ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 c ĐẠI H[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG Ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ NGÂN THÁI NGUYÊN - 2019 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa công bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày tháng 09 năm 2019 Tác giả Lăng Thị An Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân i c Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, TS Nguyễn Thị Ngân Tôi muốn gửi lời cảm ơn mơn Giải tích, Khoa Toán, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng 09 năm 2019 Tác giả Lăng Thị An ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Biến đổi Fourier 1.1.1 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.1.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.1.3 Biến đổi Fourier tích chập Không gian Sobolev 1.2.1 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 1.2.1.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev 1.2.1.2 Không gian Sobolev H k (Q) 1.2.1.3 Vết hàm mặt 1.2.1.4 Không gian Hok (Q) 1.2.2 Không gian Sobolev cấp thực 1.2.2.1 Không gian H s (Rn ) 1.2.2.2 Không gian Hos (Ω) không gian H s (Ω) 12 1.2.2.3 Các không gian đối ngẫu 13 1.3 Toán tử giả vi phân 16 1.4 Các đa thức Chebyshev 20 iii c 1.4.1 Đa thức Chebyshev loại 20 1.4.2 Đa thức Chebyshev loại hai 22 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng 2.1 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) 2.1.1 2.1.2 2.2 25 26 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) 26 Ví dụ 29 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) 30 2.2.1 2.2.2 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) 30 Ví dụ 35 Kết luận 38 iv c Lời mở đầu Phương trình cặp tích phân xuất giải số toán biên hỗn hợp phương trình vật lý tốn Các toán liên quan đến lý thuyết đàn hồi, vết nứt, dị tật mơi trường , đưa đến việc giải phương trình cặp khác Tính giải phương trình cặp tích phân nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đến Nguyễn Văn Ngọc, G Ia Popov, Với mong muốn nghiên cứu vấn đề này, chọn đề tài "Phương trình cặp tích phân phép biến đổi Fourier với biểu trưng tăng" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức sở biến đổi Fourier,khơng gian Sobolev, tốn tử giả vi phân, đa thức Chebyshev loại 1, đa thức chebyshev loại Chương 2: Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng Trong chương trình bày tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) |ξ|2m+1 A(ξ) Trong trường hợp có nêu ví dụ minh họa Thái Nguyên, ngày tháng 09 năm 2019 Tác giả c Lăng Thị An c Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức biến đổi Fourier, không gian Sobolev, toán tử giả vi phân đa thức Chebysev Những kiến thức tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1 1.1.1 Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh Vì hàm S hàm khả tổng Rn , nên biến đổi Fourier xác định theo công thức Z F [ϕ](ξ) = ϕ(x)eix.ξ dx, ϕ ∈ S Rn Sau tính chất quan trọng biến đổi Fourier S 1) Có thể lấy đạo hàm số lần tùy ý dấu tích phân Fourier Dα F [ϕ](ξ) = F [(ix)α ϕ](ξ) 2) Biến đổi Fourier đạo hàm F [Dα ϕ](ξ) = (−iξ)α F [ϕ](ξ) c 3) Đẳng thức Paserval Giả sử f ∈ L1 (Rn ) Khi F [f ] hàm liên tục bị chặn Rn nên hàm suy rộng quy S Khi ta có đẳng thức Z Z F [f ](ξ)ϕ(ξ)dξ = f (x)F [ϕ](x)dx Rn (1.1) Rn 4) Công thức biến đổi Fourier ngược ϕ = F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]], F −1 [ϕ(ξ)](x) = F [ϕ(ξ)](x) (2π)n Định lý 1.1.1 Biến đổi Fourier F từ S sang S tương ứng một-một liên tục vào nó, nghĩa đẳng cấu tuyến tính Chứng minh Theo tính chất 1) 2), ta có Z b Dα ϕ(ξ) = eix.ξ (i)|α| xα ϕ(x)dx Rn Z |β| β eixξ Dβ ψ(x)dx b (−i) ξ ψ(ξ) = (1.2) Rn b Trong (1.2) thay ψb = Dα ϕ(ξ) vận dụng tính chất 1), ta Z |α|+|β| β α b (−i) ξ Dξ ϕ(ξ) = eixξ Dxβ (xα ϕ(x))dx (1.3) Rn Sử dụng công thức (1.1), ta Z m X m Z X b m6 ||ϕ|| |Dβ (xα ϕ(x))|dx |β|=0 α=0 Rn Rn Cm ||ϕ||m+n+1 dx = C ||ϕ||m+n+1 m (1 + |x|)n+1 b thuộc S , theo (1.1), Như vậy, ϕ ∈ S , ϕ bi → ϕ b S Làm tương tự toán tử F −1 , ϕi → ϕ S , ϕ ta có kết tốn tử F ánh xạ đơn trị liên tục từ S vào S Định lý chứng minh c ... giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng 2.1 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) 2.1.1 2.1.2 2.2 25 26 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng. .. PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG Ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học... trình cặp tích phân phép biến đổi Fourier với biểu trưng tăng" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình