Cho đường tròn O ; R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau.. Đường thẳng CM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là N.. Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn.. Tứ giác CMPO là hình bình
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 - THPT
TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC: 2013 – 2014
MÔN: TOÁN (Chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (2,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức:
3
3
x y
2x x y y
P
x y
x x y y
(với x > 0; y > 0; x
y)
2 Tính x biết x3 = 1 3 4 3 2 3 3
Câu II: (2,0 điểm) Cho f(x) = x2 – (2m+1)x + m2 + 1 (x là biến, m là tham số)
1 Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 1
2 Tìm tất cả các giá trị m Z để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho biểu thức P = 1 2
1 2
x x
x x có giá trị là số nguyên
Câu III: (2,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình sau :
2 3x y 2x y 12y 4x 7 2x y 3x y
2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 5x2 + y2 = 17 + 2xy
Câu IV: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau.
Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (M không trùng với O và không trùng với hai đầu mút A
và B) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N Đường thẳng vuông góc với
AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) ở điểm P Chứng minh rằng :
1 Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn
2 Tứ giác CMPO là hình bình hành
3 Tích CM.CN không đổi
4 Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm P chạy trên một đoạn thẳng cố định
Câu V: (1,0 điểm) Tìm hai số nguyên a và b để M = a4 + 4b4 là số nguyên tố
-
Hết -Giải
C©u 4 (3 ®iÓm):
ĐỀ CHÍNH THỨC
p n m
a
O
D
C
B A
Trang 2(Bài này là cõu 5 đề thi 2007-2008 TS Lào Cai)
1) Chứng minh rằng tứ giác OMNP nội tiếp đợc đờng tròn.
0
OMP 90 (do MP AB)
ONP 90 (t / c t )
M, N cùng nhìn PO dới 1 góc không đổi bằng 900 nên tứ giác
OMNP nội tiếp đợc đờng tròn đờng kính OP
2) Chứng minh rằng OP // a.
Tam giác OCN cân tại O nên OCN ONC (1)
MP // CP nên OCN PMN (2)
Do tứ giác OMNP nội tiếp nên PONPMN (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ONC PON , hai góc này ở vị trí so le trong nên OP // a do đú Tứ giỏc CMPO là hỡnh bỡnh hành
3) hai tam giỏc COM và CND vuụng cú gúc C chung nờn đồng dạng
suy ra CM CO
CD CN do đú CM.CN=CO.CD=R.2R=2R2 khụng đổi
4) Tìm tập hợp những điểm P khi M di động.
Tứ giác MODP là hình chữ nhật nên P luôn cách AB một khoảng không đổi bằng bán kính (O)
do đó P thuộc đờng thẳng d // AB cách AB một khoảng không đổi OD
Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm giữa hai tiếp tuyến tại A và B của (O)
d