ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGÔ THỊ BẮC PHƯƠNG PHÁP VỊ TRÍ SAI KÉP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ THỊ BẮC PHƯƠNG PHÁP VỊ TRÍ SAI KÉP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGÔ THỊ BẮC PHƯƠNG PHÁP VỊ TRÍ SAI KÉP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên, 10/2018 c i Mục lục Mở đầu Chương Các phương pháp số giải gần phương trình 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Phương pháp chia đôi 1.3 Phương pháp lặp 1.4 Phương pháp Newton-Raphson số mở rộng 15 1.5 Phương pháp dây cung 19 Chương Phương pháp vị trí sai kép 23 2.1 Phương pháp vị trí sai đơn 23 2.2 Phương pháp vị trí sai kép 35 2.3 Lịch sử phương pháp vị trí sai kép 46 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 c Mở đầu Nội dung Giải phương trình hệ phương trình giảng dạy trường phổ thông thường dừng lại kỹ thuật giải (phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, ) số lớp phương trình, hệ phương trình tương đối đơn giản Mặt khác, toán thực tế thường dẫn đến phương trình hệ phương trình phức tạp mà giải nhờ phương pháp gần Vì vậy, việc đưa phương pháp giải gần phương trình hệ phương trình vào chương trình phổ thơng có ý nghĩa Các phương pháp giải gần phương trình hệ phương trình phi tuyến trình bày kĩ giáo trình Giải tích số, nhiên, phương pháp vị trí sai phương pháp vị trí sai kép cịn chưa quan tâm mức tài liệu tiếng Việt Luận văn có mục đích trình bày phương pháp giải gần phương trình hệ phương trình, đặc biệt phương pháp vị trí sai phương pháp vị trí sai kép Luận văn cố gắng minh họa phương pháp giải gần thơng qua ví dụ tính tốn máy Luận văn cố gắng tìm hiểu trình bày lịch sử phương pháp vị trí sai kép Luận văn trình bày phương pháp số giải phương trình hệ phương trình, đặc biệt phương pháp vị trí sai phương pháp vị trí sai kép hai chương: Chương Các phương pháp số giải gần phương trình Nhằm kết nối làm sáng tỏ phương pháp vị trị sai phương pháp vị trí sai kép trình bày Chương 2, chương trình bày tổng quan phương pháp số giải gần phương trình c Chương Phương pháp vị trí sai kép Chương trình bày phương pháp vị trí sai đơn phương pháp vị trí sai kép giải phương trình đa thức giải hệ phương trình tuyến tính Luận văn hồn thành Khoa Toán–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới lãnh đạo Khoa Toán–Tin khoa chức trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn thời hạn Tác giả xin chân thành cám ơn PGS.TS Tạ Duy Phượng tận tình hướng dẫn tác giả nghiên cứu đề tài viết luận văn Xin cám ơn trường trung học phổ thông Hàn Thuyên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ Xin cám ơn gia đình thơng cảm động viên khích lệ tác giả hồn thành khóa học Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Người viết luận văn Ngô Thị Bắc c Chương Các phương pháp số giải gần phương trình Trong chương này, chúng tơi giới thiệu tốn tìm nghiệm phương trình phi tuyến, phương pháp số giải phương trình phi tuyến, bao gồm phương pháp chia đôi, phương pháp lặp, phương pháp Newton, phương pháp dây cung Các phương pháp trình bày chi tiết thuật tốn ví dụ minh họa, có so sánh phương pháp 1.1 Kiến thức chuẩn bị Nhiều toán khoa học kỹ thuật phát biểu sau Bài toán 1.1.1 ([4]) Cho hàm liên tục f (x), tìm số x = ξ cho f (ξ) = Các toán gọi tốn tìm nghiệm phương trình f (x) = Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Số x = ξ thỏa mãn f (ξ) = gọi nghiệm phương trình f (x) = hay không điểm hàm f (x) Hàm f (x) hàm liên tục phi tuyến Một số cách giải phương trình phi tuyến là: Tìm nghiệm giải tích: thực với số phương trình đặc biệt c Phương pháp đồ thị: hữu ích cho việc đưa dự đoán ban đầu cho phương pháp khác Phương pháp số: gồm phương pháp mở phương pháp bracket (khoảng) Các phương pháp bracket bắt đầu với khoảng phân ly chứa nghiệm sử dụng thủ tục để thu khoảng phân ly nhỏ chứa nghiệm Ví dụ phương pháp chia đơi, phương pháp vị trí sai Trong phương pháp mở, phương pháp bắt đầu với dự đoán ban đầu Trong lần lặp, ta tìm dự đốn nghiệm Các phương pháp mở thường hữu ích phương pháp bracket chúng khơng hội tụ tới nghiệm Một số phương pháp mở thường gặp phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton-Raphson, phương pháp dây cung Cách phân loại phương pháp giải phương trình phi tuyến minh họa hình sau Hình 1.1: Phân loại phương pháp giải phương trình phi tuyến Hầu hết phương pháp số tìm nghiệm chất phương pháp lặp Ý tưởng phương pháp lặp là: Bắt đầu với phép xấp xỉ ban đầu x0 , xây dựng dãy lặp {xk } công thức lặp với hy vọng dãy hội tụ tới nghiệm f (x) = Hai khía cạnh quan trọng phương pháp lặp là: hội tụ tiêu chuẩn c dừng Việc xác định tiêu chuẩn dừng thống phức tạp nhiều lý Dưới tiêu chuẩn thơ, sử dụng để dừng phép lặp chương trình máy tính Tiêu chuẩn dừng phương pháp lặp tìm nghiệm ([4]) Chấp nhận x = ck nghiệm f (x) = thỏa mãn tiêu chuẩn sau: |f (ck )| ≤ ε (Giá trị hàm nhỏ giới hạn chấp nhận được) |c − ck | k−1 ≤ ε (Sự thay đổi tương đối nhỏ giới |ck | hạn chấp nhận được) Số lần lặp k lớn số N xác định trước 1.2 Phương pháp chia đôi Như tên gợi ý từ tên phương pháp, phương pháp dựa việc chia đơi liên tục khoảng chứa nghiệm Ý tưởng phương pháp đơn giản Ý tưởng chính: Giả sử f hàm liên tục đoạn [a, b] f (a).f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm thực x = ξ nằm đoạn [a, b] a+b điểm nằm [a, b] Nếu Chia đôi đoạn [a, b] đặt c = f (c) = c nghiệm Ngược lại, hai đoạn [a, c] [c, b] chứa nghiệm Tìm đoạn mà chứa nghiệm tiếp tục chia đơi đoạn Tiếp tục q trình chia đơi nghiệm nằm đoạn đủ nhỏ cho đảm bảo độ xác yêu cầu Để thực thi ý tưởng trên, ta phải biết phép lặp đoạn hai đoạn chứa nghiệm f (x) = Định lý giá trị trung gian giải tích giúp ta xác định khoảng phép lặp Chứng minh định lý xem giáo trình giải tích c Định lý 1.2.1 (Định lý giá trị trung gian) Giả sử (i) f (x) liên tục đoạn đóng [a, b], (ii) M số nằm f (a) f (b) Khi đó, tồn số c thuộc [a, b] cho f (c) = M Hệ quả: Giả sử (i) f (x) liên tục đoạn đóng [a, b], (ii) f (a) f (b) ngược dấu Khi tồn nghiệm x = c f (x) = đoạn [a, b] Thuật tốn 1.2.2 (Phương pháp chia đơi, [4]) Đầu vào: f (x) hàm cho trước, a0 , b0 hai số thỏa mãn f (a0 )f (b0 ) < Đầu ra: Một phép xấp xỉ nghiệm f (x) = [a0 , b0 ] Với k = 0, 1, 2, , thực thỏa mãn: a + bk • Tính ck = k • Sử dụng tiêu chuẩn dừng kiểm tra ck nghiệm cần tìm Nếu dừng • Nếu ck khơng nghiệm cần tìm, kiểm tra f (ck )f (ak ) < Nếu đúng, đặt bk+1 = ck ak+1 = ak Nếu ngược lại, đặt ak+1 = ck , bk+1 = bk Kết thúc Ví dụ 1.2.3 Tìm nghiệm dương f (x) = x3 − 6x2 + 11x − = phương pháp chia đôi Giải Tìm đoạn [a, b] chứa nghiệm Vì phương pháp chia đơi tìm nghiệm đoạn [a, b] cho trước, ta phải tìm đoạn [a, b] trước Ta thực theo định lý giá trị trung gian Cho a0 = 2.5 b0 = Cả hai giả thiết định lý giá trị trung gian với f (x) đoạn [2.5, 4] (i) f (x) = x3 − 6x2 + 11x − liên tục [2.5, 4] (ii) f (2.5)f (4) = (−0.375).6 < c Do đó, theo định lý giá trị trung bình tồn nghiệm f (x) = [2.5, 4] Dữ liệu đầu vào f (x) = x3 − 6x2 + 11x − a0 = 2.5, b0 = Lặp lần (k = 0): a0 + b0 = 3.25 Vì f (c0 )f (a0 ) = f (3.25)f (2.5) < 0, đặt b1 = c0 , a1 = a0 c0 = Lặp lần (k = 1): a1 + b1 = 2.8750 Vì f (c1 )f (a1 ) > 0, đặt a2 = c1 = 2.8750, b2 = b1 c1 = Lặp lần (k = 2): a1 + b1 = 3.0625 Vì f (c2 )f (a2 ) = f (3.0625)f (2.875) < 0, đặt b3 = c2 , a3 = a2 c2 = Lặp lần (k = 3): a + b2 = 2.9688 Rõ ràng phép lặp hội tụ dần nghiệm xác x = c3 = Chú ý 1.2.4 Từ phát biểu thuật tốn chia đơi, thuật tốn luôn hội tụ tới nghiệm Tuy nhiên, tốc đội hội tụ phương pháp chia đơi chậm Có thể lần lặp thứ k xảy việc tính ck bị giới hạn máy tính Tốt ta nên tính ck ck = a k + bk − a k Tiêu chuẩn dừng Vì phương pháp lặp, ta phải xác định số tiêu chuẩn dừng mà cho phép phép lặp kết thúc Dưới số tiêu chuẩn dừng thường gặp c ... vị trí sai phương pháp vị trí sai kép Luận văn cố gắng minh họa phương pháp giải gần thơng qua ví dụ tính tốn máy Luận văn cố gắng tìm hiểu trình bày lịch sử phương pháp vị trí sai kép Luận văn. .. phương pháp vị trí sai phương pháp vị trí sai kép cịn chưa quan tâm mức tài liệu tiếng Việt Luận văn có mục đích trình bày phương pháp giải gần phương trình hệ phương trình, đặc biệt phương pháp. .. tỏ phương pháp vị trị sai phương pháp vị trí sai kép trình bày Chương 2, chương trình bày tổng quan phương pháp số giải gần phương trình c Chương Phương pháp vị trí sai kép Chương trình bày phương