Cơ học vật rắn là một trong những câu hỏi khó trong đề thi Học sinh giỏi, Olympic. Trong đó, dao động vật rắn được xem là phần khó nhất bởi tính phức tạp trong chuyển động của một cơ hệ, một vật rắn. Dưới đây là một số bài toán về dao động của vật rắn trích từ Sách, Đề thi HSG cấp tỉnh, HSG Quốc gia, Olympic 304,...
Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn DAO ĐỘNG VẬT RẮN Bài Một dài L, đồng chất, tiết diện đều, khối lượng m quay tự mặt phẳng nằm ngang quanh trục trục thẳng đứng qua tâm Một lị xo có độ cứng k gắn theo phương k nằm ngang đầu tường cố định(Hình 1) Khi cân bằng, song song với tường Người ta quay Hình chút thả nhẹ Chứng minh dao động điều hồ, tìm chu kì dao động Viết phương trình dao động vật ban đầu đưa lệch khỏi VTCB góc 60 phía chiều dương thả nhẹ; cho m =1kg; k = 100N/m Chọn gốc thời gian thả BÀI GIẢI Do nằm mặt phẳng ngang nên trọng lực phản lực cân nhau.Bỏ qua ma sát nên tác dụng lên có lực đàn hồi Ở VTCB, có lực trọng lực phản lực triệt tiêu nên lò xo khơng biến dạng k Ở vị trí mà lệch khỏi VTCB góc nhỏ, lị xo coi x vng góc với tường α Phương trình động lực học thanh: l − M dh = I − kx = I (1) l Mặt khác x = ; I = ml ; = 12 Do (1) − kl l ml 3k 3k = + = ; đặt = 2 + = m 22 12 m Vậy dao động điều hồ với tần số = 3k m Phương trình dao động = 0 sin (t + ) Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Chu kì dao động thanh: T = Cơ học vật rắn 2 = 2 m 3k Thay số vào cơng thức tần số góc, ta được: = 10 rad/s = = sin = = rad Tại thời điểm ban đầu: 30 = cos = = 30 Vậy phương trình dao động là: = sin 10 3t + rad 30 2 Bài Một tời tạo thành từ vật hình trụ đặc, đồng chất, khối lượng R O M, bán kính R tay quay với phần vng góc đến trục quay có α chiều dài L có khối lượng m1 cịn phần song song (tay cầm) có khối lượng m2 (Hình 3) Người ta treo vào tời vật có khối lượng m Giả thiết sợi dây treo vật có trọng lượng khơng đáng kể Tính chu kì dao động nhỏ hệ Bỏ qua lực cản chuyển động m m m Hình BÀI GIẢI Xét vị trí cân bằng, tay quay hợp với phương thẳng đứng góc α0, ta có: l M P1 + M P2 + M P = m1 g sin + m2 gl sin = mgR sin = mgR mR = l m1 g + m2 gl ( m1 + 2m2 ) l (1) Khi tay quay lệch khỏi vị trí cân góc α, ta có: l M P1 + M P2 + M P = I m1 g sin ( + ) − m2 gl sin ( + ) + mgR = I l − m1 g + m2 gl sin ( + ) + mgR = I l − m1 g + m2 gl ( sin + cos ) + mgR = I L (2) Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Thay (1) vào (2), với Cơ học vật rắn sin ;cos , ta có: l − m1 g + m2 gl cos l − m1 g + m2 gl cos 0 = I = I Với I xác định sau: 1 1 l I = mR + m2l + m1l + m1 + I = mR + m2l + m1l + MR 12 l m1 g + m2 gl cos Vận tốc góc hệ là: = 1 mR + m2l + m1l + MR 1 mR + m2l + m1l + MR Chu kì hệ là: T = 2 l m1 g + m2 gl cos Bài Một đồng chất OA chiều dài l, khối lượng m1 quay xung quanh trục nằm ngang O cố định, đầu A nối với vật có khối lượng m2 qua rịng rọc nhẹ dây khơng dãn hình Biết m2 = m1 ; OA = OD; bỏ qua ma sát lực cản Xác định vị trí cân bền φ = φ0 (0 ≤ φ Hình ≤ π)? Xác định chu kì dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng? BÀI GIẢI Chọn gốc hấp dẫn nằm ngang (φ = 0) l Thế hệ: Wt = − m1 g sin + m2 g 2l sin − m2 gl0 (l0 chiều dài dây φ = 0) 2 Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Wt = Tại VTCB bền Wt( ) (1) Wt = −m1 g cos − cos (1) (2) l cos + m2 g 2l cos = 2 = cos = = 0 = '' l 2 W = − m g − sin + cos + m g l cos sin 0 ( ) ( ) t 2 2 = Vậy = 0 = cực tiểu, hệ đạt cân