Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2016 z LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án này, hướng dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh, trung thực chưa công bố công trình khác Những kết viết chung với giáo sư hướng dẫn cộng đồng ý đưa vào luận án Hà nội, tháng 12 năm 2016 Nghiên cứu sinh Đặng Văn Hiếu z LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tôi vô biết ơn giúp đỡ tận tình, quý báu mà Thầy dành cho tơi suốt q trình thực luận án Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, góp ý, hướng dẫn Thầy, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp trao đổi thú vị Thầy cơng việc nghiên cứu, tơi hồn thành đề tài Thầy dành cho tơi nhiều quan tâm, dẫn giúp đỡ quý báu không nghiên cứu khoa học mà sống Chính nhờ quan tâm Thầy, tơi thấy tin tưởng gặp khó khăn, vấp váp, chí thất bại Điều giúp tơi vững tin thực q trình nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy anh chị em Trung tâm Tính tốn Hiệu cao, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Đặc biệt, xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Điển Thầy giúp đỡ nhiều việc sử dụng cơng cụ phần mềm tốn học Trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh, Thầy tạo cho môi trường làm việc thuận lợi, cho phép tiếp cận phương tiện, máy móc để thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy anh chị em Bộ mơn Tốn học tính tốn Tốn ứng dụng nói riêng Khoa Tốn Cơ Tin học, ĐHKHTN nói chung Những ý kiến quý báu thầy bạn kỳ Xêmina môn tạo điều kiện Khoa, mơn giúp tơi nhiều việc hồn thành luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, anh chị bạn nhóm Xêmina liên quan ĐHKHTN, ĐHBK, Viện nghiên cứu cao cấp Tốn Nhóm tạo cho nhiều cảm hứng nghiên cứu khoa học gắn bó với mơi trường nghiên cứu Tơi biết ơn Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Công tác quản lý đào tạo môi trường nghiên cứu Trường góp phần khơng nhỏ luận án hồn thành dự định Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô anh chị em Bộ Mơn Tốn z Tin nói riêng Khoa Cơ Bản, Trường Sĩ Quan Khơng Qn nói chung Đơn vị tạo điều kiện thuận lợi cho yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Sự quan tâm lời động viên, khích lệ thầy cô, anh chị em bạn giúp tơi nhiều việc hồn thành luận án Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Thầy dạy dỗ bảo tận tình cho tơi cách học tập nghiên cứu chuyên đề cao học nghiên cứu sinh Thầy có nhiều góp ý quan trọng kỳ Xêmina, giúp có nhiều ý tưởng động lực để phát triển hồn thành luận án Từ tận đáy lịng tơi xin gửi lời cảm ơn tới GS TSKH Lê Dũng Mưu Thầy giúp đỡ nhiều chuyên môn, cách nghiên cứu, xây dựng ý tưởng giải vấn đề Chính nhờ bảo tận tình Thầy, tơi thấy tự tin hơn, độc lập nghiên cứu đề xuất ý tưởng Thầy có ảnh hưởng khơng nhỏ tới nghiên cứu gần Tôi xin chân thành cảm ơn GS TS Đặng Quang Á, GS TSKH Phạm Thế Long, TS Nguyễn Thế Vinh, TS Nguyễn Trung Hiếu thầy, anh chị khác, người dành thời gian đọc cho em nhiều ý kiến quý báu nội dung hình thức trình bày luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Vũ Tiến Dũng dành nhiều thời gian chia sẻ, hướng dẫn giúp thực thử nghiệm số bó máy tính Trung tâm Tính tốn Hiệu cao, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Tơi xin gửi lời cảm ơn tới TS Trần Đình Quốc - Department of Statistics and Operations Research, University of North Carolina Anh giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm lập trình cung cấp gói phần mềm hỗ trợ cho dễ dàng thực thử nghiệm số luận án Tôi xin cảm ơn bạn bè tôi, người quan tâm động viên sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học Cuối cùng, luận án khơng thể hồn thành khơng có động viên hỗ trợ mặt gia đình Tơi khơng thể diễn đạt lời lòng biết ơn gia đình dành cho tơi từ trước đến Qua đây, gửi lời cảm ơn tới vợ, tôi, người cho động lực, tiếng cười tạo điều kiện thời gian cho học tập nghiên cứu Luận án này, z cố gắng thực hiện, để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em người thân gia đình, với tất lịng biết ơn sâu sắc z MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Bảng chữ viết tắt Mở đầu 10 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hình học khơng gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu số tính chất 1.1.3 Phép chiếu metric phép chiếu tổng quát 1.2 Phương trình tốn tử không gian Banach 1.2.1 Các khái niệm liên tục toán tử phi tuyến 1.2.2 Toán tử khả vi 1.2.3 Phiếm hàm lồi vi phân phiếm hàm lồi 1.2.4 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.3 Phương trình với toán tử J - đơn điệu 1.3.1 Toán tử J - đơn điệu (accretive) toán tử đơn điệu 1.3.2 Phương trình với tốn tử J - đơn điệu 1.4 Bài tốn tìm điểm bất động 1.4.1 Ánh xạ không giãn 1.4.2 Ánh xạ không giãn tiệm cận 1.5 Bất đẳng thức biến phân toán cân 1.5.1 Bất đẳng thức biến phân 1.5.2 Bài toán cân 1.6 Mối liên hệ toán EP, VIP, FPP giải phương trình tốn tử 1.7 Một số bất đẳng thức sử dụng luận án z 24 24 24 25 27 30 30 31 32 33 35 35 38 42 42 43 44 44 45 47 49 Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình tốn tử 2.1 Hệ phương trình với tốn tử J - đơn điệu ngược 2.2 Điểm bất động chung họ ánh xạ 2.2.1 Các phương pháp lai ghép song song 2.2.2 Các phương pháp lai ghép 2.3 Thử nghiệm số 50 50 61 62 67 72 Chương Một số phương pháp tìm nghiệm chung toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 76 3.1 Phương pháp điểm gần kề 77 3.1.1 Phương pháp lai ghép không gian Banach 77 3.1.2 Phương pháp lai ghép không gian Hilbert 88 3.2 Các phương pháp chiếu 95 3.2.1 Phương pháp chiếu EGM 95 3.2.2 Phương pháp chiếu GLM 102 3.3 Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo 108 3.4 Thử nghiệm số 114 3.4.1 Thử nghiệm số cho phương pháp điểm gần kề 114 3.4.2 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu EGM 116 3.4.3 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu GLM 117 Chương Một số phương pháp giải toán cân tách ứng dụng 4.1 Các thuật toán hội tụ 4.2 Ứng dụng cho toán biến phân tách 4.3 Thử nghiệm số 121 122 131 133 Kết luận 138 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 141 Tài liệu tham khảo 142 z BẢNG KÍ HIỆU h., i Tích vơ hướng (hoặc tích đối ngẫu) H Khơng gian Hilbert X Khơng gian Banach X∗ Không gian đối ngẫu X J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc S( x0 , r ) ( B[ x0 , r ]) Mặt (hình) cầu tâm x0 , bán kính r arg f ( x ) Phần tử cực tiểu hàm f arg max f ( x ) Phần tử cực đại hàm f Tp (Ts ) Thời gian chạy song song (tuần tự) S p = Ts /Tp (E p = S p /N) Tỷ lệ tăng tốc độ (Hiệu suất trung bình CPU) D ( A)( R( A)) Miền xác định (giá trị) toán tử A G ( A) Đồ thị toán tử A Fix (S) F˜ (S) Tập điểm bất động ánh xạ S Tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ S V I ( A, C ) Tập nghiệm VIP cho toán tử A C EP( f , C ) Tập nghiệm EP cho song hàm f C PC (ΠC ) Phép chiếu metric (tổng quát) tập C φ(., ) Phiếm hàm Lyapunov < ( Giả sử Ap ∈ / Fix ( Tr ), Fj nghĩa Ap 6= Tr ( Ap) Từ điều kiện Opial không gian Hilbert H2 , (4.10) Bổ đề 1.31, ta có Fj lim inf || Az¯m − Ap|| < lim inf || Az¯m − Tr ( Ap)|| m→∞ m→∞ h i Fj Fj Fj ≤ lim inf || Az¯m − Trm ( Az¯m )|| + || Trm ( Az¯m ) − Tr ( Ap)|| m→∞ F F = lim inf || Trmj ( Az¯m ) − Tr j ( Ap)|| m→∞ F F = lim inf || Tr j ( Ap) − Trmj ( Az¯m )|| m→∞ z 126 ≤ lim inf m→∞ |r − rm | Fj || Trm ( Az¯m ) − Az¯m || || Ap − Az¯m || + rm = lim inf || Ap − Az¯m || m→∞ Fj Từ mâu thuẫn này, suy Ap ∈ Fix ( Tr ) = EP( Fj , Q), nghĩa Ap ∈ ∩ jM=1 EP( Fj , Q) Cuối cùng, ta chứng minh dãy { xn } hội tụ yếu tới p Thật vậy, giả sử { xn } có dãy { xk } hội tụ yếu tới q 6= p Theo điều kiện Opial không gian Hilbert H1 , ta có lim inf || xk − q|| < lim inf || xk − p|| = lim inf || xm − p|| k→∞ k→∞ m→∞ < lim inf || xm − q|| = lim inf || xk − q|| m→∞ k→∞ Từ mâu thuẫn này, suy dãy { xn } hội tụ yếu tới p Do đó, từ Bước 2, ta có j yin , zin * p wn * Ap n → ∞ Định lý 4.1 chứng minh Để thu thuật tốn hội tụ mạnh, chúng tơi kết hợp Thuật toán 4.1 với phương pháp chiếu co (shrinking projection method) thu thuật toán hội tụ mạnh sau Thuật toán 4.2 (Phương pháp EGM - PPM lai ghép song song) Khởi tạo Chọn x0 ∈ C, C0 = C, tham số điều khiển λ, rn , µ thỏa mãn điều kiện sau < λ < 1 , 2c1 2c2 , rn ≥ d > 0, < µ < || A||2 Bước Giải 2N toán tối ưu o n yin = arg λ f i ( xn , y) + ||y − xn ||2 : y ∈ C , i = 1, , N, n o zin = arg λ f i (yin , y) + ||y − xn ||2 : y ∈ C , i = 1, , N Bước Tìm z¯n = arg max ||zin − xn || : i = 1, , N Bước Giải M toán cân hiệu chỉnh j F j wn = Trn ( Az¯n ), j = 1, , M n o j Bước Tìm w¯ n = arg max ||wn − Az¯n || : j = 1, , M Bước Tính tn = PC (z¯n + µA∗ (w¯ n − Az¯n )) Bước Xây dựng Cn+1 = {v ∈ Cn : ||tn − v|| ≤ ||z¯n − v|| ≤ || xn − v||} Tính xn+1 = PCn+1 ( x0 ) Đặt n = n + quay lại Bước z 127 ¯ ) thay giả Để thiết lập hội tụ Thuật toán 4.2, giả thiết (A3 ¯ ) thiết yếu (A3a ¯ ) f (., y) nửa liên tục theo dãy C với y ∈ C cố định, tức là, (A3a lim sup f ( xn , y) ≤ f ( x, y) với dãy { xn } ⊂ C hội tụ tới x n → ∞ Ta có n→∞ kết sau M Định lý 4.2 (Định lý hội tụ mạnh) Giả sử Fj j=1 , A, Ω thỏa mãn điều kiện ¯ ), (A2 ¯ ), Định lý 4.1 song hàm { f i }iN=1 : C × C → < thỏa mãn điều kiện (A1 i i ¯ ) (trang 47) (A3a ¯ ) Khi đó, dãy { xn }, yn , zn , i = 1, , N sinh (A4 n o j Thuật toán 4.2 hội tụ mạnh tới x † = PΩ ( x0 ) wn , j = 1, , M hội tụ mạnh tới Ax † ∈ ∩ jM=1 EP( Fj , Q) Chứng minh Chứng minh Định lý 4.2 chia thành ba bước Bước Chứng minh Cn tập lồi đóng Ω ⊂ Cn với n ≥ Thật vậy, từ C0 = C, sử dụng quy nạp, dễ dàng suy Cn tập lồi đóng Bây giờ, ta chứng minh Ω ⊂ Cn với n ≥ Thật vậy, từ Bổ đề 3.1(ii) giả thiết λ, ta ||zin − x ∗ || ≤ || xn − x ∗ || với x ∗ ∈ Ω Do ||z¯n − x ∗ || ≤ || xn − x ∗ || (4.14) Lập luận tương tự Bước chứng minh Định lý 4.1, ta có ||tn − x ∗ ||2 ≤ ||z¯n − x ∗ ||2 − µ(2 − µ|| A∗ ||2 )||w¯ n − Az¯n ||2 ≤ ||z¯n − x ∗ ||2 (4.15) Từ (4.14) (4.15), ta thu ||tn − x ∗ || ≤ ||z¯n − x ∗ || ≤ || xn − x ∗ ||, ∀ x ∗ ∈ Ω Do đó, từ định nghĩa Cn phép quy nạp, suy Ω ⊂ Cn với n ≥ Bước Chứng minh { xn } dãy Cauchy j lim xn = lim yin = lim zin = p, lim wn = lim Az¯n = Ap n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Thật vậy, từ xn = PCn ( x0 ) Bổ đề 1.6(i), ta có || xn − x0 || ≤ ||u − x0 ||, ∀u ∈ Cn (4.16) Do đó, từ xn+1 ∈ Cn+1 ⊂ Cn , ta có || xn − x0 || ≤ || xn+1 − x0 || Suy ra, dãy {|| xn − x0 ||} không giảm Thay u = x † := PΩ ( x0 ) ∈ Ω ⊂ Cn vào (4.16), ta || xn − x0 || ≤ || x † − x0 || z 128 (4.17) Suy ra, dãy {|| xn − x0 ||} bị chặn tồn giới hạn dãy {|| xn − x0 ||} Với m ≥ n, từ định nghĩa tập Cm , ta có xm ∈ Cm ⊂ Cn Do vậy, từ xn = PCn ( x0 ) Bổ đề 1.6(i), suy || xn − xm ||2 ≤ || xm − x0 ||2 − || xn − x0 ||2 Lấy giới hạn bất đẳng thức cuối m, n → ∞, ta thu lim || xn − xm || = 0, m,n→∞ hay { xn } dãy Cauchy lim || xn − xn+1 || = n→∞ (4.18) Từ định nghĩa Cn+1 xn+1 ∈ Cn+1 , ta có ||tn − xn+1 || ≤ ||z¯n − xn+1 || ≤ || xn − xn+1 || Do đó, từ bất đẳng thức tam giác, ta ||tn − xn || ≤ ||tn − xn+1 || + || xn+1 − xn || ≤ 2|| xn − xn+1 ||, ||z¯n − xn || ≤ ||z¯n − xn+1 || + || xn+1 − xn || ≤ 2|| xn − xn+1 ||, ||z¯n − tn || ≤ ||z¯n − xn || + || xn − tn || ≤ 4|| xn − xn+1 || Kết hợp ba bất đẳng thức cuối với (4.18), ta có lim ||tn − xn || = lim ||z¯n − tn || = lim ||z¯n − xn || = n→∞ n→∞ n→∞ (4.19) Do vậy, từ định nghĩa z¯n , suy lim ||zin − xn || = 0, ∀i = 1, , N n→∞ (4.20) Vì { xn } dãy Cauchy nên xn → p lim tn = lim z¯n = lim zin = p, ∀i = 1, , N n→∞ n→∞ n→∞ Từ suy lim Az¯n = Ap n→∞ Kết hợp (4.15) bất đẳng thức tam giác, ta µ(2 − µ|| A∗ ||2 )||w¯ n − Az¯n ||2 ≤ ||z¯n − x ∗ ||2 − ||tn − x ∗ ||2 z 129 (4.21) = (||z¯n − x ∗ || − ||tn − x ∗ ||)(||z¯n − x ∗ || + ||tn − x ∗ ||) ≤ ||z¯n − tn ||(||z¯n − x ∗ || + ||tn − x ∗ ||) Do đó, từ giả thiết µ(2 − µ|| A∗ ||2 ) > 0, tính bị chặn dãy {tn } , {z¯n } (4.19), ta lim ||w¯ n − Az¯n || = n→∞ Do đó, từ định nghĩa w¯ n , suy j lim ||wn − Az¯n || = 0, ∀ j = 1, , M (4.22) n→∞ Kết hợp với (4.21), suy j lim wn = Ap, ∀ j = 1, , M (4.23) n→∞ Từ Bổ đề 3.1(ii) bất đẳng thức tam giác, ta có (1 − 2λc1 )||yin − xn ||2 ≤ || xn − x ∗ ||2 − ||zin − x ∗ ||2 = (|| xn − x ∗ || − ||zin − x ∗ ||)(|| xn − x ∗ || + ||zin − x ∗ ||) ≤ || xn − zin ||(|| xn − x ∗ || + ||zin − x ∗ ||) Do đó, từ giả thiết λ, tính bị chặn { xn } , zin (4.20), ta lim ||yin − xn || = (4.24) n→∞ Do yin → p n → ∞ với i = 1, , N Bước Chứng minh p ∈ Ω p = x † := PΩ ( x0 ) Thật vậy, từ Bước 2, giả thiết ¯ ) lập luận tương tự (4.11)-(4.13), ta thu p ∈ ∩ N EP( f i , C ) Hơn (A3a i =1 nữa, từ Bổ đề 1.31, với r > đó, ta có F F F F || Tr j ( Ap) − Ap|| ≤ || Tr j ( Ap) − Trnj ( Az¯n )|| + || Trnj ( Az¯n ) − Az¯n || + || Az¯n − Ap|| rn − r Fj ≤ || Ap − Az¯n || + || Trn ( Az¯n ) − Az¯n || rn F + || Trnj ( Az¯n ) − Az¯n || + || Az¯n − Ap|| rn − r j j = 2|| Ap − Az¯n || + ||wn − Az¯n || + ||wn − Az¯n || → rn Fj (4.21), (4.22), (4.23) rn ≥ d > Do Tr ( Ap) − Ap = 0, hay Ap Fj điểm bất động Tr Từ Bổ đề 1.29, ta Ap ∈ ∩ jM=1 EP( Fj , Q) Do p ∈ Ω Cuối cùng, từ (4.17), ta có || xn − x0 || ≤ || x † − x0 || x † = PΩ ( x0 ) Lấy giới hạn bất đẳng thức cuối n → ∞, ta || p − x0 || ≤ || x † − x0 || Từ định nghĩa x † , suy p = x † Định lý 4.2 chứng minh z 130 4.2 Ứng dụng cho toán biến phân tách Trong phần này, xét toán biến phân tách (SVIP) [34, Mục 6.1] sau đây: Tìm x ∗ ∈ C cho h Ai ( x ∗ ), y − x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C, ∀i = 1, , N (4.25) u∗ = Ax ∗ ∈ Q thỏa mãn B (u∗ ), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ Q, ∀ j = 1, , M, j C ⊂ H1 , Q ⊂ H2 tập lồi đóng khác rỗng; Ai : C → H1 , Bj : Q → H2 toán tử A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn Tập nghiệm tốn SVIP (4.25) kí hiệu Ω= n ∗ x ∈ ∩iN=1 V I ( Ai , C ) ∗ : Ax ∈ ∩ jM=1 V I ( Bj , Q) o Y Censor cộng [34] sử dụng phương pháp gradient đề xuất thuật toán song song [34, Thuật toán 6.4] giải toán SVIP (4.25) chứng minh dãy sinh thuật toán hội tụ yếu tới điểm Ω với giả thiết toán tử Ai , Bj đơn điệu mạnh ngược Để giải toán (4.25), giả thiết toán tử Ai , Bj thỏa mãn điều kiện sau Điều kiện AB • Ai giả đơn điệu C • Ai liên tục Lipschitz với số L > • Bj đơn điệu Q Hơn nữa, để thu kết hội tụ yếu (Định lý 4.3), toán tử Ai thỏa mãn thêm điều kiện sau Ai ( xn ) → Ai ( x ), i = 1, , N với dãy { xn } ⊂ C hội tụ yếu tới x Chúng ta có kết sau Bổ đề 4.1 Giả sử Ai , Bj toán tử thỏa mãn Điều kiện AB Khi z 131 (4.26) (i) Song hàm f i ( x, y) = h Ai ( x ), y − x i với x, y ∈ C thỏa mãn điều kiện Định lý 4.2 Nếu điều kiện (4.26) thỏa mãn f i thỏa mãn điều kiện Định lý 4.1 Hơn nữa, với λ ∈ 0, L yi = PC ( x − λAi (z)) y = arg λ f i (z, y) + ||y − x || : y ∈ C i (ii) Song hàm Fj (u, v) = Bj (u), v − u với u, v ∈ Q thỏa mãn điều kiện Fj Định lý 4.1 4.2 Hơn nữa, với r > 0, w j = Tr (u) D E w j + rBj (w j ) − u, v − w j ≥ 0, ∀v ∈ Q ¯ ), (A3a ¯ ), (A4 ¯ ) Vì Chứng minh (i) Dễ thấy, song hàm f i thỏa mãn giả thiết (A1 Ai liên tục Lipschitz với số L nên theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cauchy, ta có f i ( x, y) + f i (y, z) − f i ( x, z) = h Ai ( x ) − Ai (y), y − zi ≥ −|| Ai ( x ) − Ai (y)||||y − z|| L L ≥ − L|| x − y||||y − z|| ≥ − || x − y||2 − ||y − z||2 2 ¯ ) với số c1 = c2 = L/2 Tương tự, với Do đó, f i thỏa mãn điều kiện (A2 ¯ ) Do f i thỏa mãn điều kiện (4.26), song hàm f i thỏa mãn điều kiện (A3 điều kiện Định lý 4.1 Theo định nghĩa f i yi , ta có yi = argmin{λ h Ai (z), y − zi + ||y − x ||2 } y∈C λ2 = argmin{ ||y − ( x − λAi (z))|| − || Ai (z)||2 − λ h Ai (z), z − x i} 2 y∈C = argmin{ ||y − ( x − λAi (z))||2 } y∈C = PC ( x − λAi (z)) (ii) Dễ thấy, Fj thỏa mãn điều kiện Định lý 4.1 4.2 Từ định nghĩa Fj Fj Fj , Tr w j = Tr (u), suy D E j j Bj (w ), v − w + hv − w j , w j − ui ≥ 0, r ∀v ∈ Q, hay D E w j + rBj (w j ) − u, v − w j ≥ 0, ∀v ∈ Q Bổ đề 4.1 chứng minh z 132 Từ Bổ đề 4.1 Định lý 4.1 4.2, ta thu kết sau Định lý 4.3 Giả sử toán tử Ai , Bj thỏa mãn điều kiện AB (4.26), A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ Hơn nữa, giả sử tập nghiệm Ω toán (4.25) khác rỗng Giả sử { xn } dãy sinh bởi: x0 ∈ C yin = PC ( xn − λAi ( xn )), zi = PC ( xn − λAi (yi )), n n D E j j j ¯ w + r B ( w ) − z , z − w n j n n n n ≥ 0, ∀ z ∈ Q, x = P (z¯ + µA∗ (w¯ − Az¯ )) , n +1 n C n n z¯n w¯ n xác định Thuật tốn 3.2 Khi đó, λ ∈ 0, L1 , rn ≥ d > 0, µ ∈ 0, || A2||2 { xn } hội tụ yếu tới nghiệm Ω Định lý 4.4 Giả sử Ai , Bj toán tử thỏa mãn điều kiện AB A : H1 → H2 tốn tử tuyến bính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ Hơn nữa, giả sử tập nghiệm Ω toán (4.25) khác rỗng Giả sử { xn } sinh bởi: x0 ∈ C, C0 = C yin = PC ( xn − λAi ( xn )), zin = PC ( xn − λAi (yin )), E D wnj + rn Bj (wnj ) − z¯n , z − wnj ≥ 0, ∀z ∈ Q, tn = PC (z¯n + µA∗ (w¯ n − Az¯n )) , Cn+1 = {v ∈ Cn : ||tn − v|| ≤ ||z¯n − v|| ≤ || xn − v||} , x =P ( x ) n +1 Cn+1 z¯n , w¯ n , λ, rn µ xác định Định lý 4.3 Khi đó, dãy { xn } hội tụ mạnh tới PΩ ( x0 ) 4.3 Thử nghiệm số Trong phần này, chúng tơi trình bày ví dụ số minh họa hội tụ Thuật toán 4.1 4.2 Xét không gian Hilbert H1 =
Ngày đăng: 08/03/2023, 17:41
Xem thêm:
