ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————————— TỐNG THU TRANG LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 c ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————————— TỐNG THU TRANG LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————————— TỐNG THU TRANG LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG THẾ TUẤN THÁI NGUYÊN - 2020 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Lý thuyết số mũ Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính" khơng có chép người khác Khi viết luận văn tơi có tham khảo số tài liệu, tất có nguồn gốc rõ ràng hoàn thành hướng dẫn TS Hồng Thế Tuấn Tơi xin hồn toàn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Tống Thu Trang i c Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Hồng Thế Tuấn - Viện Tốn học tận tình dẫn nhiệt tình đóng góp ý kiến q báu giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô giáo khoa Sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô bạn trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện nhiệt tình đóng góp ý kiến giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi Những người ln u thương ủng hộ vô điều kiện Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 Người thực Tống Thu Trang ii c Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.1.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Hàm Mittag-Leffler bất đẳng thức Gronwall suy rộng Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân 1.2.1 Số mũ Lyapunov hàm 1.2.2 Phổ Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính 10 1.1.4 1.2 1.3 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính 11 Lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ 2.1 13 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ 13 2.1.1 Số mũ Lyapunov phân thứ hàm 13 2.1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính 19 2.2 Cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị không gian Euclide Rd 23 2.3 Số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số hai chiều 27 Tài liệu tham khảo 32 iii c Lời nói đầu Phép tính vi-tích phân cơng cụ lý tưởng để mơ tả q trình tiến hóa Thơng thường, q trình tiến hóa biểu diễn phương trình vi phân thường Bằng việc nghiên cứu (định tính định lượng) nghiệm phương trình, người ta biết trạng thái thời dự đoán dáng điệu khứ hay tương lai trình Tuy nhiên, tượng hay gặp sống có tính chất phụ thuộc vào lịch sử Đối với tượng này, việc ngoại suy dáng điệu thời điểm tương lai từ khứ phụ thuộc vào quan sát địa phương lẫn toàn khứ Hơn nữa, phụ thuộc nói chung khơng giống tất thời điểm Phương trình vi phân phân thứ lý thuyết đời để đáp ứng u cầu Bài tốn quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm Đối với trường hợp phương trình tuyến tính hệ số hằng, dáng điệu nghiệm mô tả đầy đủ thông qua phần thực giá trị riêng ma trận hệ số bội chúng Với phương trình tuyến tính có hệ số tuần hồn, lý thuyết Floquet sử dụng để mô tả cặn kẽ dáng điệu tất nghiệm, xem [1] Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số biến thiên, phương pháp số mũ đặc trưng đề xuất Lyapunov, xem [1,6], công cụ hữu hiệu Ý tưởng phương pháp so sánh độ tăng trưởng hay suy giảm nghiệm với hàm mũ Độ tăng trưởng (suy giảm) xác định thông qua số mũ đặc trưng (ngày gọi số mũ Lyapunov cổ điển) Người ta biết phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Euclide Rd có nhiều d số mũ Lyapunov phân biệt Tập tất số mũ với bội chúng gọi phổ Lyapunov Nhiều tính chất quan trọng phương iv c trình tính ổn định, tính hyperbolic, tính rẽ nhánh, v.v, đặc trưng phổ Lyapunov Tuy nhiên, phương trình vi phân phân thứ tuyến tính, người ta chứng minh số mũ Lyapunov nghiệm không tầm thường khơng âm Do đó, số mũ khơng thể dùng để đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng hay suy giảm nghiệm loại phương trình Nó dẫn đến đòi hỏi phải xây dựng lý thuyết số mũ phù hợp cho phương trình phân thứ Trong năm 2014, tác giả Nguyễn Đình Cơng, Đồn Thái Sơn, Hồng Thế Tuấn Stefan Siegmund giải vấn đề nói cơng bố kết họ báo [3,4] Mục đích luận văn trình bày lại kết [3,4] Chúng chia luận văn làm hai chương Chương 1: Giới thiệu kiến thức chuẩn bị Cụ thể sau: Phần 1.1 giới thiệu nét