PowerPoint Presentation Chương 5 Chuyển động quay của vật rắn GV Đặng Đức Dũng Mã học phần PH1110 1 Bài 1 Khối tâm và phương trình chuyển động khối tâm • 1 Khối tâm • ൢ
Chương Chuyển động quay vật rắn GV: Đặng Đức Dũng Mã học phần PH1110 Bài 1: Khối tâm phương trình chuyển động khối tâm z • Khối tâm 𝑀1 → 𝑚1 𝑛 𝑀2 → 𝑚2 • ൢ G : khối tâm khi: 𝑚𝑖 𝑀𝑖 𝐺 = … 𝑖=1 𝑀𝑛 → 𝑚𝑛 m1 G 𝑟Ԧ1 mn 𝑟Ԧn y O Xét hệ n chất điểm • Tọa độ khối tâm G gốc tọa độ O: 𝑛 𝑛 𝑛 x 𝑛 𝑚𝑖 𝑀𝑖 𝐺 = ⇒ 𝑚𝑖 𝑀𝑖 𝑂 + 𝑂𝐺 = ⇒ 𝑚𝑖 𝑀𝑖 𝑂 + 𝑚𝑖 𝑂𝐺 = ⇒ 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑚𝑖 𝑀𝑖 𝑂 = − 𝑚𝑖 𝑂𝐺 ⇒ 𝑖=1 𝑖=1 σ𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝑂𝑀𝑖 𝑂𝐺 = ⇒ 𝑶𝑮 𝑛 σ𝑖=1 𝑚𝑖 𝑖=1 σ𝒏𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒓𝒊 = 𝒏 σ𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝑖=1 Bài 1: Khối tâm phương trình chuyển động khối tâm z • Khối tâm • Tọa độ khối tâm G gốc tọa độ O: • 𝑶𝑮 = σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒓𝒊 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 m1 G 𝑟Ԧ1 𝑋= • Đặt 𝑶𝑮 = 𝑹 𝑌 = 𝑍= 𝑟Ԧn σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒙𝒊 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒚𝒊 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒛𝒊 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 mn y O Xét hệ n chất điểm x Bài 1: Khối tâm phương trình chuyển động khối tâm z m1𝑣1 • Vận tốc khối tâm • 𝑹= • • σ𝒏 𝑑𝑅 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝒏 σ𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝑑𝑡 = 𝑑 σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝑑𝑡 σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝒅𝑹 𝑽 = 𝒅𝒕 : vận tốc khối tâm 𝒅𝒓 𝒗𝒊 = 𝒅𝒕𝒊 : vận tốc chất điểm 𝑉𝑥 = • 𝑽= σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒗𝒊 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝑉𝑦 = 𝑉𝑧 = • • • • 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑑𝑟𝑖 𝑑𝑡 σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 G𝑽 𝑟Ԧ1 𝑟Ԧn mi y O σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒗𝒊𝒙 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒗𝒊𝒚 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 𝒗𝒊𝒛 σ𝒏 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 mn 𝑣𝑛 Xét hệ n chất điểm x 𝒑𝒊 = 𝒎𝒊 𝒗𝒊 : động lượng chất điểm Mi 𝑴 = σ𝒏𝒊=𝟏 𝒎𝒊 : tổng khối lượng hệ n chất điểm 𝑴𝑽 = σ𝒏𝒊=𝟏 𝒑𝒊 = 𝑷 Kết luận: Tổng động lượng hệ chất điểm động lượng chất điểm đặt khối tâm hệ có khối lượng tổng khối lượng hệ có vận tốc vận tốc khối tâm hệ Bài 1: Khối tâm phương trình chuyển động khối tâm z • • • • • • Phương trình chuyển động khối tâm Giả thiết: 𝑴𝟏 → 𝑭𝟏 → 𝒂𝟏 → định luật II Newton: 𝑭𝟏 = 𝒎𝟏 𝒂𝟏 𝑴𝟐 → 𝑭𝟐 → 𝒂𝟐 → định luật II Newton: 𝑭𝟐 = 𝒎𝟐 𝒂𝟐 … 𝑴𝒏 → 𝑭𝒏 → 𝒂𝒏 → định luật II Newton: 𝑭𝒏 = 𝒎𝒏 𝒂𝒏 • 𝑽 σ𝒏 𝒎𝒊 𝒗𝒊 𝑑𝑉 = σ𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝑑𝑡 𝒊=𝟏 𝑛 𝒊 σ𝑖=1 𝑚𝑖 𝑎𝑖 𝑑𝑉 • 𝑑𝑡 = • Đặt 𝑨 = σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝒅𝑽 : gia 𝒅𝒕 = 𝑑 𝑑𝑡 σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑣𝑖 σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = σ𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖 tốc khối tâm 𝐴Ԧ = σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 m1 G 𝑟Ԧ1 𝑟Ԧn 𝐴Ԧ = mn 𝐹𝑛 y O Xét hệ n chất điểm 𝑑𝑣𝑖 𝑑𝑡 σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝐹1 x σ𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖 𝑛𝑔𝑜ạ𝑖 σ𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑨= 𝑭𝒏𝒈𝒐ạ𝒊 𝑴 • Kết luận: Khối tâm hệ chuyển động chất điểm có khối lượng tổng khối lượng hệ chịu tác dụng lực tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ Bài 2: Các đặc điểm chuyển động tịnh tiến chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định • Vật rắn • Vật rắn hệ chất điểm khoảng cách chất điểm ln ln khơng đổi q trình chuyển động • 𝑟𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 • Chuyển động tịnh tiến • Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, chất điểm chuyển động theo quỹ đạo giống • Tại thời điểm, chất điểm vật rắn tịnh tiến có véc-tơ vận tốc véc-tơ gia tốc • Điều kiện cần để vật rắn chuyển động tịnh tiến ngoại lực tác dụng lên vật rắn song song phương • Phương trình chuyển động vật rắn chuyển động tịnh tiến: σ𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝑎𝑖 = σ𝑛𝑖=1 𝐹𝑖 • Muốn khảo sát chuyển động tịnh tiến vật rắn ta cần xét chuyển động khối tâm Bài 2: Các đặc điểm chuyển động tịnh tiến chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định • Chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định • Khi vật rắn chuyển động quay xung quanh đường thẳng cố định (gọi trục quay) • Mọi điểm vật rắn vạch vòng trịn có trục • Trong khoảng thời gian, điểm vật rắn quay góc • Tại thời điểm điểm vật rắn có vận tốc góc Ԧ (𝜔1 = 𝜔2 = ⋯ = 𝜔𝑛 = 𝜔) gia tốc góc (𝛽Ԧ1 = 𝛽Ԧ2 = ⋯ = 𝛽Ԧ𝑛 = 𝛽) • Tại thời điểm: • véc-tơ vận tốc góc véc-tơ vận tốc dài liên hệ với : 𝑣Ԧ = ∧ 𝑟Ԧ • gia tốc góc gia tốc tiếp tuyến liên hệ với bởi: 𝑎Ԧ = ∧ 