bền Tại vị trí lệch khỏi VTCB ε + l Wt = − m1 g sin (0 + ) + m2 g l0 − 2l sin 2 1 Wd = J 0 2 + m2v22 2 v2 = 0 + d 2l sin dt m1l J = 0 + = 2l cos + + l 1 − m2 gl0 + J 0 2 + m2 l cos Cơ năng: W = −m1 g sin (0 + ) + m2 g.2l sin 2 2 l g m1 sin 0 − m2 sin dW 2 2 =0 + = m l dt m2l cos + Thanh dao động điều hòa = 0,656 g l T = 7,75 l g Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Bài 12 Một hình trụ đặc đồng chất, trọng lượng P, bán kính r đặt mặt lõm bán kính cong R (hình 10) Ở điểm hình trụ người ta gắn lị xo với độ cứng k Tìm chu kì dao động nhỏ hình trụ với giả thiết hình trụ lăn khơng trượt Hình 10 BÀI GIẢI Gọi θ góc quay quanh trục C trụ, 1 vận tốc góc O chuyển động quay quanh trục v vận tốc tịnh tiến trục: 1 = = v r α R Mặt khác, ta có: v = 1r = ( R − r ) k Lấy tích phân ta r = ( R − r ) R A’ A C θ 1 2 Động năng: Ed = mv + I 12 = m ( R − r ) ( ) 2 B B1 với I = mR 2 1 Thế năng: Et = kx + mg ( R − r ) với x độ biến dạng lò xo 2 Chú ý là: x = r + ( R − r ) = ( R − r ) ; chỗ thường học sinh lười vẽ hình, nên xác định x bị sai mg 2 Do đó: Et = k ( R − r ) + mg ( R − r ) = 4k + (R − r) 2( R − r ) Cơ năng: E = Eđ + Et = const Lấy đạo hàm hai vế: mg 2 m ( ) + k + = = 2( R − r ) 4k + mg ( R − r ) 16k 2g = + 3m ( R − r ) m Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Vậy chu kỳ dao động là: T = Trường hợp riêng: - - Cơ học vật rắn 2 16k g + 3m R − r Khi k = = 2g 3( R − r ) Khi R → thì: = 16k 3m Bài 14 Một đĩa đồng chất có khối lượng riêng 𝜌 = 9.103 𝑘𝑔/ 𝑚3 , có bề dày b = 2cm, bán kính R = 0,5m Đĩa bị khoét thủng hai lỗ có cùng bán kính R/2 ,đường viền hai lỗ thủng tiếp xúc tâm O đĩa hình 12 Cho momen O1 O2 R/2 qn tính đĩa đặc có khối lượng m, bán kính R trục qua tâm là: I = mR a Tính moment quán tính đĩa đã bị khoét trục Hình 12 vng góc với đĩa qua tâm O đĩa b Đặt đĩa mặt trụ bán kính 3R, mặt trụ cố định mặt phẳng ngang Kích thích cho đĩa dao động bé Tìm chu kì dao động biết đĩa lăn không trượt 𝑔 = 10𝑚/𝑠 - Mối liên hệ vận tốc góc đĩa quay quanh G với vận tốc góc G quay quanh O đĩa lăn không trượt mặt trụ: 𝑣𝐺 = 𝜔𝐺 𝑅 = 𝜔0 (3𝑅 − 𝑅) → 𝜔𝐺 = 2𝜔𝑂 BÀI GIẢI a - Momen qn tính đĩa trịn đặc, bán kính R tâm O là: I = mR 2 - Theo định lý Steiner momen quán tính đĩa bán kính R, khối lượng m trục song song qua qua mép đĩa là: I = I + md = mR + mR = mR 2 - Momen quán tính đĩa đặc bán kính R/2 tâm O1 trục O là: I1 = Ta coi đĩa bị khoét gồm ba phần mR 32 Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn + Phần đĩa đặc bán kính R có momen qn tính O là: I = mR 2 + Hai phần bị khoét có bán kính R/2 có momen qn tính I = −2 I1 = − Suy momen quán tính đĩa bị khoét lỗ là: I O = I + I = mR 16 5 mR = b R 16 16 b Chứng minh chu kì dao động điều hòa - Chọn gốc tâm cầu ở vị trí cân - Quả cầu lăn không trượt nên ta xét tâm quay tức thời K - Cơ cầu ở li độ góc α: O W = mg ( R )(1 − cos ) + I K K2 = const α (*) I K = I O + mR Với: VG = 0 R = K R K = 20 = 2 3R G R - Lấy đạo hàm hai vế phương trình (*) ta được: K mg ( R ) sin + ( I O + mR ) 40 0 = sin ; 0 = ; 0 = Suy ra: mgR + ( I O + mR ) = + P H mgR =0 ( I O + mR ) Vậy cầu DĐĐH với biên độ nhỏ với chu kì: T = 2 ( I O + mR ) mgR hay T = 2 21R 8g Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Bài 15 Một lắc kép gồm OA đồng chất, khối lượng m, chiều dài l = O 2R đĩa đồng chất có khối lượng m, bán kính R có tâm A Hệ quay mặt phẳng thẳng đứng quanh trục nằm ngang qua O song song với trục quay đĩa hình 13 Bỏ qua ma sát a Đĩa liên kết chặt chẽ với Chứng minh hệ dao động điều hịa A tìm chu kì dao động nhỏ hệ b Đĩa quay tự với Ban đầu, đứng yên nghiêng góc nhỏ so với phương thẳng đứng, đĩa có tốc độ góc ω0 Tìm chu kì dao Hình 13 động nhỏ BÀI GIẢI a Thanh đĩa tạo thành vật rắn có momen qn tính trục quay qua O là: mR mR 35mR 2 I= + mR + + m ( 2R ) = Chọn gốc hấp dẫn qua tâm quay O Cơ hệ li độ góc φ: W = −mgR cos − mg R cos + I = const Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế phương trình (*): W = 3mgR. .sin + Dao động nhỏ nên sin , mà = , = nên có: + Vậy hệ dao động nhỏ với chu kì T = 2 b Đối với đĩa quay quanh trục qua A: 35mR 2. = 12 18 g =0 35 R 35 R dLA = I A = 18 g dt dLA = I A = nên đĩa quay với tốc độ ω = ω0 = const dt Xét momen động lượng hệ trục qua O: 1 LO(thanh ) = mR + mR = mR 2 ; LO( dia ) = m ( R ) + I A0 3 Áp dụng ĐL MMĐL trục O: (*) 9g mR 2 + 4mR 2 = −3mgR sin + =0 16 R Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Vậy dao động nhỏ với chu kì T = 2 16 R 9g Bài 17 Một người thợ đặt thước gỗ đồng chất, tiết diện đều, chiều dài AB = khối trụ có bán kính R cố định mặt phẳng nằm ngang Ở vị trí cân trọng tâm G thước gỗ trùng với điểm tiếp xúc thước khối trụ Chứng minh thước dao động điều hịa bị lệch khỏi vị trí cân góc nhỏ Tìm chu kì dao động hệ, lấy g = 10 m/s2 BÀI GIẢI Chọn gốc O nằm trục đối xứng hình trụ Xét lượng li độ góc α: G Thế năng: Wt = mg ( R cos + R sin ) 1m m 2 2 + mKG Động năng: Wd = I K = 2 12 12 G’ K O (Vì KG nhỏ so với chiều dài thanh) m 2 (*) Cơ hệ: W = mgR ( cos + sin ) + 24 Lấy đạo hàm biểu thức (*) với: ω = α’ ta được: mgR ( − sin + sin + cos ) + m 12 gR 2 = + = 24 Hay gỗ dao động điều hịa với chu kì: T = 3gR Bài 20 Nửa khối cầu A đồng chất có bán kính r, trọng tâm G đặt nửa mặt cầu B cố định bán kính R (hình 16) Ma sát hai mặt đủ chúng không trượt a Tìm vị trí G b Tìm điều kiện để nửa khối cầu A cân bền c Tìm chu kì dao động bé bán cầu R = 2r O G r R O1 Hình 16 Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn BÀI GIẢI a Tìm vị trí khối tâm G: MzG = zdm = z ( r sin ) dz r2 − z2 MzG = r zdz = ( r − z ) zdz r 0 r r z zG = r z r O b Tìm điều kiện để nửa khối cầu A cân bền Thế vật A: W = P ( GK − GO1 ) = P OH − OG cos ( + ) − GO1 = P ( R + r ) cos − r cos ( + ) − R + r 8 Vì A lăn khơng trượt B, đó: R = r Do đó: R+r W = P ( R + r ) cos − r cos − R + r 8 r G G’ β O α O1 K H Đạo hàm hệ theo tọa độ , ta được: dW R + r = P − ( R + r ) sin + ( R + r ) sin d r d 2W (R + r) R + r = P − R + r cos + cos ( ) d r r Ta thấy dW = = , A có vị trí cân vị trí lúc đầu d d 2W Điều kiện cân bền = : d =0 3( R + r ) = P − ( R + r ) + 0R r 8r c Tìm chu kì dao động bé bán cầu R = 2r 3R 21R 3R Biểu thức năng: Wt = mg cos − cos3 − 16 16 Biểu thức động năng: Wd = ( IK + ) 4971 = − cos 2 mR 2 2560 16 Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Bài 61 ĐỀ THI HSGQG 2017 – 2018 (NGÀY 2) Xét hệ NewSpinor nằm mặt phẳng thẳng đứng gồm bốn đĩa phẳng đồng chất có khối lượng m, có bán kính R1 = R2 = R3 = 0,5R4 Mỗi đĩa quay quanh trục vng góc với mặt đĩa tâm Gắn cứng trục quay đĩa 1, 2, 3, vào điểm A, B, C, D khung cứng nhẹ, hình chữ Y cho đĩa tiếp xúc tam giác ABC tam giác Trục quay A hệ (vng góc với mặt phẳng hình vẽ) quay ổ trục O (ổ trục có khối lượng khơng đáng kể nằm khuất sau A hình vẽ) Bỏ qua ma sát đĩa trục, trục ổ O Gia tốc trọng trường g Giữ ổ trục O cố định, xét hai trường hợp: a) Các đĩa trượt không ma sát Thả nhẹ hệ từ vị trí C AD có phương ngang (Hình 1) Khi hệ quay tới vị trí cho O AD có phương thẳng đứng, xác định vận tốc góc ω khung cứng D A ABCD B b) Các đĩa lăn không trượt so với Giữ cố định đĩa Khi hệ Hình đứng n ở vị trí AD có phương thẳng đứng, kích thích nhẹ để hệ dao động Xác định chu kì dao động bé hệ O N A M Ổ trục O di chuyển không ma sát hai ray M N cứng, C D thẳng, song song, nằm ngang cố định (Hình 2) Đĩa gắn cứng với ổ trục O Thả nhẹ hệ vật từ vị trí AD có phương ngang Trong E B trình chuyển động, đĩa chuyển động tịnh tiến, đĩa lăn không trượt so với Khi hệ quay tới vị trí AD có phương Hình lệch góc θ so với phương thẳng đứng ( / ), xác định: a) Vận tốc góc ω khung ABCD b) Vận tốc ổ trục O hệ quy chiếu gắn với điểm E cố định đĩa (xem hình vẽ) Cho biết: Cơng thức cộng vận tốc góc 𝜔𝑖/𝑂 = 𝜔𝑖/𝑘ℎ𝑢𝑛𝑔 + 𝜔𝑘ℎ𝑢𝑛𝑔/𝑂 ; kí hiệu 𝜔𝑖/𝑂 vận tốc góc đĩa 𝑖 ổ trục O, 𝜔𝑖/𝑘ℎ𝑢𝑛𝑔 vận tốc góc đĩa 𝑖 trục quay gắn với khung, 𝜔𝑘ℎ𝑢𝑛𝑔/𝑂 vận tốc góc khung ổ trục O BÀI GIẢI Các khoảng cách cần thiết dùng toán, với R = R1, DA = DB = DC = 3R Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn AB = BC = CA = 3√3R Khối tâm hệ đĩa D; khối tâm hệ ba đĩa 2-3-4 G nằm đường thẳng AD cách A đoạn AG = 4R a) Vì khơng có ma sát đĩa nên khơng có momen lực làm cho đĩa quay quanh khối tâm đĩa Khi đó, đĩa đứng yên, đĩa lại chuyển động tịnh tiến với khối tâm chúng 1 2 Theo định luật bảo toàn 3mg AG = mvD2 + mvB2 8g Với vD = ωAD = 3Rω vB = ωAB = 3√3Rω Ta tính ω = √ 21R b) Gọi A’, B’, C’ điểm tiếp xúc đĩa 1, 2, với đĩa thời điểm khảo sát Khi khung lệch khỏi vị trí cân thẳng đứng góc θ, vận tốc khối tâm đĩa 2, 3, vB = vC = AB θ′ = 3√3Rθ′ (1a) vD = AD θ′ = 3Rθ′ (1b) Do đĩa lăn không trượt đĩa đứng yên, nên tiếp điểm chúng đứng yên Khi đó, tốc độ điểm đĩa tâm D tốc độ khối tâm uD = vD (2) Các đĩa lăn không trượt nên véc-tơ vận tốc tiếp điểm C’ đĩa đĩa Vận tốc điểm đất vận tốc khối tâm cộng véc-tơ với vận tốc quay khối tâm ሬԦC′/D = v v ሬԦC′/C ሬԦD + u v ሬԦC′/D = v ሬԦC + u ሬԦC′/C (3a) Trong uC′/D = uD = vD Hình chiếu phương trình (3a) dọc theo đường nối tâm DC thu lại phương trình (1) Hình chiếu phương trình (3a) theo phương vng góc với đường nối tâm DC (tiếp tuyến với hai đĩa 4) vD sin 300 + uC′/D = vC cos 300 + uC′/C Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn uC′/C = (3b) Phương trình (3b) chứng tỏ, đĩa chuyển động tịnh tiến với khối tâm không quay quanh tâm C Điều cho đĩa 2, tính tốn tương tự v 2R Động hệ K = ID/A′ ( D ) + mvC2 K= 67,5mR2 θ′2 (4a) Thế hệ, với gốc A, U = −3mg AG cosθ (4c) θ2 U = −3mg 4R (1 − ) = −12mgR + 12mgRθ2 (4b) 2 Trong đó, ta đã sử dụng gần góc bé cho hàm cosin ở phương trình Từ biểu thức động ở (4a) (4b), ta nhận thấy hệ dao động điều hịa với mức qn tính (khối lượng hiệu dụng) μ = 67,5mR2 hệ số hồi phục κ = 12mgR Chu kì dao μ 45R κ 8g động T = 2π√ = 2π√ Trong phần này, ta kí hiệu w ሬሬሬԦ vận tốc so với đất, v ሬԦ vận tốc so với đĩa u ሬԦ vận tốc đĩa so với khối tâm A ሬሬሬԦ𝐴 w C θ D ሬሬሬԦ𝐴 w ሬሬሬԦ𝐴 w θ ሬԦC v ሬሬሬԦD ሬԦD w v ሬԦB v B ሬሬሬԦ𝐴 w a) Do đĩa chuyển động tịnh tiến đĩa lăn khơng trượt nên tính chất chuyển động quay đĩa A mô tả ở câu 1b Nghĩa là, đĩa D quay quanh khối tâm với tốc độ góc ωD = vD /2R, đĩa B C không quay quanh tâm mà chuyển động tịnh tiến Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn với khối tâm đĩa với tốc độ vB = vC = vD √3 (từ phương trình 1, xét hệ quy chiếu gắn với A) Khi bỏ qua ma sát, ngoại lực tác dụng lên hệ có phương thẳng đứng Do đó, hệ khơng gia tốc theo phương ngang, khối tâm D hệ đĩa dịch chuyển theo phương thẳng đứng Từ công thức cộng vận tốc cho khối tâm D: w ሬሬሬԦD = w ሬሬሬԦA + v ሬԦD , ta suy wD = vD sin θ (5a) wA = vD cos θ (5b) Đối với đất, vận tốc khối tâm B C đĩa ሬሬሬԦB = w w ሬሬሬԦA + v ሬԦB (6a) ሬሬሬԦC = w w ሬሬሬԦA + v ሬԦC (6b) Với góc β = ∠(w ሬሬሬԦA ; v ሬԦB ) = 7π − θ γ = ∠(w ሬሬሬԦA ; v ሬԦC ) = 5π − θ Ta tính tổng động đĩa KB + KC = m(wB2 + wC2 ) = (3 − cos2 θ)mvD2 (6c) 1 1 2 Tổng động đĩa 4: K D = mwD2 + m(2R)2 ω2D = mvD2 (1 + sin2 θ) (7) 1 2 Động đĩa 1: K A = mwA2 = mvD2 cos2 θ (8) Do đĩa chuyển động đường thẳng nằm ngang nên động hệ chuyển hóa từ độ giảm ba đĩa lại, tức biểu thức trọng trường xác định ở ý 1b, biểu thức (4c) Theo định luật bảo toàn năng: = ΣK + U Ta tính được: vD2 = 48gRcosθ 15−8 cos2 θ Tốc độ góc khung: ω = vD 3R (9) 16gcosθ =√ 3R(15−8 cos2 θ) (10) b) Trong hệ quy chiếu gắn với A (cũng với trục O), điểm E đĩa chuyển động quay quanh D kết hợp với chuyển động tịnh tiến khối tâm Do E nằm ở đối diện với tâm quay tức thời A’ nên có tốc độ gấp đôi tốc độ khối tâm D: vE = 2vD = 8√ 3gRcosθ 15−8 cos2 θ Tốc độ O E có cùng độ lớn vE có chiều ngược lại với vận tốc Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Bài 63 CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI OLYMPIC QUỐC TẾ 2010 – 2011 (NGÀY 1) Một vành trụ mỏng I, đồng chất, khối lượng M, bán kính R y Trong lịng vành trụ có khối trụ đặc II, đồng chất, khối lượng m, bán kính r, chiều dài với vành trụ Trong hình I vẽ bên, Oxy mặt phẳng tiết diện vng góc với trục vành A trụ, A B giao điểm mặt phẳng Oxy với hai trục Tác dụng lực có phương qua A vào vành trụ cho vành trụ lăn không trượt mặt phẳng nằm ngang dọc theo chiều dương trục Ox Biết khối trụ lăn khơng trượt lịng vành R B II r O x trụ, trục khối trụ song song với trục vành trụ Ở thời điểm t, góc hợp bởi AB phương thẳng đứng φ; vận tốc A vA, tốc độ góc AB quanh trục qua A ω Tính động hệ ở thời điểm t Xác định lực ma sát vành trụ khối trụ, vành trụ mặt phẳng nằm ngang theo gia tốc xA A gia tốc góc đoạn AB ở thời điểm t Giả thiết trục vành trụ chuyển động a) Tìm gia tốc góc đoạn AB theo φ, R, r, gia tốc A gia tốc trọng trường g b) Xác định quy luật biến đổi φ theo thời gian φ nhận giá trị nhỏ BÀI GIẢI Trục I chuyển động với tốc độ vA = xA , trục II chuyển động với tốc độ vB 1 1 v Động I là: WI = MvA2 + I AI2 = MvA2 + MR A = Mv A2 2 2 R Động II là: WII = 1 11 2 mvB + I BII2 = mvB2 + mr II = m ( 2vB2 + II2 r ) 2 22 * Tìm vB II : Chọn chiều dương cho chuyển động quay I II hình vẽ Ta có: xB = xA + ( R − r ) sin xB = xA + ( R − r ) cos (1) yB = R − ( R − r ) cos yB = ( R − r ) sin (2) với = tốc độ góc AB quanh A Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn vB = xB2 + yB2 = vA + ( R − r ) cos + ( R − r ) sin 2 Vì khối trụ lăn không trượt nên vận tốc vD tiếp điểm D I II phải Vận tốc vD có phương vng góc với ED có độ lớn vD = 2v A sin Mặt khác: vD = vB + vD/ B y Chiếu hai vế phương trình theo phương Ox ta có: 2v A sin = xB − rII cos (3) A Thay (1) vào (3): xA sin = xA + ( R − r ) cos − rII cos Suy ra: II = B xA 1 − 2sin + ( R − r ) cos r cos 2 O D E x II = xA + ( R − r ) = v A + ( R − r ) r r * Từ ta tìm động II: WII = 2 1 m v A + ( R − r ) cos + ( R − r ) sin + m v A + ( R − r ) WII = 2 m 3v A + ( R − r ) + 2v A ( R − r )( 2cos + 1) Suy ra: W = WI + WII = Mv A2 + m 3v A2 + ( R − r ) + 2v A ( R − r )( 2cos + 1) Kí hiệu lực ma sát phản lực tác dụng khối trụ F2 , N , lực ma sát tác dụng lên vành trụ F1 , F2 Xét chuyển động quay khối trụ quanh trục qua B: mr − F2r = I BB = F2 = − xA + ( R − r ) r m xA + ( R − r ) 2 F2 = − F2 = m m xA + ( R − r ) 2 Phương trình chuyển động quay vành trụ quanh trục qua A: Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn − F1R + F2 R = I M / A A − F1R + F2 R = MR xA − F1 + F2 = MxA R Từ tính được: F1 = F2 − MxA = A m m xA + ( R − r ) − MxA 2 Mg m m F1 = − M xA + ( R − r ) 2 O B E F1 mg x 3.a) Phương trình chuyển động khối trụ theo Ox, Oy là: F2 cos − N sin = mxB (4) −mg + F2 sin + N cos = myB (5) Khử N F2 từ phương trình nói trên: −mg + F2 sin + F2 cos − mxB cos = myB sin −mg sin + F2 ( sin + cos ) − mxB cos = myB sin Thay F2 = − m xA + ( R − r ) vào phương trình trên, ta có: 2 −mg sin − m xA + ( R − r ) − m xA + ( R − r ) cos − ( R − r ) 2 sin cos = m ( R − r ) sin − m ( R − r ) 2 cos sin g sin + ( 2cos + 1) xA + 3( R − r ) = = − g sin + ( 2cos + 1) xA 3( R − r ) 3.b) Khi A chuyển động xA = nên = − = − T = 2 (6) 2g sin Nếu nhỏ 3( R − r ) 2g 2g ; nên biến đổi điều hoà với tần số chu kỳ là: = 3( R − r ) 3( R − r ) 3( R − r ) 2g Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Bài 67 CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI OLYMPIC QUỐC TẾ 2003 – 2004 (NGÀY 2) Hai đĩa tròn A B đồng tính giống hệt Mỗi đĩa có momen qn tính I trục quay qua tâm đĩa vng góc với mặt phẳng đĩa Đĩa A nằm ngang, tâm đĩa gắn vào đầu sợi dây thẳng A 1 B 2 đứng có số xoắn K, đầu dây gắn vào điểm cố định C Đĩa B nằm ngang tâm đĩa gắn vào đầu sợi dây mảnh khác có số xoắn K, giống đĩa A, khác đầu dây gắn vào tâm mặt đĩa A, khiến cho hai dây treo nằm đường thẳng đứng Ở vị trí cân hai đĩa, hai dây treo khơng bị xoắn Kí hiệu 1 tọa độ góc đĩa (vào thời điểm t) tính từ vị trí cân Viết phương trình vi phân cho chuyển động đĩa Giả thiết hai đĩa dao động điều hịa với tần số góc ω theo phương trình 1 = A cos t ; 2 = B cos t Với giá trị ω hai phương trình thỏa mãn? Tính tỉ số A B Ban đầu đĩa A có tọa độ góc 1 ( 0) = 0 tốc độ góc Cần phải để đĩa B ở tọa độ góc ban đầu (tốc độ góc ban đầu đĩa B 0) hai đĩa dao động với tần số góc ở câu Chiều quay hai đĩa so với nào? BÀI GIẢI Ta có phương trình vi phân: I1 = −K1 + K (2 − 1 ) Từ giả thiết, suy ra: (1) I2 = −K (2 − 1 ) (2) 1 = − A cos t = − 21 (3) 2 = − B cos t = − 22 (4) Thay (3), (4) vào (1) (2); đồng thời chia hai vế cho cos t ( −I + 2K ) A − KB = ; KA + ( I − K ) B = 2 A − I + K K = = B K − I + 2K Muốn cho đồng thời hệ hai phương trình nghiệm đồng thời ta phải có: ( − I + K )( − I + K ) = K I 2 − 3KI + K = (5) Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Nghiệm phương trình (5) là: = 3KI KI = 3 2I 2 ( ) K I Như với hai giá trị sau ω hai phương trình (1) (2) thảo mãn: 1 = 3+ 3− K ; 2 = I + Nếu = 1 A I 1+ = − 12 = − B K + Nếu = 2 A I 1− = − 22 = − B K Nếu 1 ( 0) = 0 ( ) = K I B B 1 ( ) = A A Theo kết câu thì: + Nếu B 3+ =− , hai đĩa dao động với tần số góc: 1 = A 1+ Và ( ) = − + Nếu 20 1− = 0 −0,1180 1+ B 3− =− , hai đĩa dao động với tần số góc: 2 = A 1− Và 2 ( ) = − K K 1,933 I I K K 0,618 I I 20 1+ = 0 1,6180 1− Tóm lại, ban đầu đĩa A có vận tốc có tọa độ góc hai đĩa A B dao động với tần số góc ở thời điểm ban đầu này: a Đĩa B có tốc độ góc 0, có tọa độ góc 2 ( 0) −0,1180 Hai đĩa luôn chuyển động quay ngược chiều b Đĩa B có tốc độ góc 0, có tọa độ góc 2 ( 0) 1,6180 Hai đĩa luôn chuyển động quay chiều Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Bài 68 CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI OLYMPIC QUỐC TẾ 2002 – 2003 (NGÀY 2) Ba AB, BC, CD đồng chất, giống hệt nhau, có khối lượng m, chiều dài 2b, ghép với khớp khơng có A D 2b ma sát ở B C AB CD treo ở A giá đỡ nằm ngang Hệ dao động k C 2k D, nhờ khớp không ma sát, vào C B I x mặt phẳng thẳng đứng (phặt phẳng hình vẽ) G Vị trí hệ xác định góc lệch θ Trên BC có lồng hình trụ đồng chất, chiều dài 2h, có khối lượng m Hình trụ mắc vào hai lò xo chiều dài tự nhiên d = b có khối lượng khơng đáng kể Các lị xo có độ cứng 2k k Hai đầu lại lò xo mắc vào B C Hình trụ trượt khơng ma sát BC, trọng tâm G ln nằm BC Vị trí hình trụ xác định khoảng cách x từ trung điểm I BC đến trọng tâm G hình trụ (xem hình vẽ) Tìm biểu thức tồn phần hệ Viết phương trình chuyển động hình trụ dọc theo BC Xác định giá trị xc x toàn hệ nằm ở vị trí cân Ta xét dao động nhỏ hệ với giả thiết θ x đại lượng vô bé bậc b Người ta thả cho hệ bắt đầu dao động, vận tốc ban đầu, từ vị trí = 0 , x0 = xc + p.b.0 ; p thông số không thứ nguyên Thông số p phải thỏa mãn điều kiện để hệ thực dao động nhỏ sau: = 0 cos t x = xc + p.b.0 cos t ? a) Tìm điều kiện kb mg p = Xác định tần số góc 1 dao động hệ trường hợp b) Chứng tỏ điều kiện ở a) thảo mãn, hệ cịn thực dao động điều hịa nhỏ với tần số góc 2 khác với 1 Xác định 2 Giải thích kết thu Cho biết: Momen quán tính đồng chất, khối lượng m, chiều dài 2b, đường trung trực J = mb Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn BÀI GIẢI Cơ toàn phần hệ gồm động năng, bảo tồn khơng có ma sát lực lực (trọng lực lực đàn hồi) + Động hệ: Wd = Wd ( AB ) + Wd (CD ) + Wd ( BC ) + Wd (tru ) m ( 2b ) 2 2 = J = = mb 3 Với Wd ( AB ) = Wd (CD ) Wd ( BC ) = 2 mvI = m ( 2b ) = 2mb 2 2 2 Hình trụ có vận tốc: vG = vI + xex , vI có phương vng góc với AB Do vậy: vGx = 2b cos + x ; vGy = −2b sin mvG = m ( 4b 2 2 + 4bx cos 2 + x2 ) 2 Vậy Wd = 16 2 mb + m ( 4bx cos 2 + x2 ) + Thế trọng trường là: Wt ( AB ) = Wt (CD ) = −mgb cos + C Wt ( BC ) = −2mgb cos + C Wt (tru ) = −2mgb cos + C + Thế đàn hồi lò xo: Wt (loxo ) = 1 2 2 2k ( b + x − h − d ) + k ( b − x − h − d ) = k ( x − h ) + k ( x + h ) 2 2 + Thế toàn phần hệ Wt = −6mb cos + k ( x − h ) + k ( x + h ) + C + Cơ toàn phần hệ W= 16 2 1 2 mb + m ( 4bx cos + x2 ) − 6mb cos + k ( x − h ) + k ( x + h ) = const 2 Lập phương trình chuyển động hình trụ dọc theo BC = Fx = − Ta có: mvGx dWt (loxo ) dx 3kx =− + kxh (1) Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Lấy đạo hàm hai vế theo t: m ( x + 2b cos − 2b sin 2 ) = −3kx + kh (2) Khi tồn hệ ở vị trí cân thì: x = ; = Từ suy ra: xc = h ; =0 Nghiệm phương trình có dạng x = h + pb x = pb ; x = pb (3) 16 3 Thay vào (1), ta có: mb 2 + ( p cos + p ) − 6mgb cos + k p 2b 2 + h = const 3 2 Lấy đạo hàm, giản ước bỏ số hạng bậc cao θ, ta có: 16 2mb 2 + ( p + p ) + ( 6mgb + 3kp 2b ) = 3 (4) Từ (2), (3) (4) ta có: m ( pb + 2b cos ) − 2mb sin 2 = −3kpb (5) Rút gần bậc theo θ: m ( p + 2) = −3kpb Như nếu: = 0 cos t , thay vào (4) (5) ta có: = ( 2mg + kp 2b ) mb 3k + p ( + p ) Phương trình cho p là: ( 3kb ) p + (16kb − 3mg ) p − 6mg = = 3kp m ( p + 2) (6) 9mg = 19kb a) Khi p = ta có k = 1 = m p =1 b) Khi 9mg = 19kb (6) trở thành: p + 29 p − 38 = 38 p=− Với p = = 1 = Với p = − k m 38 57 k = 2 = 10m - Như hệ gồm hai hệ dao động tử ghép với (hệ hệ hình trụ) Hai tần số góc 1 2 tần số riêng hai dao động tử Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Với điều kiện ban đâu, hệ dao động: - Với tần số góc 1 , hình trụ dao động pha với (p = 1) = 0 cos 1t x = xc + b0 cos 1t - Với tần số góc 2 , hình trụ dao động ngược pha với ( p = − 38 ) = 0 cos 2t x = xc + b0 cos 2t Nếu điều kiện ban đầu bất kì, có tổng hợp tuyến tính dao động riêng nói Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn Bài 69 CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI OLYMPIC QUỐC TẾ 2003 – 2004 Để đo gia tốc trọng trường g, người ta dùng lắc rung, gồm M thép phẳng chiều dài l, khối lượng m, đầu thép gắn chặt vào điểm O giá, đầu gắn chất điểm khối lượng M ở vị trí cân thép thẳng đứng Khi làm thép lệch khỏi vị trí cân góc nhỏ θ (radian) sinh momen lực c. (c hệ số không đổi) kéo thép trở l vị trí (xem hình vẽ) Trọng tâm thép nằm trung điểm momen quán tính riêng thép trục quay qua O ml2/3 O Tính chu kì T dao động nhỏ lắc Cho l = 0,20m, m = 0,01kg, M = 0,10kg Để lắc dao động, hệ số c phải lớn giá trị nào? Biết g không vượt 9,9m/s2 Cho l, m, M có giá trị ở 2), c = 0,208 Nếu đo T = 10s g có giá trị bao nhiêu? Cho l, m, M, c có giá trị cho ở 3) Tính độ nhạy lắc, xác định bởi dT , dT biến dg thiên nhỏ T ứng với biến thiên nhỏ dg g quanh giá trị trung bình g0 = 9,8m/s2 Nếu ở gần g0, gia tốc g tăng 0,01m/s2 T tăng hay giảm bao nhiêu? Xét lắc đơn có chiều dài L = 1m dùng để đo g Tính độ nhạy lắc đơn ở gần giá trị trung bình g0; g tăng 0,01m/s2 chu kì T lắc đơn tăng hay giảm bao nhiêu? So sánh độ nhạy hai lắc BÀI GIẢI Momen quán tính lắc J = ml m + Ml = l M + 3 l m Momen = mg sin + Mgl sin − c gl M + − c 2 Phương trình J = m l M + 3 m c − gl M + m 2 = gl M + − c hay + =0 m 2 2 l M + 3 Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn m Giả thiết c gl M + , lắc có dao động nhỏ với chu kì 2 m l2 M + 3 T = 2 m c − gl M + 2 (1) m Điều kiện c gl M + , với gmax = 9,9m/s2 cho c 9,9.0, 2.0,105 hay c 0, 2079 2 m m Đặt a = l M + = 0,004132 , b = l M + = 0,021 (đơn vị SI) 3 2 a (1) T = 2 c − bg T2 a (2), hay , với T = 10s tính g = 9,83m/s2 = 4 c − bg 1 Lấy ln hai vế (2): ln T = ln 2 + ln a − ln ( c − bg ) 2 Lấy đạo hàm g, với T hàm g: dT b dT bT (3) = độ nhạy = T dg ( c − bg ) dg ( c − bg ) Với b = 0,021, c = 0, 208 với g g = 9,8m/s T 10s , ta có g tăng 0,01m/s2 T tăng 0,48s, dễ dàng đo Chú ý: Nếu tính trực tiếp dT từ (2), khơng qua ln phức tạp Cũng không cần thay T dg (3) (2), ta đã biết với g g0 T 10s Với lắc đơn T = 2 g: l 1 , làm tương tự: ln T = ln 2 + ln L − ln g Lấy đạo hàm 2 g dT dT T =− =− T dg 2g dg 2g Con lắc đơn có L = 1m T 2s Với g 9,8m/s dT −0,1 ; g tăng 0,01m/s2 T giảm dg 0,001s, không đo Vậy lắc rung nhạy lắc đơn ... Tìm chu kì dao động nhỏ vật Biết q trình dao động, vật ln lăn không trượt lên vật r R b) Biết µ hệ số ma sát nghỉ vật vật Tìm giá trị lớn A α0 α0 góc β0 để q trình dao động điều hịa, vật khơng... học vật rắn Giả thiết góc α0 bé, đồng thời giải phóng A B không vận tốc đầu Chứng minh hệ dao động điều hịa Tìm chu kì dao động hệ, biên độ dao động A, B áp lực cực đại mà A nén lên B trình dao. .. gx Phương trình động lực học: − ( k + g ) x = Lx (1) Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Cơ học vật rắn k + g = L Tần số dao động: = k g + M L (2) b Năng lượng mát dao động: Li độ dây vị