ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ANH TÚ TÍNH CHẤT NHÂN TỬ CỦA TỔNG LŨY THỪA CÁC SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2015 c i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Tổng lũy thừ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ANH TÚ TÍNH CHẤT NHÂN TỬ CỦA TỔNG LŨY THỪA CÁC SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp 1.1 Cơng thức tính tổng lũy thừa Pk (n) 1.1.1 Mở đầu tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp 1.1.2 Cơng thức tính Pk (n) 1.2 Tính chất nhân tử Pk (n) 1.2.1 Phương pháp quy nạp 1.2.2 Đa thức Bernoulli tính nhân tử Pk (n) 3 12 12 17 Tổng lũy thừa hệ số nhị thức 2.1 Biểu diễn đa thức tổng lũy thừa hệ số nhị thức 2.1.1 Mở đầu tổng lũy thừa hệ số nhị thức 2.1.2 Biểu diễn đa thức tổng tích hệ số nhị 2.2 Định lý Faulhaber cho tổng lũy thừa hệ số nhị thức 2.2.1 Các hàm phản xạ 2.2.2 Định lý kiểu Faulhaber 2.2.3 Tính chất chia hết fk,m (x) 2.3 Tổng lũy thừa nghịch đảo hệ số nhị thức 2.3.1 Trường hợp tổng quát 2.3.2 Tổng nghịch đảo lũy thừa số tam giác 23 23 23 27 30 30 33 35 42 42 45 thức Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 c ii Lời cảm ơn Trong trình học tập làm luận văn tác giả ln nhận động viên, khuyến khích tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình cấp lãnh đạo, thầy giáo, cô giáo anh chị em, bạn bè đồng nghiệp gia đình Với tình cảm chân thành tác giả bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới: Khoa Tốn-Tin Phịng Đào tạo, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy, cô giáo tham gia giảng dạy cung cấp kiến thức giúp tác giả trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình bảo, giúp đỡ, góp ý để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Tuyên Quang, Ban Giám hiệu Trường Phổ thông Dân tộc Nội trú THPT tỉnh Tuyên Quang với người thân, bạn bè đồng nghiệp tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, với trình độ hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy để luận văn hồn chỉnh Tác giả c Mở đầu Cho k, n số tự nhiên n > 1, ta kí hiệu Pk (n) = 1k + 2k + + (n − 1)k + nk , tổng lũy thừa bậc k số nguyên dương liên tiếp từ đến n Việc nghiên cứu cơng thức tính tổng tính chất tổng thu hút quan tâm nhiều tác giả Thời trẻ, nghiên cứu tổng này, nhà tốn học Gauss tìm công thức cho P1 (n) phương pháp đơn giản thêm số hạng vào số hạng cuối cùng, số hạng thứ hai vào số hạng cuối thứ hai v.v Ông tính P1 (n) = n (n + 1) Rất tiếc phương pháp đơn giản Gauss lại khơng thực với tổng bình phương, lập phương, v,v Về sau có nhiều nhà tốn học khác xây dựng cơng thức tính tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp Pk (n) nghiên cứu số tính chất Pk (n), đặc biệt tính chất nhân tử Tức tác giả chứng minh đại lượng n (n + 1) (2n + 1) thừa số Pk (n) k số chẵn lớn đại lượng n2 (n + 1)2 thừa số Pk (n) k số lẻ lớn (xem [1], [3], ) Năm 2013, A S