sở phương trình vi phân phân thứ tuyến tính; Phần 1.2 đề cập sở lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân cổ điển; Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Chương 2: Trình bày lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ cho phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Chương gồm ba phân Thứ nhất, Phần 2.1, chúng tơi nói số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này, số tính chất số mũ Lyapunov phân thứ, phổ Lyapunov phân thứ cho phương trình phân thứ tuyến tính mối liên hệ phổ Lyapunov với tính ổn định hệ Tiếp đến, Phần 2.2, thảo luận cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, chúng tơi tính số mũ Lyapunov phân thứ cho nghiệm số phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3 Do thời gian lực có hạn, số điểm trình bày luận văn cịn thiếu xót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy, cô bạn đồng nghiệp v c Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức sở luận văn Nội dung chương gồm ba phần Phần 1.1 giới thiệu nét sở phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Phần 1.2 đề cập sở lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân cổ điển Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính 1.1 Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Phần dành để giới thiệu sơ lược phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Nội dung gồm bốn mục Mục 1.1.1 nhắc lại khái niệm tích phân phân thứ Riemann–Liouville số tính chất Mục 1.1.2 nói đạo hàm Riemann–Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo tính chất Mục 1.1.3 thảo luận tồn tính nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, Mục 1.1.4 liên quan tới hàm Mittag-Leffler dáng điệu tiệm cận chúng 1.1.1 Tích phân phân thứ Hiểu theo nghĩa đó, tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Cụ thể, cho α > [a, b] ⊂ R, định nghĩa tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] → R α Ia+ x(t) := Γ(α) Z t (t − τ )α−1 x(τ ) dτ a c với t ∈ (a, b], hàm Gamma Γ : (0, ∞) → R>0 có biểu diễn Z ∞ tα−1 exp(−t) dt, Γ(α) := 0 := I với I toán xem [5, Definition 2.1, p 13] Khi α = 0, quy ước Ia+ tử đồng Dễ thấy định nghĩa trên, với α ∈ (0, 1), x khả tích Rb đoạn [a, b], tức a |x(t)| dt < ∞, tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α x tồn hầu khắp nơi [a, b] Hơn nữa, thân tích phân hàm khả tích Bổ đề 1.1.1 ([5, Theorem 2.1]) Giả sử x : [a, b] → R hàm khả tích α x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, I α x [a, b] Khi đó, tích phân Ia+ a+ hàm khả tích [a, b] Dưới tích phân số hàm đơn giản Ví dụ 1.1.2 (i) Cho x(t) = t2 , t > Chúng ta có 0.5 I0+ x(t) = Γ(3) 2.5 t Γ(3.5) với t > (ii) Cho x(t) = exp(t) Chúng ta có 0.5 I0+ x(t) = ∞ X j=0 t0.5+j Γ(j + 1.5) với t > 1.1.2 Đạo hàm phân thứ Cùng với tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ hai khái niệm quan trọng phép tính vi–tích phân phân thứ Có nhiều khái niệm đạo hàm phân thứ xây dựng Tuy nhiên, đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo dùng rộng rãi Sau nhắc lại định nghĩa hai loại đạo hàm Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Người ta định nghĩa đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] → R m−α α Da+ x(t) := Dm Ia+ x(t), c t ∈ (a, b], m := dαe số nguyên nhỏ lớn α Dm = dm dtm đạo hàm thơng thường cấp m Trong đó, đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x(t) định nghĩa C m−α m α Da+ x(t) := Ia+ D x(t), t ∈ (a, b], xem [5, Chapter 3, p 49] Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), , xd (t))T , đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α α α x(t) := (C Da+ x1 (t), ,C Da+ xd (t))T Da+ Nhận xét 1.1.3 (i) Nếu α số nguyên, đạo hàm phân thứ cấp α (theo nghĩa Riemann–Liouville Caputo) đạo hàm thơng thường cấp (hoặc C D ) toán tử α Trong trường hợp α = 0, quy ước Da+ a+ đồng (ii) Nếu x hàm liên tục tuyệt đối [a, b], tức x ∈ AC ([a, b]; R), đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Caputo hàm tồn hầu khắp nơi [a, b], xem [5, Lemma 2.12, p 27] (iii) Khác với đạo hàm thông thường, đạo hàm phân thứ khơng có tính chất nửa nhóm Cụ thể, cho α1 , α2 số dương x hàm liên tục tuyệt đối đoạn [a, b] Khi đó, nói chung có α1 α2 α2 α1 α1 +α2 Da+ Da+ x(t) 6= Da+ Da+ x(t) 6= Da+ x(t), t ∈ (a, b], xem [5, p 30] [5, Remark 3.3, p 56] Với hàm x đủ quy, đạo hàm phân thứ nghịch đảo trái toán tử tích phân phân thứ Bổ đề 1.1.4 ([5, Theorem 2.14]) Cho α ≥ Khi đó, với x ∈ L1 [a, b], có α α Da+ Ia+ x(t) = x(t) với hầu hết t ∈ [a, b] Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ nói chung khơng tốn tử nghịch đảo phải tích phân phân thứ c dt ≤ 2M kx(t)k2 Vì vậy, −2M ≤ dkx(t)k2 /dt ≤ 2M kx(t)k2 Điều dẫn tới −2M (t − t0 ) ≤ log kx(t)k − log kx(t0 )k ≤ 2M (t − t0 ) Chia đại lượng cho t cho t → ∞, −M ≤ χ(kx(·)k) ≤ M Định lý hồn thành Nói chung, hệ phương trình vi phân tuyến tính d-chiều có khơng q d số mũ Lyapunov phân biệt 10 c Định lý 1.2.7 ([1, Corollary 2.3.1]) Các nghiệm không tầm thường hệ tuyến tính d-chiều có khơng q d số mũ Lyapunov phân biệt Từ đây, có định nghĩa sau phổ Lyapunov hệ (1.6) Định nghĩa 1.2.2 Tập tất số mũ Lyapunov khác nghiệm (1.6) gọi phổ Lyapunov Phổ Lyapunov có vai trị quan trọng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân qua định lý đơn giản Định lý 1.2.8 Xét hệ (1.6) Nếu phổ Lyapunov hệ chứa số mũ âm hệ ổn định tiệm cận 1.3 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Trong phần thảo luận số mũ Lyapunov cho nghiệm không tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cho d ≥ A : [0, ∞) → Rd×d hàm liên tục nhận giá trị ma trận Xét hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính cấp α ∈ (0, 1) C α D0+ x(t) = A(t)x(t), ∀t ∈ (0, ∞), x(0) = x0 ∈ Rd (1.7) (1.8) Như trên, hệ (1.7)–(1.8) có nghiệm [0, ∞) Một điều đáng ngạc nhiên báo [3] nghiệm khơng tầm thường tốn giá trị đầu (1.7)–(1.8) không âm Bổ đề 1.3.1 [3, Lemma 3.1] Xét hệ (1.7)–(1.8) Giả sử M := supt∈R≥0 kA(t)k < ∞ Khi đó, nghiệm khơng tầm thường có số mũ Lyapunov khơng âm, tức là, χ(Φ(·, x0 )) ≥ với x0 ∈ Rd \ {0} Chứng minh Giả sử phản chứng, tồn x0 ∈ Rd \ {0} cho λ := χ(Φ(·, x0 )) = lim sup t→∞ 11 c log kΦ(t, x0 )k < t (1.9) Khi đó, tồn K > T > mà λ kΦ(t, x0 )k < Ke t với t ≥ T (1.10) Tuy nhiên lim supt→∞ kΦ(t, x0 )k = kx0 k, điều mâu thuẫn với (1.9) Thật vậy, từ (1.10) supt∈R≥0 kA(t)k ≤ M , ta có Z t Z t λ (t − s)α−1 A(s)Φ(s, x0 ) ds ≤ KM (t − s)α−1 e s ds T T Mặt khác, tính tốn trực tiếp ta có Z t t→∞ λ (t − s)α−1 e s ds = lim sup Vì Z lim sup t→∞ t (t − s)α−1 A(s)Φ(s, x0 ) ds = T Chú ý, T Z (t − s)α−1 A(s)φ(s, x0 )ds = lim t→∞ Kết hợp nhận xét với biểu diễn (1.3) dẫn tới lim supt→∞ kΦ(t, x0 )k = kx0 k Ta có điều phải chứng minh 12 c Chương Lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ Chương trình bày nội dung luận văn Nó gồm ba phần Thứ nhất, Phần 2.1, chúng tơi nói số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này, số tính chất số mũ Lyapunov phân thứ, phổ Lyapunov phân thứ cho phương trình phân thứ tuyến tính mối liên hệ phổ Lyapunov với tính ổn định hệ Tiếp đến, Phần 2.2, thảo luận cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, chúng tơi tính số mũ Lyapunov phân thứ cho nghiệm số phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3 2.1 2.1.1 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ Số mũ Lyapunov phân thứ hàm Như biết Phần 1.3, số mũ Lyapunov cổ điển nghiệm không tầm thường hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính ln khơng âm Điều dẫn đến nhu cầu phải xây dựng khái niệm số mũ phù hợp cho hệ phân thứ Mặt khác, ý định nghĩa số mũ Lyapunov cổ điển, người ta sử dụng hàm log (là hàm ngược hàm mũ) để thu tốc độ tăng trưởng hay suy giảm so với hàm mũ hàm số cho trước Trong đó, phương trình vi phân phân thứ, hàm Mittag-Leffler tham số 13 c ... sở lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân cổ điển; Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Chương 2: Trình bày lý thuyết số mũ Lyapunov. .. Lyapunov phân thứ cho phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Chương gồm ba phân Thứ nhất, Phần 2.1, chúng tơi nói số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này, số tính chất số mũ Lyapunov phân thứ, ... sở phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Phần 1.2 đề cập sở lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân cổ điển Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân