ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH MINH THƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH MINH THƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH MINH THƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU HAI CẤP Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2016 c i Mục lục Danh mục hình vẽ ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.2 Bài tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 1.3 Tính chất tập nghiệm hữu hiệu toán 10 Chương Bài toán tối ưu hai cấp 12 2.1 Nội dung toán 12 2.2 Đưa toán tối ưu cấp 16 2.3 Tính chất tốn tối ưu hai cấp 18 2.4 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính 22 2.5 Một số hướng ứng dụng 25 Chương Tối ưu hai cấp tuyến tính tối ưu đa mục tiêu 27 3.1 Nội dung vấn đề 27 3.2 Quan hệ với tối ưu đa mục tiêu 29 3.3 Quan hệ với tối ưu tập nghiệm hữu hiệu 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 c ii Danh mục hình vẽ Bảng 2.1 So sánh nghiệm hai Ví dụ 2.3 2.2 Hình 2.1 Minh họa Ví dụ 2.1 Hình 2.2 Khơng gian ngiệm cấp (Ví dụ 2.1) Hình 2.3 Nghiệm tối ưu cấp (Ví dụ 2.2) Hình 2.4 Khơng gian ngiệm cấp (Ví dụ 2.3) Hình 2.5 Nghiệm tối ưu cấp (Ví dụ 2.3) Hình 2.6 Minh họa tập S, S(x), P (x) M Ví dụ 2.4 c Mở đầu Luận văn đề cập tới toán tối ưu hai cấp (viết tắt BPP) có dạng: {F (x, y) | x ∈ X, G(x, y) ≤ 0, y ∈ arg {f (x, y) | y ∈ Y, g(x, y) ≤ 0}}, X ⊆ Rn , Y ⊆ Rm , F, G, f, g : Rm+n → R Đây toán qui hoạch toán học theo hai nhóm biến x ∈ Rn , y ∈ Rm ràng buộc toán này, y nghiệm toán tối ưu thứ hai (với y véctơ biến x véctơ tham số) Như hiểu đơn giản tối ưu hai cấp toán tối ưu mà ràng buộc lại tốn tối ưu khác Bài toán tối ưu hai cấp xuất sách báo, tạp chí có liên quan tới hệ thống có phân cấp, thực tế tối ưu hai cấp nảy sinh từ nhiều ứng dụng đa dạng hoạt động vận tải, kinh tế, sinh thái học, kỹ thuật, Bài toán tối ưu hai cấp nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, ý nghĩa khoa học khả ứng dụng toán Tối ưu hai cấp phân thành: toán hai cấp mục tiêu (được nghiên cứu ứng dụng nhiều hơn) toán hai cấp nhiều mục tiêu (khó ứng dụng có thuật tốn hiệu quả) Khi hàm mục tiêu hàm ràng buộc toán hàm tuyến tính, ta có tốn tối ưu hai cấp tuyến tính Tối ưu hai cấp tốn NP - khó thuộc lớp tốn tối ưu tồn cục, nói chung phức tạp khó giải Nói riêng bao hàm toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto) trường hợp cụ thể Nhiều phương pháp xử lý đề xuất, nhiên hiệu khơng cao chủ yếu tốn hai cấp tuyến tính với hay nhiều mục tiêu Đề tài luận văn "Một số tính chất tốn tối ưu hai cấp" c có mục đích tìm hiểu trình bày nội dung, nguồn gốc toán tối ưu hai cấp, dạng toán tối ưu hai cấp tính chất cần biết toán, đặc biệt lưu ý trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính, nhằm giúp việc học tập, nghiên cứu tốn tối ưu hai cấp thuận lợi dễ dàng Cuối cùng, luận văn giới thiệu số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại số kiến thức tập lồi đa diện, khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) toán tối ưu đa mục tiêu tính chất đặc trưng đỉnh cạnh hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu Chương "Bài toán tối ưu hai cấp" giới thiệu khái quát nội dung, xuất xứ tốn tối ưu hai cấp, tính chất cần biết toán, đặc biệt lưu ý tới trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính mục tiêu Cuối chương, đề cập tới số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế Chương "Tối ưu hai cấp tuyến tính tối ưu đa mục tiêu" xét mối liên hệ toán tối ưu hai cấp tuyến tính tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu Có thể mơ tả tốn dạng tốn kia, ngược lại, Từ suy hệ toán tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu NP - khó Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TS Trần Vũ Thiệu Qua tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả c suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2016 Học viên Trịnh Minh Thường c Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi tập đa diện, khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu nêu lại tính chất đặc trưng đỉnh cạnh hữu hiệu toán Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [7] [9] 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi Rn khái niệm có liên quan Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi λa + (1 − λ)b ∈ C ∀a, b ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], tức C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc • Ta ý tới số tập lồi đặc biệt sau: a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn , a 6= α ∈ Rn c) Các nửa khơng gian đóng H + = {x ∈ Rn : aT x ≥ α}, H − = {x ∈ Rn : aT x ≤ α} • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau: c a) Giao họ tập lồi tập lồi: C, D lồi C ∩ D lồi b) Nếu C, D ⊂ Rn tập lồi C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi c) Nếu C ∈ Rm , D ∈ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm+n (Có thể mở rộng cho nhiều tập lồi) Định nghĩa 1.2 Cho E tập hợp Rn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, ký hiệu aff E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu conv E Định nghĩa 1.3 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M , ký hiệu dim M , thứ nguyên (số chiều) khơng gian song song với b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dim C, thứ nguyên hay số chiều bao afin aff C Định nghĩa 1.4 Tập lồi K ⊆ Rn gọi nón lồi K có thêm tính chất λx ∈ K với x ∈ K λ > Định nghĩa 1.5 Một tập lồi F tập lồi C gọi diện C x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F, < λ < [x, y] ⊂ F , tức đoạn thẳng thuộc C có điểm thuộc F đoạn thẳng phải nằm F Một diện có số chiều gọi điểm cực biên C Nói cách khác, điểm thuộc C mà khơng thể điểm đoạn thẳng với hai đầu mút khác thuộc C Một diện có số chiều gọi cạnh C: cạnh hữu hạn diện đoạn thẳng, cạnh vơ hạn diện nửa hay đường thẳng Một diện C, khác ∅ khác C, gọi diện thực C Ví dụ: diện thực hình lập phương R3 đỉnh, 12 cạnh mặt Định nghĩa 1.6 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa không gian đóng gọi tập lồi đa diện, ký hiệu D Nói cách khác, D tập nghiệm hệ c hữu hạn phương trình (hoặc) bất phương trình tuyến tính Một tập lồi đa diện bị chặn khơng bị chặn (khơng giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vng, hình trịn, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi R2 Tập lồi đa diện mà đồng thời nón, cịn gọi nón lồi đa diện Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện gọi đỉnh tập đa diện Định nghĩa 1.7 Đoạn thẳng [x1 , x2 ], x1 6= x2 , gọi cạnh hữu hạn D x1 , x2 đỉnh D rank {ai : , x1 = , x2 = bi } = n − Định nghĩa 1.8 Tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0} ⊆ D, x0 ∈ D, d ∈ Rn , gọi cạnh vô hạn D rank {ai : , x = bi , ∀x ∈ Γ} = n − Để hiểu rõ tập lồi đa diện ta cần biết số khái niệm sau Trong toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm }, tức D tập nghiệm khơng âm hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến tính Tập khơng chứa đường thẳng (do x ≥ 0) nên D có đỉnh Từ định nghĩa nêu cho thấy: a) Điểm x0 ∈ D đỉnh D hệ véctơ {ak : ak , x0 = bk } ∪ {ek : x0k = 0} có hạng n b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) D nghiệm sở hệ Ay ≤ 0, eT y = 1, y ≥ 0, eT = (1, , 1) c ... tốn hai cấp tuyến tính với hay nhiều mục tiêu Đề tài luận văn "Một số tính chất tốn tối ưu hai cấp" c có mục đích tìm hiểu trình bày nội dung, nguồn gốc toán tối ưu hai cấp, dạng toán tối ưu hai. .. nguồn gốc tốn tối ưu hai cấp, tính chất toán, đặc biệt lưu ý tới trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính mục tiêu Cuối chương, đề cập tới số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế... 12 2.2 Đưa toán tối ưu cấp 16 2.3 Tính chất tốn tối ưu hai cấp 18 2.4 Bài tốn tối ưu hai cấp tuyến tính 22 2.5 Một số hướng ứng dụng