số đại số trường Một trường K gọi đóng đại số đa thức bậc dương với hệ số K có nghiệm K Chẳng hạn C trường đóng đại số (theo Định lý đại số ), R khơng đóng đại số đa thức x2 + có bậc dương khơng có nghiệm R Cho K trường trung gian C Q Ta nói K trường số K Q–không gian vec tơ hữu hạn chiều Chẳng √ √ hạn, Q[ d] = {a + b d | a, b ∈ Q} (với d số khơng chứa nhân tử phương) trường số Q-khơng gian chiều Chú ý trường, phần tử đại số phần tử nguyên Thật vậy, α đại số K α nghiệm đa thức an xn + + a1 x + a0 ∈ K [x] với an 6= Do an khả nghịch K nên ta nhân đa thức với an −1 ∈ K, ta đa thức với hệ số cao nhận α làm nghiệm Vì phần tử α ∈ C đại số K nguyên K Nếu α đại số K có đa thức ϕ (x) = xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an nhận α làm nghiệm phương trình xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an = gọi phương trình đại số α K √ √ Ví dụ 1.3.9 Số α = + số đại số ngun nghiệm đa thức f (x) = x4 − 10x2 + ∈ Z[x] Ví dụ 1.3.10 Số sin 100 số đại số Z nghiệm đa thức f (x) = 8x3 − 6x + ∈ Z[x] Định nghĩa 1.3.11 Phần tử α ∈ C gọi siêu việt K khơng đại số K c 18 Định lý 1.3.12 Nếu phần tử α ∈ C đại số K nghiệm đa thức bất khả quy f (x) ∈ K[x] với hệ số cao Hơn nữa, tất đa thức p(x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệm bội f (x) Chứng minh Vì α phần tử đại số K nên tồn f (x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệm f (x) 6= Trong số đa thức khác nhận α làm nghiệm ta chọn đa thức f (x) bậc thấp với hệ tử cao Nếu f (x) đa thức khả qui f (x) phân tích thành tích hai đa thức g(x) h(x) với bậc dương hệ tử cao Khi f (x) = g(x)h(x) với < deg g, deg h < deg f Vì f (α) = nên g(α)h(α) = Vì C trường nên ta giả thiết g(α) = Như có đa thức g(x) với deg g < deg f nhận α làm nghiệm, điều mâu thuẫn với việc chọn f (x) Do f (x) bất khả qui Tiếp theo, giả thiết đa thức p(x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệm Nếu p(x) p(x) chia hết cho f (x) Nếu p(x) 6= viết p(x) = q(x)f (x) + r(x) với q(x), r(x) ∈ K[x] deg r < deg f Vì f (α) = p(α) = nên r(α) = Từ việc chọn f (x) suy r(x) = hay p(x) chia hết cho f (x) Định nghĩa 1.3.13 Đa thức bất khả quy f (x) ∈ K[x] với hệ số cao nhận α làm nghiệm gọi đa thức tối tiểu α K Các nghiệm α1 , , αn đa thức tối tiểu α gọi liên hợp α K Từ Định lý 1.3.7, ta có kết sau Định lý 1.3.14 Với K trường trung gian Q C, vành số đại số K trường chứa K Giả thiết α ∈ C số đại số (trên Q) với đa thức tối tiểu f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an c ... K[x] vành Euclide Vì K[x] vành Gauss 1.3 Vành số nguyên đại số Một lớp vành Euclide quan trọng lý thuyết số đại số vành số ngun đại số Trong tiết này, chúng tơi trình bày khái niệm bao đóng nguyên. .. biến với hệ số trường (Định lí 1.2.11) Tiết 1.3 quan tâm đến khái niệm số nguyên đại số, bao đóng nguyên √ đại số, vành số nguyên đại số trường Q( d) với c d = −11, −7, −3, −2 vành Euclide (Định...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO VÀNH EUCLIDE CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60