Dzhumadil’daev D Yeliussizov nghiên cứu tổng lũy thừa hệ số nhị thức mở rộng tự nhiên tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp Trong báo tác giả chứng minh số tính chất tổng lũy thừa này, đặc biệt tính chất nhân tử giống tính chất tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp Với mục đích trình bày lại số kết nghiên cứu tính chất nhân tử tổng lũy thừa số nhị thức trường hợp đặc biệt tổng lũy c số tự nhiên liên tiếp, chọn đề tài "Tính chất nhân tử tổng lũy thừa số nguyên" Luận văn gồm hai chương: Chương : Tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức mở đầu tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp, cơng thức tính tổng Pk (n) giới thiệu tính chất nhấn tử Pk (n) hai phương pháp: quy nạp sử dụng tính chất đa thức Bernoulli Chương 2:Tổng lũy thừa hệ số nhị thức Trong chương trình bày lại số kết nghiên cứu A S Dzhumadil’daev D Yeliussizov ([3]) tính chất biểu diễn đa thức, tính chất nhân tử, tính chất chia hết tổng lũy thừa hệ số nhị thức c Chương Tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp 1.1 1.1.1 Cơng thức tính tổng lũy thừa Pk (n) Mở đầu tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp Cho k, n số nguyên không âm Với k, n > 1, ta kí hiệu Pk (n) = 1k + 2k + + (n − 1)k + nk , tổng lũy thừa bậc k số nguyên dương liên tiếp từ đến n Quy ước Pk (0) = với k > P0 (n) = n với n > 0, ta có Pk (n) với k, n số nguyên không âm Do Pk (0) = P0 (n) = n với k, n nên tổng Pk (n) ta chủ yếu quan tâm xem xét trường hợp k, n > Ta có P1 (n) = + + + (n − 1) + n = n + (n − 1) + + + 1, nên 2P1 (n) = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) = n(n + 1) | {z } n lần Kéo theo P1 (n) = n (n + 1) c Rất tiếc, phương pháp đơn giản tự nhiên lại không sử dụng tính tổng bình phương, lập phương, v,v Có nhiều cách khác để tính tổng Pk (n), chẳng hạn: dự đốn cơng thức sau chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp toán học sử dụng kỹ thuật rút gọn, kỹ thuật rút gọn hữu hiệu Kỹ thuật rút gọn có ý tưởng xuất phát từ việc tính tổng n−1 X 1 1 1 + + + + = − =1− 1.2 2.3 3.4 (n − 1) n k k+1 n k=1 Jakob Bernoulli đã dùng ý tưởng vào việc chứng minh tính phân kỳ chuỗi điều hòa 11 + 21 + 13 + Sử dụng kỹ thuật rút gọn việc tính tổng lũy thừa số nguyên dương ta có kết quả: Mệnh đề 1.1 ([8]) Cho n, k số tự nhiên Khi tổng lũy thừa bậc k số tự nhiên liên tiếp từ đến n tính truy hồi cơng thức P0 (n) = n ! k+1 X k + k+1 Pk (n) = (n + 1) −1− Pk+1−r (n) k+1 r r=2 (1.1) Chứng minh Hiển nhiên k = công thức Ta xét k > 0, áp dụng khai triển nhị thức Newton (n + 1)k+1 ta có ! k+1 X k + k+1−r (n + 1)k+1 − nk+1 = (k + 1)nk + n r r=2 Thay liên tục n công thức n − 1, n − 2, , 2, sau ta cộng vế tương ứng đẳng thức có, ta thu được: ! k+1 X k+1 (n + 1)k+1 − = (k + 1)Pk (n) + Pk+1−r (n) r r=2 Điều kéo theo ! k+1 X k+1 (k + 1) Pk (n) = (n + 1)k+1 − − Pk+1−r (n) , r r=2 c (1.2) hay ! k+1 X k + k+1 Pk (n) = (n + 1) −1− Pk+1−r (n) k+1 r r=2 Mệnh đề chứng minh Nhận xét 1.2 Thực quy nạp công thức theo (1.1) ta nhận thấy Pk (n) đa thức n bậc k + với số tự nhiên k với hệ số lũy thừa cao k+1 Ví dụ Tính tổng 12 + 22 + + n2 Theo công thức truy hồi ta có ! X 3P2 (n) = (n + 1)3 − − P3−r (n) r r=2 ! P1 (n) − P0 (n) = n3 + 3n2 + 3n − Từ P0 (n) = n, P1 (n) = n(n + 1) ta có 2n3 + 3n2 + n n (n + 1) (2n + 1) = P2 (n) = 6 Ví dụ Tính tổng 13 + 23 + + n3 Từ cơng thức truy hồi ta có ! X 4P3 (n) = (n + 1)4 − − P3−r (n) r r=2 ! = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n − P2 (n) − Từ P0 (n) = n, P1 (n) = ! P1 (n) − P0 (n) n (n + 1) (2n + 1) n(n + 1) ; P2 (n) = ta có n4 + 2n3 + n2 n2 (n + 1)2 P3 (n) = = 4 c 1.1.2 Cơng thức tính Pk (n) Trong phần chúng tơi trình bày kết việc xây dựng cơng thức tính tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp Pk (n) Định lý 1.3 ([1]) Cho n, k số nguyên dương Khi Pk (n) = k+1 X as ns , (1.3) s=1 , k+1 k+1−s X as+j (s + j)! as = (−1)j+1 s! j=1 (j + 1)! ak+1 = với < s < k + Chứng minh Ta có Pk (n) = n X sk = 1k + 2k + + nk ; (1.4) s=1 Pk (n − 1) = n−1 X sk = 1k + 2k + + (n − 1)k , (1.5) s=1 Do Pk (n) − Pk (n − 1) = nk n(n + 1) đa thức bậc hai Sử dụng công thức (1.1) ta suy Pk (n) đa thức bậc (k + 1) với số tự nhiên k Do ta biểu diễn Pk (n) sau: Ta thấy P0 (n) = n đa thức bậc nhất; P1 (n) = Pk (n) = a1 n + a2 n2 + + ak nk + ak+1 nk+1 , a1 , a2 , ak , ak+1 số Bây ta tính tốn hệ số a1 , a2 , , ak+1 Ta viết as dạng as = fs (k) (s ∈ N, < s k + 1) c Ta có k+1 X Pk (n) = as ns s=1 k+1 X Pk (n − 1) = as (n − 1)s s=1 Do Pk (n) − Pk (n − 1) = k+1 X s as n − s=1 k+1 X as (n − 1)s = nk s=1 Khai triển số hạng tổng (n − 1)s ta có Pk (n) − Pk (n − 1) = b1 n + b2 n2 + b3 n3 + + bk nk + bk+1 nk+1 = nk , (1.6) bs = f (k, a1 , a2 , , ak , ak+1 ) (0 < s ≤ k + 1) Điều kéo theo bs = (s 6= k) cịn bk = Vì a1 , a2 , , ak , ak+1 số nên bs viết dạng f (k), k số tự nhiên biết Ta có k+1 X s=1 k+1 X s as n − k+1 X as (n − 1)s = nk s=1 as ns = a1 n + a2 n2 + + ak+1 nk+1 s=1 Ta phân tích k+1 X as (n − 1)s = a1 (n − 1) + a2 (n − 1)2 + + ak+1 (n − 1)k+1 s=1 = a1 (n − 1) + a2 (n2 + −2n + 1) + a3 (n3 − 3n2 + 3n − 1) k(k − 1)nk−2 k k−1 + · · · + ak n − kn + − (k + 1)knk−1 k+1 k + ak+1 n − (k + 1)n + − c ... cứu tổng lũy thừa hệ số nhị thức mở rộng tự nhiên tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp Trong báo tác giả chứng minh số tính chất tổng lũy thừa này, đặc biệt tính chất nhân tử giống tính chất tổng. .. tài "Tính chất nhân tử tổng lũy thừa số nguyên" Luận văn gồm hai chương: Chương : Tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức mở đầu tổng lũy thừa số tự... Yeliussizov ([3]) tính chất biểu diễn đa thức, tính chất nhân tử, tính chất chia hết tổng lũy thừa hệ số nhị thức c Chương Tổng lũy thừa số tự nhiên liên tiếp 1.1 1.1.1 Cơng thức tính tổng lũy thừa Pk