Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÍNH LIÊN THÔNG ĐỈNH, LIÊN THÔNG CẠNH VÀ CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÍNH LIÊN THƠNG ĐỈNH, LIÊN THƠNG CẠNH VÀ CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÍNH LIÊN THƠNG ĐỈNH, LIÊN THƠNG CẠNH VÀ CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU THÁI NGUYÊN, 5/2018 c iii Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục hình vẽ Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ 1.1.1 Định nghĩa ký hiệu 1.1.2 Phép toán đồ thị 11 1.1.3 Đồ thị đẳng cấu 12 1.1.4 Bậc đỉnh đồ thị 13 1.2 ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH 14 1.3 TÍNH LIÊN THƠNG CỦA ĐỒ THỊ 17 1.4 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT 20 1.4.1 Đồ thị rỗng đồ thị không 20 1.4.2 Rừng 20 1.4.3 Đồ thị đầy đủ 21 1.4.4 Đồ thị vòng, đồ thị đường đồ thị bánh xe 21 1.4.5 Đồ thị (đồ thị qui) 22 1.4.6 Đồ thị hai phần 23 1.4.7 Phần bù đơn đồ thị 23 c iv LIÊN THÔNG ĐỈNH VÀ LIÊN THÔNG CẠNH CỦA ĐỒ THỊ 25 2.1 LIÊN THÔNG CẤP k GIỮA HAI ĐỈNH 25 2.2 ĐỒ THỊ k - LIÊN THÔNG 30 2.3 ĐỈNH KHỚP 32 2.4 LIÊN THÔNG CẠNH CẤP ` GIỮA HAI ĐỈNH 34 CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ 39 3.1 DI CHUYỂN TRÊN ĐỒ THỊ 39 3.2 ĐỒ THỊ ĐỒNG BẬC 40 3.3 BÁN NHÂN TỬ 42 3.4 TẬP HỢP TƯƠNG THÍCH LỚN NHẤT 43 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 c DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên {1, 2, 3, } Z(Z+ ) Tập số nguyên (Tập số nguyên không âm) Q(Q+ ) Tập số hữu tỉ (Tập số hữu tỉ không âm) R(R+ ) Tập số thực (Tập số thực không âm) X⊂Y X tập thực tập Y X⊆Y X tập (có thể bằng) tập Y X ∪Y Hợp hai tập hợp X Y X ∩Y Giao hai tập hợp X Y X \Y Hiệu tập hợp X tập hợp Y X 4Y Hiệu đối xứng hai tập hợp X Y G Đồ thị (vơ hướng có hướng) G Đồ thị bù đồ thị G ∅ Đồ thị rỗng V (G), E(G) Tập đỉnh tập cạnh đồ thị G u = (i, j) Cạnh (hay cung) từ đỉnh i tới đỉnh j G[X] Đồ thị G cảm sinh X ⊆ V (G) G−v Đồ thị G cảm sinh V (G) \ {v} G−e Đồ thị nhận từ G bỏ cạnh e khỏi G G|e Đồ thị nhận từ G cách co cạnh e thành đỉnh G+e Đồ thị nhận từ G thêm cạnh e vào G c G+H Tổng hai đồ thị G H N (v) Tập đỉnh kề với đỉnh v đồ thị N (U ) Tập đỉnh V \ U kề với đỉnh thuộc U ⊂ V E(X, Y ) Tập tất cạnh xy đồ thị cho x ∈ X, y ∈ Y d(v) Bậc đỉnh v d(G) Bậc trung bình đồ thị G δ(G) Bậc nhỏ đỉnh đồ thị G 4(G) Bậc lớn đỉnh đồ thị G Kn Đồ thị đầy đủ n đỉnh Km,n Đồ thị hai phần đầy đủ, phần có m n đỉnh P[x,y] Một đoạn đường P từ x tới y dist(u, v) Độ dài đường ngắn từ u tới v µ Dây chuyền hay chu trình đồ thị c DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Sơ đồ khu phố Hình 1.2 Sơ đồ mạch điện Hình 1.3 Đồ thị: đỉnh, cạnh Hình 1.4 Đồ thị với đỉnh cạnh Hình 1.5 Cạnh kép đa đồ thị Hình 1.6 Khuyên đa đồ thị Hình 1.7 Đồ thị có hướng Hình 1.8 Đa đồ thị khơng liên thơng Hình 1.9 Đồ thị G, cạnh e đồ thị G − e G \ e tương ứng Hình 1.10 Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị Hình 1.3 Hình 1.11 Dây cung xy, vòng nhỏ = 4, vòng lớn = Hình 1.12 Đường dài [a0 , a1 , , ak ] đỉnh kề ak Hình 1.13 Các đỉnh khớp cầu e1 , e2 , e3 đồ thị Hình 1.14 Đồ thị G1 , G2 hợp G1 ∪ G2 Hình 1.15 Đồ thị khơng liên thơng Hình 1.16 Ví dụ rừng Hình 1.17 Đồ thị đầy đủ K4 K5 Hình 1.18 Đồ thị vịng C6 , đồ thị đường P6 đồ thị bánh xe W6 Hình 1.19 Đồ thị Petersen (chính qui bậc 3) Hình 1.20 Đồ thị hai phần Hình 1.21 Đồ thị hai phần đầy đủ: K1,3 , K2,3 , K3,3 , K4,3 Hình 1.22 Phần bù đơn đồ thị G c Hình 2.1 Đường đậm, đường yếu Hình 2.2 Khơng có đường yếu từ a tới b Hình 2.3 Đặt trạm kiểm soát thuyền bè từ vùng núi biển Hình 2.4 Tìm đường bắt đầu u tận v Hình 2.5 Tìm chu trình sơ cấp qua u v Hình 2.6 Số liên thơng đỉnh κ(G) số liên thơng cạnh `(G) Hình 2.7 Bản đồ giao thơng Hình 2.8 Đồ thị tương ứng Hình 3.1 Đường xen kẽ chu trình xen kẽ Hình 3.2 Bán nhân tử chu trình Haminton Hình 3.3 Ví dụ 3.2 c Mở đầu Các sơ đồ giao thông, sơ đồ mạng lưới thông tin hay sơ đồ tổ chức quan, trường học quen thuộc với nhiều người Đó hình ảnh sinh động cụ thể khái niệm toán học trừu tượng khái niệm đồ thị (graph) Tuy nhiên, phải nhấn mạnh khái niệm đồ thị khác khơng có liên quan tới khái niệm đồ thị hàm số biết từ bậc phổ thơng Có thể hiểu đơn giản "đồ thị" cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu tố đỉnh cạnh với mối quan hệ chúng Đồ thị mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng Lý thuyết đồ thị đề cập tới nhiều vấn đề toán có ý nghĩa thực tiễn thiết thực, nhiều phương pháp xử lý thuật toán giải độc đáo hiệu quả, giúp ích cho phát triển tư tốn học nói chung khả vận dụng sống thường ngày nói riêng Trong số đáng ý tốn giao thơng, liên lạc Ta xét toán cụ thể sau: Trong mạng giao thông, hai địa điểm a b mạng liên thơng có đường nối liền hai địa điểm Đương nhiên, số đường nối a với b nhiều mức độ liên thơng cao Chẳng hạn hai thành phố có nhiều đường giao thơng với liên lạc thuận tiện Nhận xét đơn giản đưa đến vấn đề quan trọng lý luận thực tiễn: "đánh giá tính liên thơng đồ thị" Để nâng cao khả tư tốn học tìm hiểu thêm vấn đề toán học đại, gần với ứng dụng, tơi chọn đề tài c "Tính liên thơng đỉnh, liên thơng cạnh tính chất bậc đồ thị vơ hướng" Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày kiến thức đồ thị kết lý thuyết, định lý liên quan đến tính liên thơng, tính chất bậc đồ thị vơ hướng số ví dụ ứng dụng cụ thể Nội dung luận văn tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] - [6] trình bày ba chương Cụ thể sau Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại số khái niệm đồ thị: đỉnh cạnh, đồ thị vô hướng, đồ thị có hướng, đồ thị đẳng cấu, đồ thị con, bậc đỉnh tính chất, đường chu trình, đồ thị liên thơng khơng liên thơng, thành phần liên thông Một số đồ thị đặc biệt: rừng cây, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị đều, đồ thị bù, Chương "Liên thông đỉnh liên thơng cạnh đồ thị" trình bày khái niệm tính liên thơng đỉnh, tính liên thông cạnh đồ thị định lý điều kiện để đồ thị k-liên thông đỉnh hay l-liên thơng cạnh Nêu số ví dụ ứng dụng Chương "Các tính chất bậc đồ thị" trình bày số kết bậc đồ thị phép biến đổi bảo toàn bậc đỉnh, đồ thị đồng bậc tính chất, bán nhân tử (đồ thị với đỉnh có bậc hai) chu trình Hamilton đồ thị Các kết tạo sở xây dựng thuật toán tìm tập hợp tương thích lớn nhất, ví dụ ứng dụng Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn soạn thảo, văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng c ... thị: đỉnh cạnh, đồ thị vơ hướng, đồ thị có hướng, đồ thị đẳng cấu, đồ thị con, bậc đỉnh tính chất, đường chu trình, đồ thị liên thông không liên thông, thành phần liên thông Một số đồ thị đặc biệt:... cây, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị đều, đồ thị bù, Chương "Liên thông đỉnh liên thơng cạnh đồ thị" trình bày khái niệm tính liên thơng đỉnh, tính liên thơng cạnh. .. Nếu đỉnh đồ thị G có bậc k G gọi đồ thị bậc k hay đồ thị k - quy (k - regular) Đồ thị bậc gọi đồ thị lập phương (cubic) Dễ dàng chứng minh tính chất sau bậc đỉnh đồ thị: a) Trong đồ thị vô hướng,