Một số vấn đề về biểu thức liên hợp

41 TẠP CHÍ KHOA HỌC – ĐẠI HỌC TÂY BẮC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ I Đặt vấn đề Trong các phương pháp giải toán trong chương trình môn Toán ở bậc phổ thông, Phương pháp nhân lượng liên hợp là một ph[.]

TẠP CHÍ KHOA HỌC – ĐẠI HỌC TÂY BẮC Khoa học Tự nhiên Công nghệ Mai Anh Đức & Trần Hữu La (2021) (22): 41 - 46 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BIỂU THỨC LIÊN HỢP Mai Anh Đức1, Trần Hữu La1 Trường Đại học Tây Bắc - TBU Tóm tắt: Mục đích báo trao đổi số vấn đề biểu thức liên hợp tồn hay không biểu thức liên hợp biểu thức cho trước có biểu thức liên hợp với biểu thức cho Bên cạnh chúng tơi giới thiệu phương pháp tổng quát để tìm biểu thức liên hợp biểu thức cho Từ khóa: Biểu thức liên hợp; Phương pháp nhân lượng liên hợp; Hằng đẳng thức; Căn thức; Toán cao cấp I Đặt vấn đề Trong phương pháp giải tốn chương trình mơn Tốn bậc phổ thông, Phương pháp nhân lượng liên hợp phương pháp giải quen thuộc áp dụng nhiều tốn tốn giải phương trình vơ tỉ (các phương trình chứa thức), tốn giải hệ phương trình vơ tỉ [4], tốn giới hạn dãy số giới hạn hàm số có chứa thức… Phương pháp giải đơn giản hiệu giúp học sinh tiếp cận toán theo hướng tự nhiên mà cịn giúp học sinh tự tạo nhiều tốn mẻ cách dễ dàng, thơng qua tự rèn luyện thêm kỹ phát triển thao tác tư cho Phương pháp nhân lượng liên hợp học sinh làm quen từ THCS với toán biến đổi biểu thức đơn giản chứa bậc hai [1], học sinh thực phép biến đổi đơn giản gọi Trục thức mẫu Đồng thời [1] sách giáo khoa Toán đưa định nghĩa hai biểu thức chứa thức liên hợp với cách mô tả thông qua đẳng thức Trên sở đó, phương pháp nhân lượng liên hợp mở rộng với việc biến đổi biểu thức chứa thức với bậc tùy ý Sử dụng ý tưởng này, tốn giải phương trình giải hệ phương trình, tốn giới hạn dãy số, giới hạn hàm số có chứa thức… nhóm thêm bớt đại lượng phù hợp vào biểu thức chứa làm xuất đa thức Nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử làm xuất thừa số chung từ sử lý tiếp Tất nhiên có nhiều yếu tố khác cần ý với tốn thơng thường ý tưởng tổng quát đưa biểu thức khỏi để tạo nhân tử chung Để đơn giản cách trình bày diễn giải nên tồn viết dùng cụm từ Biểu thức thay cho cụm từ Biểu thức chứa thức Một điểm mấu chốt phương pháp nhân lượng liên hợp xác định biểu thức liên hợp biểu thức cho Những biểu thức liên hợp mà học sinh trang bị trình học tập thường đơn giản, chẳng hạn như: liên hợp với biểu thức A ± B A  B , liên hợp với biểu thức A ± B biểu thức A  AB + B2 vài trường hợp đặc biệt khác Tuy nhiên có số vấn đề phương pháp nhân lượng liên hợp mà hầu hết học sinh, chí giáo viên đứng lớp chưa làm sáng tỏ Cụ thể như: 1) Với biểu thức cho trước có hay khơng biểu thức liên hợp? Nếu có có biểu thức liên hợp biểu thức cho? 2) Nếu biểu thức cho trước có biểu thức liên hợp có cách tìm tổng qt biểu thức liên hợp hay không? Thông thường học sinh tiếp nhận phương pháp nhân lượng liên hợp thông qua kinh nghiệm giáo viên truyền đạt lại, kết hợp với khiếu thân mà hình thành kĩ cho Nếu khơng trả lời rõ ràng câu hỏi gặp tốn lạ học sinh khó có phương án giải Đây điều mà nhiều học sinh gặp phải Mục đích báo trả lời câu hỏi từ góc nhìn Tốn cao cấp (trong 41 chương trình Đại học) Dựa kiến thức Tốn cao cấp mà người giáo viên khơng nhìn rõ lời giải tốn dạng mà cịn sáng tạo tốn mới, kỹ khơng thể thiếu người giáo viên Kiến thức Toán cao cấp giúp cho người giáo viên phân tích tìm lời giải định hướng tư cách tường minh cho học sinh Từ đưa số định hướng sư phạm phù hợp với toán cụ thể Hy vọng rằng, với trao đổi báo phần giúp em học sinh giáo viên có thêm kinh nghiệm, tri thức để chinh phục kiến thức cao II Nội dung Thế biểu thức liên hợp? Khơng có định nghĩa phát biểu xác cho khái niệm chương trình tốn phổ thông Ở lớp [1], học sinh tiếp cận với phương pháp nhân liên hợp lần biểu thức liên hợp biểu thức định nghĩa trực tiếp Ví dụ biểu thức A ± B gọi biểu thức liên hợp biểu thức A  B hay biểu thức A ± B biểu thức A  B gọi hai biểu thức liên hợp Kiểu định nghĩa dựa sở đẳng thức đáng nhớ đẳng thức quen thuộc khác định nghĩa cho biểu thức cụ thể Ta nhận thấy đặc điểm chung định nghĩa biểu thức α biểu thức β liên hợp với α.β biểu thức khơng chứa thức Do tồn báo này, nói biểu thức α liên hợp biểu thức β (hoặc nói α β hai biểu thức liên hợp nhau) hiểu α.β biểu thức không chứa thức Rõ ràng biểu thức cho trước có vơ số biểu thức liên hợp với Thật vậy, α β hai biểu thức liên hợp α.β biểu thức khơng chứa thức Từ suy với số hữu tỉ a ta có a.α.β biểu thức không chứa thức hay biểu thức a.β biểu thức liên hợp biểu thức α Trong mục trả lời câu hỏi lại đặt 42 Có hay khơng biểu thức liên hợp với biểu thức cho? Để trả lời cho câu hỏi này, ta xét mệnh đề sau lí thuyết mở rộng trường [3] Mệnh đề Mọi mở rộng đại số  ( α ) tồn đa thức thuộc  [ x ] nhận α làm nghiệm Mệnh đề khẳng định tồn đa thức f (x) với hệ số hữu tỉ nhận α nghiệm, từ giúp trả lời tồn biểu thức liên hợp Thật vậy, giả sử α biểu thức cho Gọi f (x) đa thức với hệ số hữu tỉ nhận α nghiệm giả sử f (x) có dạng f (x) = a n x n + + a1x + a , với a a n ≠ Vì f ( α ) =0 nên ta có a n α n + + a1α = −a , hay α ( a n α n −1 + + a α + a1 ) = −a Do biểu thức liên hợp α β= a n α n −1 + + a1 Bằng cách thay α vào biểu thức β ta biểu thức liên hợp với α Như ta khẳng định rằng: ln có biểu thức liên hợp biểu thức cho trước có phương pháp tổng qt để tìm biểu thức liên hợp Phương pháp tổng quát tìm biểu thức liên hợp biểu thức cho trước (mang tính thuật giải) sau: Bước Đặt α biểu thức cho, cách biến đổi, nâng lên lũy thừa cách thích hợp để khử ta tìm đa = a n x n + + a1x + a với hệ số hữu thức f (x) tỉ nhận α nghiệm Lưu ý nâng lên lũy thừa, thông thường ta nâng lên lũy thừa theo bậc cao thức có biểu thức đến có đa thức f (x) nhận α nghiệm Bước Đặt β= a n α n −1 + + a1 Thay biểu thức α vào β biến đổi biểu thức, ta thu biểu thức rút gọn β , biểu thức liên hợp cần tìm α Sau hai ví dụ minh họa cho phương pháp tìm biểu thức liên hợp mà chúng tơi nêu Ví dụ Tìm biểu thức liên hợp với biểu thức − Hiển nhiên dễ dàng nhận biểu thức liên hợp biểu thức cho + thông qua đẳng thức ( a − b )( a + b ) = a − b Ở tìm biểu thức liên hợp biểu thức − theo phương pháp trình bày Bước Đặt = α − Ta có α + = ⇔ α + 2α + = ⇔ α ( α + ) =1 Bước Đặt β = α + Khi β= α + 2= − + 2= + Vậy biểu thức liên hợp biểu thức − biểu thức + Ví dụ Tìm biểu thức liên hợp với biểu thức + + 3 Đối với toán học sinh thực thấy khó khăn để tìm biểu thức liên hợp Ở học sinh phổ thông dùng đẳng thức để tìm biểu thức liên hợp Cụ thể ta có (1 + 3+ ) ((1 + ) − ) = =−1 + 3 + Tiếp theo khử bậc ba ta thu kết quả, nhiên việc khử bậc ba trường hợp khó khăn Lời giải tốn dạng chúng tơi trình bày mục Sau trình bày lời giải theo phương pháp tổng quát nêu Bước Đặt α = + + 3 Khi ta có α − − = 3 Bằng cách nâng lên lũy thừa bậc hai vế, thực biến đổi rút gọn biểu thức ta thu α − 3α + 9α − 10= ( 3α − 6α + ) Tiếp theo ta nâng lên lũy thừa bậc hai vế biểu thức ta thu α − 6α + 9α − 2α + 9α − 60α + 50 =0 Bước Đặt β =α5 − 6α + 9α − 2α + 9α − 60 Thay α = + + 3 vào biểu thức β ta biểu thức liên hợp α β = −10 − + 3 − 10 + Qua hai ví dụ trên, thấy quy trình thuật giải rõ ràng việc tìm biểu thức liên hợp biểu thức cho trước Tuy nhiên có số vấn đề tồn phương pháp mà chúng tơi muốn trình bày rõ mục sau Một số kĩ thuật cụ thể tìm biểu thức liên hợp trường hợp đặc biệt Chúng ta quay lại Ví dụ 2, ta thấy để tìm biểu thức liên hợp biểu thức + + 3 phải tính tốn dài, dễ gây nhầm lẫn Thuật toán mục cho thấy tồn biểu thức liên hợp, cách tìm thuật tốn hiệu tìm biểu thức liên hợp số biểu thức đơn giản Tuy nhiên, biểu thức cho trước phức tạp với bậc thức cao thuật tốn tốn nhiều thời gian (mặc dù ln có kết quả) Do tìm biểu thức liên hợp biểu thức phức tạp, ta nên dùng khơng có cách tốt Vậy có cách để tìm biểu thức liên hợp biểu thức cho ngắn gọn không? Câu trả lời cho câu hỏi chúng tơi trình bày mục dựa góc nhìn Tốn cao cấp Ta nhắc lại hai mệnh đề sau Toán cao cấp [3], [5] Mệnh đề Mọi mở rộng đại số  ( α )  -không gian vectơ Mệnh đề Mỗi vectơ thuộc  -không gian vectơ  ( α ) ln có biểu diễn tuyến tính qua sở  ( α ) Chúng dùng hai mệnh đề số kiến thức khác Toán cao cấp làm sở để định hướng kĩ thuật tìm biểu thức liên hợp biểu thức cho, xem thêm [2] Sau số ví dụ minh họa Ví dụ Tìm biểu thức liên hợp biểu thức + + 3 Như biết, biểu thức liên hợp thường suy từ đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức quen thuộc Với biểu thức cho ta viết dạng A + B + C = A 1,= B 2,C = 33 Khi ta liên tưởng đến đẳng thức: 43 Đồng hai vế biểu thức ta hệ A + B3 + C3 − 3ABC = = (A + B + C) × 2 (*) a + 3e = b + c =  c + 3f =  2d + 3b = e + d =  2f + a = ×(A + B + C − AB − BC − CA) A 1,= B 2,C = 3 vào đẳng Khi thay = thức (*) vế trái khơng cịn chứa căn, từ suy biểu thức liên hợp biểu thức A + B + C là: Giải hệ ta tìm a = − A + B2 + C2 − AB − BC − CA (**) A 1,= B 2,C = 3 vào biểu thức Thay = (**) ta biểu thức liên hợp biểu thức + + 3 biểu thức −11 + 16 + Nhận xét 1: Sử dụng đẳng thức (*) tìm biểu thức liên hợp biểu thức dạng (A + B m + C m ) với A, B,C, m hữu tỷ Từ nhận xét ta dễ dàng tìm biểu thức liên hợp biểu thức −1 + 3 + (nói Ví dụ 2) trường hợp đặc biệt Ví dụ Tìm biểu thức liên hợp biểu thức + Theo lí thuyết Mở rộng trường [3], ( 3+3 ) phần tử mở rộng trường  2,  phần tử thuộc trường 2+  2, Mặt khác trường  2, ( ) ( )  -không gian vectơ với sở {1, 3, 2, 4, 3 2, 3 } nên vectơ có dạng a + b + c3 + d3 + e 3 + f 3 với a, b, c, d, e, f số hữu tỉ Điều có nghĩa ln tồn số hữu tỉ a, b, c, d, e, f để = a + b + c3 + 2+ hay ( )( 2 , d= − , e= , f = 23 23 23 23 Vậy biểu thức liên hợp biểu thức + biểu thức (sau nhân hệ thức với 23) −6 + − − + 3 + 3 Nhận xét 2: Trong ví dụ trên, ta thấy biểu thức cho có biểu thức liên hợp xuất ; biểu thức cho có biểu thức liên hợp xuất Ngoài ra, biểu thức liên hợp xuất phần tử 3 3 Như vậy, từ góc nhìn Tốn cao cấp ta dự đoán biểu thức liên hợp biểu thức cho sau: Nếu biểu thức cho có thức n m biểu thức liên hợp phải có biểu thức n −1 n m , n m, n m , , n m Nếu biểu thức cho có hai thức dạng n m p q ngồi thức dạng n m , n m, n −1 n m , , n m p q , p q, p q , , p −1 p q cịn có thêm đơn thức tích hai thức hai tập hợp nói Bằng kĩ thuật dựa vào đặc điểm biểu thức cho ta dự đốn biểu thức liên hợp từ tìm biểu thức liên hợp biểu thức cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + b + c3 + d3 + e 3 + f 3 + a+b 3+c +d + 3 biểu thức liên hợp biểu thức 3 nên ta có +e + f = ( a + 3e ) + ( b + c ) + ( 2d + 3b ) + ( e + d ) , 23 Quay trở lại ví dụ trên, ta dự đoán biểu thức ) Thực rút gọn biểu thức vế trái, ta 44 b= c= − + d3 + e 33 + f 33 , 23 + ( c + 3f ) + + ( 2f + a ) = ( )( 3+3 2 + a + b + c3 + +d + e 3 + f 3 ) không chứa thức Thực rút gọn biểu thức, ta ( a + 3e ) + ( b + c ) + ( 2d + 3b ) + ( e + d ) + ( c + 3f ) + + ( 2f + a ) Do biểu thức không chứa nên ta chọn số hữu tỉ a, b, c, d, e, f cho hệ số đơn thức chứa không hay a + 3e = b + c =  c + 3f = e + d =  2f + a = Đây hệ phương trình vơ định, năm phương trình sáu ẩn, nhiên ta cần nghiệm hệ đủ cho tốn xét Từ ta số a = −6, b = 9, c = −9, d = −2, e = 2, f = Hay biểu thức liên hợp biểu thức + biểu thức −6 + − − + 3 + 3 Cách giải cho thấy có vô số biểu thức liên hợp biểu thức cho Nhận xét 3: Cách giải ngắn gọn độc đáo, nhiên đọc lời giải khơng hiểu biểu thức dạng a + b + c + d + e 3 + f 3 từ đâu mà có Đây khó khăn thường gặp học sinh Vì vậy, người giáo viên cần hiểu sâu sắc vấn đề để câu hỏi gợi mở hợp lý giúp học sinh tự tìm biểu thức III Kết luận Với trao đổi nêu ví dụ phân tích nhận xét tỷ mỉ, lối trình bày định hướng tư cho lời giải rõ ràng, hy vọng viết hành trang bổ ích cho học sinh, sinh viên học ngành Đại học sư phạm Toán học việc chinh phục tốn khó phương trình hệ phương trình, tốn giới hạn dãy số, giới hạn hàm số có chứa thức Cảm ơn: báo hoàn thành từ trao đổi chun mơn Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Tự nhiên - Cơng nghệ, Trường Đại học Tây Bắc Nhóm tác giả xin cảm ơn ý kiến trao đổi đồng nghiệp, đặc biệt cảm ơn ThS Nguyễn Đình n có trao đổi sâu sắc với vấn đề Bài báo phần kết nghiên cứu đề tài “Phân loại phương pháp giải dạng tốn Khơng gian vectơ - Ánh xạ tuyến tính - Tổ hợp kì thi Olympic tốn học sinh viên tồn quốc.” Mã số: TB2020 - 23 IV Tài liệu tham khảo [1] Bộ Giáo dục Đào tạo (2004), Sách giáo khoa lớp tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Mai Anh Đức, Nguyễn Đình Yên (2016), Rèn luyện lực sáng tạo cho học sinh phổ thông thông qua phân tích tìm lời giải tốn, thơng tin website Trường Đại học Tây Bắc địa http://utb.edu vn/tintucsukien/news/1867-ren-luyennang-luc-sang-tao-cho-hs-pt-tqpttlgbt [3] Mai Anh Đức, Nguyễn Đình Yên (2020), Mở rộng trường Lí thuyết Galois, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Lê Phúc Lữ (2014), Phương pháp nhân liên hợp giải tốn phương trình vô tỷ, https://www.slideshare.net/ tuituhoc/ky-thuat-nhan-lien-hop-lephuc-lu00001 [5] Ngô Việt Trung (2002), Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 45 ON SOME PROBLEMS ABOUT THE CONJUGATE EXPRESSIONS Mai Anh Duc1, Tran Huu La 1 Tay Bac University - TBU Summary: The purpose of this paper is to discuss some problems about conjugate expressions such as there exists or not a conjugate of a given expression or how many conjugate expressions with a given expression there are We also will propose the general method to find the conjugate expression of a given expression Keywords: Conjugate expression; Method for multiplying conjugate expression; Algebraic identities; Radicals; Advanced mathematics _ Ngày nhận bài: 20/3/2020 Ngày nhận đăng: 15/10/2020 Liên lạc: e-mail: maianhduc@utb.edu.vn 46 ... hai biểu thức liên hợp nhau) hiểu α.β biểu thức không chứa thức Rõ ràng biểu thức cho trước có vơ số biểu thức liên hợp với Thật vậy, α β hai biểu thức liên hợp α.β biểu thức khơng chứa thức. .. biểu thức cho có biểu thức liên hợp xuất ; biểu thức cho có biểu thức liên hợp xuất Ngoài ra, biểu thức liên hợp xuất phần tử 3 3 Như vậy, từ góc nhìn Tốn cao cấp ta dự đốn biểu thức liên hợp. .. suy với số hữu tỉ a ta có a.α.β biểu thức không chứa thức hay biểu thức a.β biểu thức liên hợp biểu thức α Trong mục trả lời câu hỏi lại đặt 42 Có hay khơng biểu thức liên hợp với biểu thức cho?