𝑟Ԧ Bài 3: Phương trình chuyển động quay vật rắn quay quanh trục • Mơ-men lực • a) Tác dụng lực chuyển động quay • Giả sử vật rắn quay xung quanh trục cố đinh • Tác dụng lực 𝐹Ԧ lên vật rắn điểm M 𝑭 = 𝑭𝟏 Tác dụng làm vật rắn trượt theo trục 𝑭𝟐 + 𝑭𝒏 Tác dụng làm vật rắn có xu hướng rời trục + 𝑭 𝑭𝟏 𝑭𝒕 O 𝒓 M 𝑭𝒏 𝑭𝒕 Tác dụng làm vật rắn có xu hướng quay quanh trục Kết luận: Trong chuyển động quay vật rắn xung quanh trục cố định thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo điểm đặt có tác dụng làm quay thực 𝑭𝟐 Bài 3: Phương trình chuyển động quay vật rắn quay quanh trục • Mô-men lực • b) Mô-men lực trục quay • Mơ-men lực 𝐹𝑡 trục quay véc-tơ 𝑀 xác định • 𝑴 = 𝒓 ∧ 𝑭𝐭 𝑭 𝑭𝟏 𝑭𝒕 O 𝒓 M 𝑭𝒏 • Ghi cơng thức tích vơ hướng ba véc-tơ: • 𝒂 ∧ 𝒃 ∧ 𝒄 = 𝒃 𝒂 𝒄 - 𝒄 𝒂 𝒃 𝑭𝟐 Bài 3: Phương trình chuyển động quay vật rắn quay quanh trục • Thiết lập phương trình chuyển động quay • Giả sử chất điểm Mi cách trục khoảng 𝑟𝑖 → chịu lực tác dụng theo phương tiếp tuyến 𝐹𝑡𝑖 → chuyển động véc-tơ gia tốc tiếp tuyến 𝑎𝑡𝑖 • Mơ-men lực tác dụng lên chất điểm Mi ∶ • 𝑴𝒊 = 𝒓𝒊 ∧ 𝑭𝐭𝐢 • Theo định luật II Newton: 𝐹ti = 𝑚𝑖𝑎ti → 𝑴𝒊 = 𝒓𝒊 ∧ 𝒎𝒊𝒂𝐭𝐢 • Trong chuyển động quay: 𝑎𝑡𝑖 = 𝑖 ∧ 𝑟𝑖 𝑟𝑖 ⊥ 𝑖 • → 𝑀𝑖 = 𝑟𝑖 ∧ 𝑚𝑖 𝑖 ∧ 𝑟𝑖 → 𝑀𝑖 = 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝑟𝑖 𝑖 − 𝑚𝑖(𝑟𝑖 𝑖 )𝑟𝑖 → 𝑴𝒊 = 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 𝒊 • Trong chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định: 1 = 2 =… 𝑛 = • → 𝑴𝒊 = 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 10 Bài 3: Phương trình chuyển động quay vật rắn quay quanh trục • Mơ-men qn tính • Biểu thức xác định mơ-men qn tính số vật có hình dạng đặc biệt trục quay qua khối tâm R/2 R R R R 𝑰 = 𝑰𝒐 + 𝑴𝒅𝟐 R 𝜔 𝜔 ∆o ∆ Vành tròn mảnh 𝑰∆𝐨 = 𝑴𝑹𝟐 𝑰∆= 𝟐𝑴𝑹𝟐 O ∆ 𝜔 ∆𝑜 Trụ rỗng mảnh 𝑰 = 𝑴𝑹𝟐 𝑰∆= 𝟐𝑴𝑹𝟐 ∆ ∆ Đĩa tròn 𝑴𝑹𝟐 𝑰= 𝟐 𝟑𝑴𝑹𝟐 𝑰 ∆= 𝟐 ∆ 𝜔 ∆ Trụ đặc 𝑴𝑹𝟐 𝑰= 𝟐 𝟑𝑴𝑹𝟐 𝑰 ∆= 𝟐 ∆ 𝜔 ∆ Cầu đặc 𝟐 𝑰 = 𝑴𝑹𝟐 𝟓 15 Bài 4: Mơ-men động lượng hệ chất điểm • Định nghĩa mô-men động lượng hệ chất điểm z 𝑀1 → 𝑚1 → 𝑟1 → 𝑣1 → 𝑝1 𝑀 → 𝑚2 → 𝑟2 → 𝑣2 → 𝑝2 • 𝐿 = σ𝑛𝑖=1 𝐿𝑖 = σ𝑛𝑖=1 𝑟𝑖 ∧ 𝑚𝑖 𝑣𝑖 … 𝑀𝑛 → 𝑚𝑛 → 𝑟𝑛 → 𝑣𝑛 → 𝑝𝑛 • Hệ chất điểm quay xung quanh trục cố định ∆ • 𝐿𝑖 = 𝑟𝑖 ∧ 𝑚𝑖 𝑣𝑖 𝐿𝑖 = 𝑟𝑖 ∧ 𝑚𝑖 𝜔𝑖 ∧ 𝑟𝑖 𝑳𝒊 = 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 𝝎𝒊 𝑝𝑖 𝑟Ԧn • Đặt 𝐼𝑖 = : mơ-men qn tính chất điểm trục quay • 𝝎𝒊 : vận tốc góc chất điểm chuyển động quay xung quanh trục • 𝑳= 𝑀𝑖 𝑝 𝑀𝑛 𝑛 𝑟Ԧ1 𝑟Ԧ i 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 σ𝒏𝒊=𝟏 𝑰𝒊 𝑀1 𝑝1 y O Xét hệ n chất điểm 𝝎𝒊 • Trường hợp hệ chất điểm vật rắn quay xung quanh trục cố định: • 𝝎𝟏 = 𝝎𝟐 = ⋯ = 𝝎𝒏 = 𝝎 • 𝐿 = σ𝑛𝑖=1 𝐼𝑖 𝜔 𝑳 = 𝑰𝝎 • 𝐼 = σ𝑛𝑖=1 𝐼𝑖 : mơ-men qn tính vật rắn trục quay x 16 Bài 4: Mơ-men động lượng hệ chất điểm • Các định lý mô-men động lượng hệ chất điểm vật rắn quay xung quanh trục cố định • Mơ-men qn tính chất điểm mi trục quay • 𝐿𝑖 = 𝑟𝑖 ∧ 𝑚𝑖 𝑣𝑖 • 𝑑𝐿𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑𝑟𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝐿𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 ∧ 𝑚𝑖 𝑣𝑖 + 𝑟𝑖 ∧ 𝑟𝑖 ∧ 𝑚𝑖 𝑣𝑖 𝑑(𝑚𝑖 𝑣𝑖 ) 𝑑𝑡 𝑣𝑖 • 𝑑𝐿𝑖 𝑑𝑡 = 𝑟𝑖 ∧ 𝐹𝑖 𝐹𝑖 𝒅𝑳𝒊 𝒅𝒕 𝑑𝐿𝑖 𝑑𝑡 = 𝑣𝑖 ∧ 𝑚𝑖 𝑣𝑖 + 𝑟𝑖 ∧ 𝐹𝑖 𝑀𝐹𝑖 =𝑴𝑭𝒊 17 Bài 4: Mơ-men động lượng hệ chất điểm • Các định lý mô-men động lượng hệ chất điểm vật rắn quay xung quanh trục cố định • Mơ-men qn tính hệ n chất điểm trục quay • 𝐿 = σ𝑛𝑖=1 𝐿𝑖 • 𝒅𝑳 𝒅𝒕 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑛 σ 𝑑𝑡 𝑖=1 𝑟𝑖 ∧ 𝑚𝑖 𝑣𝑖 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = σ𝑛𝑖=1 𝑑𝐿𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = σ𝑛𝑖=1 𝑀𝐹𝑖 = 𝑴𝑭 • 𝑀𝐹 = σ𝑛𝑖=1 𝑀𝐹𝑖 : tổng mô-men ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm • Phát biểu: Đạo hàm theo thời gian mô-men động lượng hệ chất điểm tổng mô-men ngoại lực tác dụng hệ hệ chất điểm 18 Bài 4: Mơ-men động lượng hệ chất điểm • Các định lý mơ-men động lượng hệ chất điểm vật rắn quay xung quanh trục cố định • Hệ chất điểm vật rắn quay xung quanh trục cố định • 𝑳 = 𝑰𝝎 • 𝜷= 𝑴𝑭 𝑰 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑴𝑭 = 𝑑𝜔 𝐼 𝑑𝑡 𝛽Ԧ → Phương trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định 19 Bài 4: Mô-men động lượng hệ chất điểm • Các định lý mơ-men động lượng hệ chất điểm vật rắn quay xung quanh trục cố định • Giả sử tác dụng mô-men lực 𝑴𝑭 khoảng thời gian từ 𝑡1 đến 𝑡2 làm thay đổi mô-men động lượng vật rắn từ 𝑳𝟏 đến 𝑳𝟐 • • 𝐿 𝑡 𝒕 𝑑𝐿 =𝑴𝑭 𝑑𝐿 =𝑀𝐹 𝑑𝑡 𝐿2 𝑑𝐿= 𝑡2 𝑀𝐹 𝑑𝑡 𝑳 = 𝑳𝟐 − 𝑳𝟏 = 𝒕𝒅 𝑭𝑴 𝟐 𝒕 𝑑𝑡 1 𝟏 𝑡2 𝑡𝑑 𝐹𝑀 𝑡: xung lượng mô-men lực 𝑀𝐹 tác dụng khoảng thời gian từ 𝑡1 đến 𝑡2 • Phát biểu: Độ biến thiên mô-men động lượng 𝑳 vật rắn khoảng thời gian tác dụng mô-men lực 𝑀𝐹 từ 𝑡1 đến 𝑡2 xung lượng mô-men lực tác dụng khoảng thời gian • Trường hợp mơ-men lực tác dụng không đổi 𝑀𝐹 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑳 = 𝑴𝑭 𝒕 20 ... tịnh tiến chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định • Chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định • Khi vật rắn chuyển động quay xung quanh đường thẳng cố định (gọi trục quay) • Mọi điểm vật... bởi: