WWW.VIETMATHS.COM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYÊN TẤT THÀNH
TỔ: TOÁN
ĐỀ THI THỬ CAO ĐẲNG NĂM2013
Môn thi: TOÁN – Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
ĐỀ SỐ 1
PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3 ( 1) 1
y x mx m x
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
.
2. Tìm
m
để đường thẳng
2 1
y x
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn
điểm
C 0;1
nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng
30
.
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2cos4x - (
3
- 2)cos2x = sin2x +
3
2. Giải hệ phương trình
2 2
2 1 2 4( 1)
4 2 7
x y x y
x y xy
.
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
e
1
ln x 2
dx
xln x x
.
Câu IV: (1,0 điểm) ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC) . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45
0
. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a.
Câu V: (1,0 điểm) Cho các số thực không âm
z
y
x
,
,
thoả mãn 3
222
zyx . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
zyx
zxyzxyA
5
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(-1;2) và đường thẳng (
):
3 4 7 0
x y
. Viết
phương trình đường tròn đi qua điểm A và cắt đường thẳng (
) tại hai điểm B, C sao cho
ABC vuông tại A
và có diện tích bằng
4
5
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 1 2
:
2 1 1
x y z
và điểm A(2;1;2).
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng
1
3
.
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển
( )
10
1 2x
+ .
( )
2
2
3 4x 4x
+ + =
0
a
+
1
a
x +
2
a
x
2
+ .+
14
a
x
14
. Tìm giá trị của a
6
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(2;-3). Biết đỉnh A , C lần lượt
thuộc các đường thẳng : x + y + 3 = 0 và x +2y + 3 = 0 .Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng :
1
1
: 2
1
x t
d y t
z
;
WWW.VIETMATHS.COM
2
2 1 1
:
1 2 2
x y z
d
. Viết phương trình mp(P) song song với
1
d
và
2
d
, sao cho khoảng cách từ
1
d
đến (P)
gấp hai lần khoảng cách từ
2
d
đến (P).
Câu VI.b (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
log ( 2 8) 6
8 2 .3 2.3
x x y x y
y x
.
Hết
TRƯ
ỜNG THPT CHUY
ÊN NGUYÊN T
ẤT TH
ÀNH
TỔ: TOÁN
ĐÁP ÁN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 1.
C
âu
N
ỘI DUNG
ĐI
ỂM
Câu 1
I.1
Với m=1 ta có
3 2
2 3 1
y x x
TXĐ: D=R
Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim ; lim
x x
y y
0,25
-Ta có:
' 6 ( 1)
y x x
0
' 0
1
x
y
x
-BBT:
x
0 1
y’ + 0 - 0 +
y 1
0
0,25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (
;0) và (1;
)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y
CĐ
=1
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và y
CT
=0
0,25
Đồ thị:
- Ta có
1
'' 12 6 '' 0
2
y x y x
1 1
( ; )
2 2
I là điểm uốn của đồ thị.
- Đồ thị (C) cắt trục Oy tại
A 0;1
- Đồ thi cắt trục Ox tại
1
B 1;0 ;C ;0
2
0,25
WWW.VIETMATHS.COM
I.2
Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (Cm) của hàm số:
3 2
2 3 ( 1) 1
y x mx m x
là
nghiệm phương trình:
3 2
2 3 ( 1) 1 2 1
x mx m x x
2
2
0 1
(2 3 3) 0
2 3 3 0 (*)
x y
x x mx m
x mx m
0,25
Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm A; C; B phân biệt và C nằm giữa A và B khi
và chỉ khi PT (*) có 2 nghiệm trái dấu
2.( 3) 0 3
m m
0,25
Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn
3
2
3
.
2
A B
A B
m
x x
m
x x
và
2 1
2 1
A A
B B
y x
y x
( vì A và B thuộc (d))
0,25
AB =
30
2 2
( ) ( ) 30
B A B A
x x y y
2
2 2
9 3
( ) 6 ( ) 4 . 6 4. 6
4 2
B A B A B A
m m
x x x x x x
2
0
9 8 0 : 3
8
9
m
m m tmdk m
m
.
0,25
CÂU II
II.1
1. Giải phương trình: 2cos4x - (
3
- 2)cos2x = sin2x +
3
Phương tr
ình
đ
ã cho t
ương đương v
ới
2(cos4x + cos2x) = 3 (cos2x + 1) + sin2x
0,25
2
cosx=0
4 os3xcosx=2 3 os 2sinxcosx
2cos3x= 3 osx+sinx
c c x
c
0,25
+ osx=0 x=
2
c k
0.25
WWW.VIETMATHS.COM
+
3x=x- 2
6
2 os3x= 3 osx+sinx cos3x=cos(x- )
6
3 2
6
k
c c
x x k
12
24 2
x k
k
x
0,25
II.2
2. Giải hệ phương trình
2 2
2 1 2 4( 1)
4 2 7
x y x y
x y xy
.
Điều kiện: x+2y
1 0
Đặt t =
2 1 (t 0)
x y
0,25
Phương trình (1) trở thành : 2t
2
– t – 6 = 0
2 /
3
t/m
2
t t m
t k
0,25
+ Hệ
2 2
2 3
4 2 7
x y
x y xy
0,25
1
1
( / )
2
1
2
x
y
t m
x
y
0,25
Câu II
Ta có: I =
e
1
ln x 2
dx
xln x x
=
e
1
ln x 2
dx
(ln x 1)x
0,25
Đặt t = lnx + 1
dt =
1
dx
x
; Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2
0,25
Suy ra: I =
2 2
1 1
t 3 3
dt 1 dt
t t
0,25
=
2
1
t ln | t |
= 1 – ln2
0,25
Câu IV
H
M
C
A
S
WWW.VIETMATHS.COM
PHN RIấNG (3,0 im)
A. Theo ch
ng tr
ỡnh Chu
n
VI.a
(2,0
im)
1. (1,0 i
m)
Gi AH l ng cao ca
ABC
, ta cú
4
( ; )
5
AH d A
0,25
BC AB
BC (SAB) BC SB
BC SA
Suy ra gúc gia mp(SBC) v mp(ABC) l gúc
SBA
.
Theo gi thit
SBA
= 45
0
0,25
Gi M l trung im ca SC, H l trung im ca AC.
Tam giỏc SAC vuụng ti A nờn MA = MS = MC, tam giỏc SBC vuụng ti B nờn MB =
MC = MS.
Suy ra M l tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABC.
0,25
Suy ra tam giỏc SAB vuụng cõn ti A, do ú SA = AB = a.
SA
(ABC), MH // SA nờn MH
(ABC).
Suy ra MH l ng cao khi chúp M.ABC.
0,25
Suy ra
3
M.ABC ABC
1 a
V MH.S
3 12
0,25
Cõu V
Đặt
z
y
x
t
2
3
)(23
2
2
t
zxyzxyzxyzxyt .
0,25
Ta có 30
222
zyxzxyzxy nên 3393
2
tt vì
.0
t
Khi đó .
5
2
3
2
t
t
A
0.25
Xét hàm số .33,
2
35
2
)(
2
t
t
t
tf
Ta có 0
55
)('
2
3
2
t
t
t
ttf ,
t 3;3 .
0,25
Suy ra )(tf đồng biến trên ]3,3[ . Do đó .
3
14
)3()( ftf
Dấu đẳng thức xảy ra khi .13
zyxt
Vậy GTLN của A là
3
14
, đạt đợc khi .1
zyx
0,25
WWW.VIETMATHS.COM
1 4 1 4
. . . 2
2 5 2 5
ABC
S AH BC BC BC
. Gọi I ;R lần lượt là tâm và bán kính của đường
tròn cần tìm, ta có :
1
1
2
R AI BC
.
Phương trình tham số của đường thẳng (
):
x 1 4t
y 1 3t
ì
= - +
ï
ï
í
ï
= +
ï
î
I
Î
(
)
Þ
I(-1+4t; 1 + 3t)
AI = 1
Û
16t
2
+ (3t – 1)
2
= 1
Û
t = 0 hoặc t =
9
5
0,25
+ t = 0
Þ
I(-1; 1)
Phương trình của đường tròn là: (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 1
0,25
+ t =
9
5
Þ
I(-
1
25
;
43
25
)
Phương trình của đường tròn là: (x +
1
25
)
2
+ (y –
43
25
)
2
= 1
0,25
2. (1,0 đi
ểm)
Đường thẳng
đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là
u
= (2 ; -1 ; 1).
Gọi
n
= (a ; b ; c ) là vtpt của (P).
Vì
( )
P
nên
. 0
n u
0,25
2a – b + c = 0
b = 2a + c
n
=(a; 2a + c ; c )
Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là: a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0
ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0
0,5
d(A ; (P)) =
1
3
2 2 2
1
3
(2 )
a
a a c c
2
0
a c
0
a c
Ch
ọn a = 1 , c =
-
1
Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là x + y – z = 0
0,25
VII.a
(1,0
điểm)
Cho khai triển
( )
10
1 2x
+ .
( )
2
2
3 4x 4x
+ + =
0
a
+
1
a
x +
2
a
x
2
+ .+
14
a
x
14
. Tìm giá trị của a
6
.
( )
10
1 2x
+ .
( )
2
2
3 4x 4x
+ + =
( )
10
1 2x
+ .
( )
2
2
2 1 2x
é ù
+ +
ê ú
ë û
= 4
( )
10
1 2x
+ + 4
( )
12
1 2x
+ +
( )
14
1 2x
+
0,25
Hệ số của x
6
trong khai triển 4
( )
10
1 2x
+ là 4.2
6
.
6
10
C
Hệ số của x
6
trong khai triển 4
( )
12
1 2x
+ là 4.2
6
.
6
12
C
Hệ số của x
6
trong khai triển 4
( )
14
1 2x
+ là 2
6
.
6
14
C
0,5
Vậy a
6
= 4.2
6
.
6
10
C
+ 4.2
6
.
6
12
C
+ 2
6
.
6
14
C
= 482496 0,25
B. Theo chương tr
ình Nâng cao
VI.b
(2,0
điểm)
1. (1,0 đi
ểm)
Vì
đi
ểm A thuộc đ
ư
ờng thẳng x + y + 3 = 0 v
à C thu
ộc đ
ư
ờng thẳng x+ 2y + 3 = 0 n
ên A(a ;
-
a
– 3) và C(- 2c – 3 ; c).
0,25
WWW.VIETMATHS.COM
I là trung điểm của AC
2 3 4 1
3 6 4
a c a
a c c
A(-1; -2); C(5 ;-4)
0,25
Đường thẳng BD đi qua điểm I(2 ; -3 ) và có vtcp là
u
=(1;3) có ptts là
x 2 t
y 3 3t
B
BD
B(2+t ; -3 +3t)
Khi đó :
AB
= (3 +t ;–1+3t);
CB
= (- 3+t; 1+3t)
. 0
AB CB
Û
t =
±
1
0,25
V
ậy A(
-
1;
-
2); C(5 ;
-
4), B(3;0) và D(1;
-
6) ho
ặc
A(
-
1;
-
2); C(5 ;
-
4), B(1;
-
6) và D(3;0)
0,25
2. (1,0 đi
ểm)
1
d
đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là :
1
1; 1;0
u
;
2
d
đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là:
2
1; 2;2
u
0,25
Gọi
n
là một vtpt của (P), vì (P) song song với
1
d
và
2
d
nên
n
= [
1 2
;
u u
] = (-2 ; -2 ; -1)
(P): 2x + 2y + z + D = 0
0,25
d(A ; (P) = 2d( B;(P)) 7 2. 5
D D
7 2(5 )
7 2(5 )
D D
D D
3
17
3
D
D
0,25
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 hoặc 2x + 2y + z -
17
3
= 0
0,25
VII.b
(1,0
điểm)
Giải hệ phương trình:
2
log ( 2 8) 6 (1)
8 2 .3 2.3 (2)
x x y x y
y x
.
Đi
ều kiện: y
–
2x + 8 > 0
(1)
y – 2x + 8 =
6
2
2
y x
0,25
Thay
2
y x
vào phương trình (2), ta được
2 3
8 2 .3 2.3
x x x x
8 18 2.27
x x x
8 18
2
27 27
x x
3
2 2
2
3 3
x x
0,25
Đặt: t =
2
3
x
(t > 0)
Ta có phương trình
3 2
2 0 1 2 0
t t t t t
0
1
0
x
t
y
Vậy nghiệm của hệ phương trình (0;0)
0,5
. THPT CHUYÊN NGUYÊN TẤT THÀNH TỔ: TOÁN ĐỀ THI THỬ CAO ĐẲNG NĂM 2013 Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ SỐ 1 PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ. 0, 25 Ta có 30 222 zyxzxyzxy nên 3393 2 tt vì .0 t Khi đó . 5 2 3 2 t t A 0. 25 Xét hàm số .33, 2 35 2 )( 2 t t t tf Ta có 0 55 )(' 2 3 2 t t t ttf , t 3;3 . 0, 25 . tròn là: (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 1 0, 25 + t = 9 5 Þ I(- 1 25 ; 43 25 ) Phương trình của đường tròn là: (x + 1 25 ) 2 + (y – 43 25 ) 2 = 1 0, 25 2. (1,0 đi ểm) Đường thẳng đi