Đang tải... (xem toàn văn)
��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC D×ÌNG CÆNG CØ B�T ��NG THÙC V� CÜC TRÀ SINH BÐI C�C �A THÙC ��I SÈ BA BI�N LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC TH�I NGUY�N 2019 c ��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC K[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC D×ÌNG CỈNG CØ BT NG THÙC V CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC I SÈ BA BIN LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2019 c I HÅC THI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC DìèNG CặNG Cỉ BT NG THÙC V CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THC I Sẩ BA BIN Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON SÌ CP M¢ sè: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu THI NGUYN - 2019 c i Mửc lưc MÐ U Ch÷ìng a thùc v c¡c h» thực liản quan 1.1 Mởt số bĐt ng thực cờ in liản quan án a thực 1.2 a thùc bªc ba v mët sè h» thùc cì b£n 1.3 1.2.1 Cæng thùc Vite v phữỡng trẳnh bêc 1.2.2 Hằ phữỡng trẳnh ối xựng ba ©n 13 1.2.3 PhƠn tẵch a thực thnh nh¥n tû 16 1.2.4 Tẵnh chia hát cừa cĂc a thùc èi xùng 18 a thùc bªc ba v c¡c h» thùc tam gi¡c 19 Chữỡng CĂc bĐt ng thực sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 22 2.1 2.2 2.3 BĐt ng thực sinh bi a thực bêc ba 22 2.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 22 2.1.2 C¡c ành lỵ cỡ bÊn cừa a thực Ôi số ba bián 24 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 28 2.2.1 Mët sè m»nh · b§t ¯ng thùc 28 2.2.2 p dưng chùng minh b§t ¯ng thùc 33 Mởt số dÔng bĐt ng thực ba bián phƠn thực 35 Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi sè ba bi¸n 38 3.1 Cüc trà theo r ng buëc tờng v tẵch ba số 3.2 CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 41 3.3 Mởt số dÔng toĂn liản quan 45 KT LUN TI LIU THAM KHO 38 47 48 c Mð Ưu Chuyản à bĐt ng thực cõ vai trỏ rĐt quan trồng bêc trung hồc phờ thổng BĐt ng thực khổng ch l ối tữủng nghiản cựu trồng tƠm cừa Ôi số v GiÊi tẵch m cỏn l cổng cư c lüc nhi·u l¾nh vüc kh¡c cõa to¡n hồc Ta  biát rơng cĂc bĐt ng thực a thực  ữủc nhiÃu nh toĂn hồc khÊo sĂt nh÷ Newton, Lagrange, Berstein, Markov, Kolmogorov, Landau, CĂc bĐt ng thực dÔng ny cụng cõ th chựng minh ữủc bơng nhiÃu phữỡng phĂp khĂc cừa hẳnh håc nh÷ ph÷ìng ph¡p v²ctì v ph÷ìng ph¡p tåa ë, phữỡng phĂp số phực, Tuy nhiản, cĂc dÔng bĐt ng thực ựng vợi lợp a thực tờng quĂt thẳ ngữới ta cƯn án cĂc cổng cử cừa giÊi tẵch (tẵnh lỗi, lóm) khÊo sĂt chúng Ăp ựng nhu cƯu bỗi dữùng giĂo viản v bỗi dữùng håc sinh giäi v n¥ng cao nghi»p vư cõa b£n thƠn và chuyản à bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián, tổi chồn à ti luên vôn "BĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián" Luên vôn ny nhơm cung cĐp mởt số dÔng bĐt ¯ng thùc v cüc trà sinh bði c¡c a thùc Ôi số mởt số dÔng liản quan Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, kát luên v chữỡng Chữỡng a thực v cĂc hằ thực liản quan Chữỡng C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc Ôi số ba bián Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián Mửc ẵch cừa à ti luên vôn l khÊo sĂt mởt số lợp bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián v xt c¡c mð rëng cõa chóng º ¡p dưng kh£o s¡t c¡c b i to¡n cüc trà li¶n quan T¡c gi£ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu  tên tẳnh hữợng dăn v giúp ù tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu luên vôn TĂc giÊ cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi cĂc ThƯy Cổ khoa ToĂn-Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v giúp ù cho tĂc giÊ suốt thới gian hồc têp tÔi Trữớng c ỗng thới, tĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh v cĂc bÔn ỗng mổn  luổn gióp ï v ëng vi¶n tỉi thíi gian håc têp v quĂ trẳnh hon thnh luên vôn ThĂi Nguyản, 12 thĂng 05 nôm 2019 TĂc giÊ Dữỡng Cổng Cø c Ch÷ìng a thùc v c¡c h» thực liản quan Mửc ẵch cừa chữỡng ny l trẳnh by mởt số bĐt ng thực cờ in liản quan án a thực nõi chung, a thực bêc ba nõi ri¶ng v x²t mët sè h» thùc cì b£n Mët phƯn cừa chữỡng ny ữủc dnh nảu và a thùc bªc ba v c¡c h» thùc tam gi¡c CĂc kát quÊ chẵnh cừa chữỡng ữủc tham khÊo tứ c¡c t i li»u [2], [3] 1.1 Mët sè b§t ¯ng thực cờ in liản quan án a thực nh nghắa 1.1 A Cho bêc n bián x l mởt vnh giao ho¡n câ ìn Ta gåi a thùc l mởt biu thực cõ dÔng fn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an 6= 0), â c¡c ∈ A ÷đc gåi l h» sè, an l h» sè cao nh§t v a0 (1.1) l h» sè tü cõa a thùc fn (x) l sè mơ cao nh§t cừa lụy thứa cõ mt (1.1) v ữủc kỵ hi»u l deg(f ) Khi â n¸u (1.1) an 6= thẳ deg(f ) = n Náu = 0, i = 1, , n v a0 6= thẳ ta cõ bêc cừa a thực l N¸u = 0, i = 0, , n thẳ ta coi bêc cừa a thùc l −∞ v gåi a Bªc cõa a thùc thực khổng (nõi chung thẳ ngữới ta khổng nh nghắa bêc cừa a thực khổng) Têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số lĐy vnh hiằu l A[x] A=K A ữủc kỵ K[x] l mởt vnh giao ho¡n câ ìn Ta th÷íng x²t A = Z, ho°c A = Q ho°c A = R ho°c A = C Khi â, ta câ c¡c v nh a thùc t÷ìng ùng l Z[x], Q[x], R[x], C[x] Khi l mët trữớng thẳ vnh c CĂc php tẵnh trản a thùc Cho hai a thùc f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 Ta nh nghắa cĂc php tẵnh số hồc f (x) + g(x) = (an + bn )xn + · · · + (a1 + b1 )x + a0 + b0 , f (x) − g(x) = (an − bn )xn + · · · + (a1 − b1 )x + a0 − b0 , f (x)g(x) = c2n x2n + c2n−1 x2n−1 + · · · + c1 x + c0 , â ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 , k = 0, , n CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn nh lỵ 1.1 GiÊ sỷ A l mởt tr÷íng, f (x) v g(x) 6= l hai a thực A[x], thá A[x] cho cừa vnh thuởc thẳ bao gií cơng câ c°p a thùc nh§t f (x) = g(x)q(x) + r(x) N¸u r(x) = Gi£ sỷ a ỵ cừa vnh ta nõi f (x) vợi chia hát cho l phƯn tỷ tũy ỵ cừa vnh A[x], ph¦n tû f (a) = n P q(x) v r(x) deg r(x) < deg g(x) g(x) A, f (x) = n P x i l a thùc tòy i=0 ai cõ ữủc bơng cĂch thay x bi a i=0 f (x) tÔi a Náu f (a) = th¼ ta gåi a l nghi»m cõa f (x) B i to¡n t¼m c¡c nghi»m cõa f (x) A gồi l giÊi phữỡng trẳnh Ôi số bêc n A ÷đc gåi l gi¡ trà cõa an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an 6= 0) nh lỵ 1.2 GiÊ sû A l mët tr÷íng, a ∈ A v f (x) ∈ A[x] D÷ sè cõa ph²p chia f (x) cho xa chẵnh l f (a) nh lỵ 1.3 a l nghi»m cõa f (x) v ch¿ f (x) chia h¸t cho (x−a) a ∈ A, f (x) ∈ A[x] v m l mët sè tü nhi¶n hìn hoc bơng Khi õ a l nghiằm cĐp m cõa f (x) v ch¿ f (x) chia h¸t cho (x − a)m v f (x) khỉng chia h¸t cho (x − a)m+1 Gi£ sû A l mởt trữớng, c lợn Trong trữớng hủp m = th¼ ta gåi a l nghi»m ìn cán m = thẳ a ữủc gồi l nghiằm k²p Sè nghi»m cõa mët a thùc l têng sè c¡c nghi»m cõa a thùc â kº c£ bëi cõa cĂc nghiằm (náu cõ) Vẳ vêy, ngữới ta coi mởt a thực cõ mởt nghiằm cĐp m nhữ mởt a thực cõ m nghiằm trũng Lữủc ỗ Horner Gi£ sû f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ A[x] (vợi A l mởt trữớng) Khi õ thữỡng gƯn úng cừa mởt a thực cõ bêc bơng n 1, f (x) cho (x a) l cõ dÔng q(x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 , â bn−1 = an , bk = abk+1 + ak+1 , k = 0, , n − 2, v d÷ sè r = ab0 + a0 nh lỵ 1.4 ( nh lẵ Vite) a GiÊ sỷ phữỡng trẳnh an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an 6= 0) câ n nghi»m (thüc ho°c phùc) x1 , x2 , , xn th¼ E1 (x) := x1 + x2 + · · · + xn E2 (x) := x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn En (x) := x1 x2 xn b Ngữủc lÔi n¸u c¡c sè x1 , x2 , , xn (1.2) an−1 =− an an−2 = an a0 = (1)n an (1.3) thọa mÂn hằ trản thẳ chúng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.2) Hằ (1.3) cõ k thnh phƯn thự k cõ Cn số hÔng n thnh phƯn v vá trĂi cừa E1 (x), E2 (x), , En (x) ÷đc gåi l h m ( a thùc) èi xùng bªc 1, 2, , n, t÷ìng ùng c C¡c h m cĐp Vite nh lỵ 1.5 Mội a thực thỹc bêc n ·u câ khæng qu¡ n nghi»m thüc c H» qu£ 1.1 a thùc câ væ sè nghi»m l a thùc khỉng H» qu£ 1.2 N¸u a thùc câ bêc n m nhên mởt giĂ tr nhữ tÔi n+1 im phƠn biằt cừa ối số thẳ â l a thùc h¬ng H» qu£ 1.3 Hai a thùc bªc ≤ n m nhªn n + trịng tÔi n + im phƠn biằt cừa ối số thẳ chúng ỗng nhĐt bơng nh lỵ 1.6 Måi a thùc f (x) ∈ R[x] câ bªc n v câ h» sè ch½nh (h» sè an 6= cao nhĐt) Ãu cõ th phƠn tẵch (duy nhĐt) thnh nhƠn tỷ dÔng m s Y Y f (x) = an (x − di ) (x2 + bk x + ck ) i=1 vỵi k=1 di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, s, m, n ∈ N∗ ành ngh¾a 1.2 1) Måi nghi»m x0 cõa a thùc (1.1) ·u thọa mÂn bĐt ng thực |x0 | + A , |a0 | A = max |ak | 1≤k≤n r 2) Náu am l hằ số Ơm Ưu tiản cừa a thực (1.1) thẳ số n 1+ cên trản cừa cĂc nghiằm dữỡng cừa a thực  cho, õ B B am l l giĂ tr lợn nhĐt cừa mổ un cĂc hằ số Ơm fn (x) dÔng (1.1) viát dữợi dÔng fn (x) = g(x)q(x) vợi deg(g) > v deg(q) > th¼ ta nâi g l ữợc cừa fn (x) v ta viát g(x)|fn (x) hay fn (x) g(x) Náu g(x)|f (x) v g(x)|h(x) thẳ ta nõi g(x) l ữợc chung cừa f (x) v h(x) N¸u hai a thùc f (x) v h(x) ch¿ cõ ữợc chung l cĂc a thực bêc thẳ ta nõi rơng chúng nguyản tố v viát (f (x), h(x)) = 3) Khi a thùc ành lỵ 1.7 iÃu kiằn cƯn v ừ hai a thùc f (x) v h(x) nguy¶n tè cịng l tỗn tÔi cp a thực u(x) v v(x) cho f (x)u(x) + h(x)v(x) Tẵnh chĐt 1.1 cĂc a thùc g(x)h(x) N¸u c¡c a thùc f (x) h(x) v g(x) nguy¶n tè cịng v nguy¶n tè cịng thẳ cĂc a thực f (x) v cụng nguyản tố Tẵnh chĐt 1.2 f (x)h(x) v f (x) chia h¸t cho chia h¸t cho f (x), g(x), h(x) thọa mÂn iÃu kiằn g(x), g(x) v h(x) nguyản tố thẳ f (x) Náu cĂc a thực g(x) c Tẵnh chĐt 1.3 Náu a thực vợi nguyản tố thẳ g(x) h(x) v Tẵnh chĐt 1.4 m [f (x)] v f (x) N¸u c¡c a thùc n [g(x)] chia h¸t cho c¡c a thùc f (x) f (x) v g(x) chia h¸t cho g(x) v h(x) g(x)h(x) nguyản tố thẳ s nguyản tố vợi mồi m, n nguyản dữỡng Mởt số bĐt ng thực Ôi số cỡ bÊn Trong phƯn ny trẳnh by cĂc bĐt ng thực liản quan án cĂc a thực Ôi số cỡ bÊn nh lỵ 1.8 GiÊ sỷ (BĐt ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn) x1 , x2 , , xn l c¡c sè khỉng ¥m Khi â √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn n D§u ¯ng thùc x£y v ch¿ (1.4) x1 = x2 = = xn B§t ng thực (1.4) cõ nhiÃu ti liằu bơng tiáng Viằt v ữủc gồi l bĐt ng thực Cổsi (Cauchy) Tuy nhiản, cĂc ti liằu nữợc ngoi bĐt ng thực trản cõ tản tiáng Anh l AM-GM Inequality, cho nản và sau, ta gồi bĐt ng thực (1.4) l BĐt ng thực giỳa trug bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn BĐt ng thực (1.4) khĂ quen thuởc vợi a số bÔn ồc v  ữủc chựng minh nhiÃu ti liằu bơng tiáng Viằt, nản chúng tổi s khổng trẳnh by chựng minh m ch xt vẵ dử Ăp dửng Vẵ dử 1.1 Cho cĂc số khổng Ơm x, y, z Chùng minh b§t ¯ng thùc x y z + + ≥ x1/2 y 1/3 z 1/6 Lới giÊi BĐt ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi 3x + 2y + z p x3 y z Ta vi¸t v¸ tr¡i cừa bĐt ng thực trản dÔng 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z = 6 Theo b§t ¯ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn ta câ 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z p = ≥ x3 y z 6 B§t ¯ng thùc ÷đc chùng minh c ... thực ba bián phƠn thực 35 Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 38 3.1 Cỹc tr theo rng buởc tờng v tẵch ba số 3.2 CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba. .. thực Ôi số ba bián Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián Mửc ẵch cừa à ti luên vôn l khÊo sĂt mởt số lợp bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián v ... hồc sinh giọi v nƠng cao nghiằp vử cừa bÊn thƠn và chuyản à bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián, tổi chồn à ti luên vôn "BĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba