Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ KẾ THỊNH BẤT ĐẲNG THỨC HAYASHI, BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK SUY RỘNG VÀ CÁC HỆ QUẢ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ KẾ THỊNH BẤT ĐẲNG THỨC HAYASHI, BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK SUY RỘNG VÀ CÁC HỆ QUẢ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ KẾ THỊNH BẤT ĐẲNG THỨC HAYASHI, BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK SUY RỘNG VÀ CÁC HỆ QUẢ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn: TS LÊ THANH BÍNH Bình Định - 2020 e LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Bình Định, tháng 07 năm 2020 Tác giả Võ Kế Thịnh e Mục lục MỞ ĐẦU 1 BẤT ĐẲNG THỨC HAYASHI VÀ CÁC HỆ QUẢ 1.1 Bất đẳng thức Hayashi 1.2 Các hệ bất đẳng thức Hayashi 15 1.3 Một số toán áp dụng bất đẳng thức Hayashi 16 1.4 Bất đẳng thức Hayashi cho đa giác 22 BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK VÀ CÁC HỆ QUẢ 26 2.1 Bất đẳng thức Weitzenbock 26 2.2 Các hệ bất đẳng thức Weitzenbock suy rộng 35 2.3 Các ứng dụng bất đẳng thức Weitzenbock suy rộng 38 2.4 Bất đẳng thức Weitzenbock cho đa giác 51 2.5 Bất đẳng thức Weitzenbock ngược 54 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 e MỞ ĐẦU Bất đẳng thức chun đề Tốn học nói chung, tốn phổ thơng tốn sơ cấp nói riêng Các tốn bất đẳng thức cực trị hình học thuộc loại tốn khó, thường xun xuất kỳ thi chọn học sinh giỏi nước quốc tế Trong số nhiều bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác, không nhắc tới hai bất đẳng thức bất đẳng thức Hayashi bất đẳng thức Weitzenbock Vì tơi chọn đề tài "BẤT ĐẲNG THỨC HAYASHI, BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK SUY RỘNG VÀ CÁC HỆ QUẢ" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp Luận văn này, ngồi phần mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia làm chương Nội dung chương: • Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Hayashi cho tam giác hệ quả, số toán áp dụng mở rộng bất đẳng thức Hayashi cho đa giác • Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Weitzenbock suy rộng hệ quả, số toán áp dụng Sau đó, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Weitzenbock cho đa giác bất đẳng thức Weitzenbock ngược Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Lê Thanh Bính Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy tận tình hướng dẫn, e bảo tơi suốt q trình thực hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống kê q thầy, giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp toán sơ cấp Khóa 21, người tận tâm giảng dạy, tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Bình Định, tháng 07 năm 2020 Học viên Võ Kế Thịnh e Chương BẤT ĐẲNG THỨC HAYASHI VÀ CÁC HỆ QUẢ Trong chương này, chúng tơi phát biểu trình bày chứng minh bất đẳng thức Hayashi Sau đó, chúng tơi trình bày số định lý, hệ liên quan số toán áp dụng kết bất đẳng thức Hayashi 1.1 Bất đẳng thức Hayashi Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức Hayashi, xem [10]) Cho M điểm tùy ý mặt phẳng chứa tam giác ABC với độ dài cạnh BC, CA, AB a, b, c Khi đó, ta có aM B.M C + bM C.M A + cM A.M B ≥ abc (1.1.1) Đẳng thức xảy M trực tâm tam giác ABC Sau đây, chúng tơi trình bày số cách chứng minh bất đẳng thức Hayashi (1.1.1) • Cách (Sử dụng bất đẳng thức Ptolemy) Trước tiên, chúng tơi xin trình bày cách chứng minh sơ cấp dành cho học sinh Trung học sở dựa bất đẳng thức Ptolemy e Bổ đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Ptolemy, xem [1]) Cho bốn điểm A, B, C, D mặt phẳng, ta có AB.CD + BC.AD ≥ AC.BD Đẳng thức xảy A, B, C, D bốn điểm nằm đường tròn (hay tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp) \ = CDB \ CBE \ = DBA \ Chứng minh Lấy điểm E cho EAB Suy ∆ABE v ∆DBC, từ ta có AB AE BE = = DB DC BC (1.1.2) A E D B C Hình 1.1.1 Từ (1.1.2) ta AB.DC = BD.AE (1.1.3) \ = DBA \ hệ thức (1.1.2), nên ta có ∆BCE v ∆BDA Do Do CBE BC CE BE = = BD DA BA ⇒ BC.DA = BD.CE e (1.1.4) Cộng (1.1.3) (1.1.4) vế theo vế ta AB.DC + BC.AD = BD(AE + CE) ≥ BD.AC Đẳng thức xảy E thuộc cạnh AC , tức A D nhìn cạnh BC góc Nói cách khác, đẳng thức xảy tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Bây giờ, chứng minh bất đẳng thức Hayashi (1.1.1) Chứng minh Lấy hai điểm E F cho BCM E BCAF hình bình hành, tứ giác EM AF hình bình hành F A M E C B Hình 1.1.2 Ta có AF = EM = BC EF = AM, EB = CM, BF = AC Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác ABEF AEBM , ta AB.AM + BC.CM = AB.EF + AF.BE ≥ AE.BF = AE.AC, BM.AE + AM.CM = BM.AE + AM.BE ≥ AB.EM = AB.BC e Khi M A.M B.AB + M B.M C.BC + M C.M A.CA = M B(M A.AB + M C.BC) + M C.M A.CA ≥ M B.AE.AC + M C.M A.CA = AC(M B.AE + M C.AM ) ≥ AC.AB.BC hay aM B.M C + bM C.M A + cM A.M B ≥ abc Đẳng thức xảy tứ giác ABEF AEBM nội tiếp đường trịn, AF EM hình bình hành AM ⊥EM hay AM ⊥BC Tương tự, ta có CM ⊥AB , nên M trực tâm tam giác ABC Tiếp theo, trình bày cách chứng minh sử dụng số phức ngắn gọn ấn tượng Trước tiên, nhắc lại số kiến thức số phức Trường số phức định nghĩa tập R × R cặp số thực (x, y) với phép toán (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) gọi phép cộng (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) gọi phép nhân Mọi số phức z = (x, y) viết dạng z = x + iy với i = (0, 1) số thực x xác định số phức (x, 0) Với z = x + iy , ta định nghĩa e ... Bất đẳng thức Hayashi cho đa giác 22 BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK VÀ CÁC HỆ QUẢ 26 2.1 Bất đẳng thức Weitzenbock 26 2.2 Các hệ bất đẳng thức Weitzenbock suy rộng. .. nhiều bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác, không nhắc tới hai bất đẳng thức bất đẳng thức Hayashi bất đẳng thức Weitzenbock Vì tơi chọn đề tài "BẤT ĐẲNG THỨC HAYASHI, BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK. .. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ KẾ THỊNH BẤT ĐẲNG THỨC HAYASHI, BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK SUY RỘNG VÀ CÁC HỆ QUẢ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