Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Quốc Hoàn CHIẾN LƯỢC ĐẦU TƯ TỐI ƯU CỰC TIỂU HÓA PHƯƠNG SAI VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2013 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Quốc Hoàn CHIẾN LƯỢC ĐẦU TƯ TỐI ƯU CỰC TIỂU HÓA PHƯƠNG SAI VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Quốc Hoàn CHIẾN LƯỢC ĐẦU TƯ TỐI ƯU CỰC TIỂU HÓA PHƯƠNG SAI VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thịnh Hà Nội - 2013 z Mục lục Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.2 Không gian L2 (P ) 1.3 Kỳ vọng điều kiện Martingale 1.3.1 Không gian xác suất lọc 1.3.2 Kỳ vọng điều kiện 1.3.3 Martingale Chương Sự tồn cấu trúc chiến lược tối ưu 11 2.1 Vấn đề 11 2.2 Sự tồn chiến lược tối ưu 15 2.3 Cấu trúc chiến lược tối ưu 17 2.4 Cấu trúc chiến lược tối ưu với độ đo dấu 28 Chương Sự lựa chọn chiến lược vốn ban đầu 34 3.1 Sự lựa chọn tối ưu chiến lược vốn ban đầu 34 3.2 Chiến lược cực tiểu hóa phương sai 36 3.3 Biên trung bình phương sai 36 Chương Những trường hợp đặc biệt ví dụ 39 4.1 Những trường hợp đặc biệt 39 4.1.1 Trường hợp martingale 39 4.1.2 Trường hợp H đạt tới (theo nghĩa LH T = P - h.c.c) 40 z 4.1.3 Trường hợp X có q trình cân trung bình phương sai xác định 41 4.2 Các ví dụ tường minh 45 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 z LỜI NĨI ĐẦU Thị trường tài nơi diễn hoạt động trao đổi, mua bán quyền sử dụng nguồn tài thơng qua phương thức giao dịch cơng cụ tài định Thị trường tài tổng hịa quan hệ cung cầu vốn kinh tế Nói cách đơn giản , thị trường tài nơi diễn hoạt động mua bán loại giấy tờ có giá, nơi gặp gỡ nguồn cung vốn cầu, qua hình thành nên giá mua giá bán loại cổ phiếu, trái phiếu hình thành loại vốn đầu tư bao gồm: lãi suất vay, lãi suất cho vay, lãi suất ngắn hạn, lãi suất trung dài hạn Trong thị trường tài chính, giá số tài sản rủi ro ( ví dụ, cổ phiếu, trái phiếu ) yếu tố ngẫu nhiên, tức giá khơng thể đốn trước Khi đầu tư vào thị trường tài với số vốn ban đầu c, mong muốn lựa chọn chiến lược tối ưu nhất, tức mua vào bán để có lời phải đạt lỗ ròng thấp Trong phạm vi đề tài đề cập đến điều kiện để tồn chiến lược tối ưu, nghiên cứu cấu trúc chiến lược tối ưu Bên cạnh đề cập đến việc lựa chọn chiến lược tối ưu vốn ban đầu cho phù hợp với chiến lược tối ưu Luận văn chia làm bốn chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm q trình ngẫu nhiên, khơng gian L2 (P ), kì vọng điều kiện Martingale làm sở cho chương sau Chương Sự tồn cấu trúc chiến lược tối ưu Trình bày vấn đề luận văn, tồn cấu trúc chiến lược tối ưu Chương Sự lựa chọn chiến lược vốn ban đầu Trình bày lựa chọn chiến lược tối ưu vốn ban đầu Chương Những trường hợp đặc biệt ví dụ Đưa số trường hợp đặc biệt số ví dụ tường minh Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn luận văn mình, TS Nguyễn Thịnh, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt q trình làm luận văn tác giả Tơi xin cảm ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, đặc biệt thầy cô z môn Xác suất Thống kê truyền đạt cho nhiều kiến thức quý báu Cuối xin cảm ơn thành viên lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê tốn học khóa 2009-2011 ln động viên, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Học viên Đỗ Quốc Hoàn z Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Giả sử T tập vô hạn Nếu với t ∈ T , Xt biến ngẫu nhiên ta ký hiệu X = {Xt , t ∈ T }, gọi X hàm biến ngẫu nhiên (với tham biến t ∈ T ) • Nếu T tập đếm ta gọi X = {Xt , t ∈ T } trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc • Nếu T = N ta gọi X = {Xn , n ∈ N} dãy biến ngẫu nhiên phía • Nếu T = Z ta gọi X = {Xn , n ∈ Z} dãy biến ngẫu nhiên hai phía • Nếu T khoảng đường thẳng thực ta gọi X = {Xt , t ∈ T } trình ngẫu nhiên với tham số liên tục 1.2 Không gian L2 (P ) Ký hiệu L2 (P ) = L2 (Ω, F, P ) tập hợp biến ngẫu nhiên X (xác định (Ω, F, P )) cho E|X|2 < ∞ z Khi đó, X ∈ L2 (P ), ta ký hiệu ||X||2 = (E|X|2 ) gọi chuẩn bậc X Hai biến ngẫu nhiên X, Y ∈ L2 (P ) gọi trực giao E(XY ) = 1.3 Kỳ vọng điều kiện Martingale Kỳ vọng có điều kiện martingale khái niệm đặc biệt quan trọng lý thuyết xác suất Chúng có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn tài Ở chúng tơi nhắc lại khái niệm kết nhằm mục đích sử dụng tính tốn chương cịn lại 1.3.1 Khơng gian xác suất lọc Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất Một họ σ - trường Ft ⊂ F gọi lọc thỏa mãn i) Nó họ tăng, tức Fs ⊂ Ft (s < t) ii) Họ liên tục phải tức Ft = ∩ Ft+ε ε>0 iii) Mọi tập P - bỏ qua A ∈ F chứa F0 Một không gian xác suất (Ω, F, P ) gắn thêm lọc Ft ⊂ F gọi không gian xác suất lọc 1.3.2 Kỳ vọng điều kiện 1.3.2.1 Khái niệm Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, G ⊂ F σ - trường X biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng điều kiện X với biến ngẫu nhiên ký hiệu E(X|G) thỏa mãn i) E(X|G) G ⊂ F đo Z Z ii) E(X|G)dP = XdP với A ∈ G A A Ta định nghĩa E(X|Y ) kỳ vọng điều kiện X theo σ - trường σ(Y ) z 1.3.2.2 Tính chất kỳ vọng điều kiện Các tính chất sau hiểu hầu chắn (h.c.c) 1) Nếu C số E(C|G) = C 2) Tính tuyến tính: E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) 3) Nếu G σ - trường tầm thường {∅, Ω} E(X|G) = X 4) E(E(X|G)) = EX 5) Nếu X độc lập với G tức σ(X) độc lập với G E(X|G) = EX 6) Nếu Y G - đo được, E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ E(XY |G) = Y E(X|G) 7) Nếu G1 ⊂ G2 E(E(X|G2 )|G1 ) = E(E(X|G1 )|G2 ) = E(X|G1 ) 8) Nếu X ≤ Y h.c.c E(X|G) ≤ E(Y |G) 9) |E(X|G)| ≤ E(|X||G) 10) Bất đẳng thức Jensen: Giả sử φ : R → R lồi dưới, φX khả tích Khi φ(E(X|G)) ≤ E(φ(X)|G) 11) Hội tụ đơn điệu Beppo - Levy: Nếu X ≥ 0, Xn ↑ X E|X| < ∞ E(Xn |G) ↑ E(X|G) z 12) Bổ đề Fatou: Nếu Xn ≥ E(limXn |G) ≤ limE(Xn |G) 13) Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue: Giả sử Y biến ngẫu nhiên khả tích |Xn | ≤ Y (h.c.c) Nếu Xn → X (h.c.c) E(lim Xn |G) = lim E(Xn |G) 1.3.3 Martingale Các khái niệm định lý hiểu martingale với thời gian rời rạc 1.3.3.1 Định nghĩa Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi với lọc Ft khả tích E|Xt | < ∞ với t Với s, t hai số không âm s ≤ t: i) Xt martingale E(Xt |Fs ) ≤ Xs ii) Xt martingale E(Xt |Fs ) ≥ Xs iii) Xt martingale vừa martingale vừa martingale tức E(Xt |Fs ) = Xs Khi khơng nói rõ lọc ta hiểu lọc tự nhiên sinh từ lịch sử X nghĩa Ft = σ(Xs )s≤t Theo lý thuyết trò chơi coi Xt số vốn thời điểm t, Ft = σ(Xs )s≤t thơng tin tích lũy đến thời điểm t trị chơi thiệt hại martingale trên, trị chơi có lợi martingale cơng martingale Các kết martingale bất đẳng thức định lý hội tụ, khai triển Doob 1.3.3.2 Hiệu martingale Dãy tương thích (ξt ; Ft ) hiệu martingale E|ξt | < ∞ E(ξt+1 |Ft ) = z ... NHIÊN Đỗ Quốc Hoàn CHIẾN LƯỢC ĐẦU TƯ TỐI ƯU CỰC TIỂU HÓA PHƯƠNG SAI VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng... để tồn chiến lược tối ưu, nghiên cứu cấu trúc chiến lược tối ưu Bên cạnh chúng tơi đề cập đến việc lựa chọn chiến lược tối ưu vốn ban đầu cho phù hợp với chiến lược tối ưu Luận văn chia làm bốn... trúc chiến lược tối ưu với độ đo dấu 28 Chương Sự lựa chọn chiến lược vốn ban đầu 34 3.1 Sự lựa chọn tối ưu chiến lược vốn ban đầu 34 3.2 Chiến lược