1. Trang chủ
  2. » Thể loại khác

HẠNG TỰ DO ỔN ĐỊNH CỦA MA TRẬN LŨY ĐẲNG TRÊN NỬA VÀNH

5 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 253,08 KB

Nội dung

56 Hà Chí Cơng HẠNG TỰ DO ỔN ĐỊNH CỦA MA TRẬN LŨY ĐẲNG TRÊN NỬA VÀNH STABLY FREE RANK OF IDEMPOTENT MATRICES ON SEMIRINGS Hà Chí Cơng* Trường Đại học Tài - Kế tốn1 Tác giả liên hệ: hachicong@tckt.edu.vn (Nhận bài: 24/8/2021; Chấp nhận đăng: 22/12/2021) * Tóm tắt - Trong lý thuyết vành, môđun tự ổn định, hạng (tự ổn định) ma trận tích chất đặc trưng chúng sử dụng tốn phân tích cấu trúc vành Hermite đạt nhiều kết thú vị Tuy nhiên, xem xét nửa vành số tính chất đặc trưng ma trận tự ổn định khơng cịn nữa, chưa có nhiều kết nghiên cứu vấn đề Trong báo này, tác giả lớp nửa vành mà hạng tự ổn định ma trận lũy đẳng tồn nhất; So sánh hạng tự ổn định hạng nhân tử ma trận lũy đẳng lớp nửa vành có số phần tử sinh không bị chặn mạnh; Chứng minh điều kiện cần đủ để nửa môđun tự ổn định tự do; Mơ tả cấu trúc vị nhóm SFV ( R ) , lớp tương đương ma trận Abstract - In the ring theory, stably free modules, (stably free) rank of matrices and their characteristic properties have been used to analyze the structure of Hermite rings, which achieved many interesting results However, some characteristic properties of stably free matrices are no longer true in the semiring theory, and there are not many research results about this problem at present In this paper, the author indicate a class of semirings in which stably free rank of idempotent matrices are unique; Compare stably free rank and factor rank of idempotent matrices on class of semirrings having strongly unbounded generating number; Prove the necessary and sufficient conditions for stably free semimodules to be free; Describe structure of monoid SFV ( R ) , equivalent classes of stably free tự ổn định, số lớp nửa vành đặc biệt matrices, on a number of classes of special semirings Từ khóa - Nửa vành; ma trận lũy đẳng; hạng tự ổn định; hạng nhân tử; số phần tử sinh không bị chặn mạnh Key words - Semiring; idempotent matrix; stably free rank; factor rank; strongly unbounded generating number Đặt vấn đề Môđun tự ổn định vành sử dụng nhiều nghiên cứu cấu trúc vành Hermite thu nhiều kết thú vị (xem [1], [2]) Trong đó, việc mơ tả vành Hermite thông qua ngôn ngữ ma trận sử dụng phổ biến, đặc biệt hạng ma trận lũy đẳng ứng với môđun tự ổn định (hữu hạn sinh) vành nói riêng mơđun xạ ảnh (hữu hạn sinh) nói chung (xem [1, Proposition 0.4.4]) Tuy nhiên, xem xét đặc trưng hạng ma trận lũy đẳng nửa vành khơng cịn vành nữa, số vấn đề liên quan hạng ma trận lũy đẳng, đặc biệt hạng tự ổn định ma trận nửa vành đặt sau: Trên lớp nửa vành hạng tự ổn định ma trận tồn không âm nhất? so sánh hạng tự ổn định ma trận với hạng nhân tử nó? tính chất đặc trưng ma trận tự ổn định lớp nửa vành cụ thể? Để giải phần câu hỏi trên, báo này, tác giả lớp nửa vành mà ma trận tự ổn định có hạng khơng âm nhất, đưa kết so sánh hạng tự ổn định hạng nhân tử ma trận lũy đẳng lớp nửa vành có SUGN (strongly unbounded generating number) số tính chất đặc trưng ma trận tự ổn định số nửa vành đặc biệt Định nghĩa 2.1 ([3]) Nửa vành đại số (R,+,1,.,0) cho (R,+,0) vị nhóm giao hốn với phần tử đơn vị 0, (R,.,1) vị nhóm với phần tử đơn vị 1, phép nhân phân phối hai phía phép cộng 0.r = r.0 = với r  R Một số định nghĩa kết liên quan Trong viết này, tác giả xét cho nửa vành có đơn vị nửa môđun xét nửa môđun phải nửa vành cho Để thuận tiện cho việc trình bày, ma trận A cấp m  n nửa vành R ký hiệu Am n , A ma trận vuông cấp n  n ta viết An University of Finance and Accountancy (Ha Chi Cong) Nửa vành R gọi phi khả đối a + b =  a = b = 0, a, b  R Nửa vành R gọi nguyên a.b =  a = b = 0, a, b  R Nửa vành R gọi nửa vành chia phần tử khác R khả nghịch Định nghĩa 2.2 ([3]) Một nửa mơđun phải nửa vành R vị nhóm giao hốn (M, +, 0M) với phép nhân ngồi (m, r ) → mr từ M  R đến M thỏa mãn điều kiện: m(rr’) = (mr)r’, (m + m’)r = mr + m’r, m(r + r’) = mr + mr’, m1 = m, 0Mr = 0M = m0 với m, m '  M r, r '  R Định nghĩa nửa môđun trái phát biểu tương tự Định nghĩa 2.3 ([3]) Cho M nửa môđun nửa vành R, N tập M Ta nói M sinh N phần tử M biểu thị tuyến tính qua phần tử N Ký hiệu N = M Hơn nữa, N có hữu hạn phần tử ta nói M nửa môđun hữu hạn sinh Định nghĩa 2.4 ([4]) Cho R nửa vành, P nửa môđun R, P gọi nửa môđun xạ ảnh với R-toàn cấu  : M → N R-đồng cấu  : P → N tồn R-đồng cấu  : P → M cho   = ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 1, 2022 Định nghĩa 2.5 ([3]) Một nửa môđun F nửa vành R gọi tự với tập sở I F =  Ri với iI Ri  RR , i  I Định nghĩa 2.6 ([3]) Một nửa môđun xạ ảnh P nửa vành R gọi nửa môđun xạ ảnh mạnh (hữu hạn sinh) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp nửa môđun tự (hữu hạn sinh) Mệnh đề 2.7 ([3, Lemma 4.3]) Cho P nửa môđun hữu hạn sinh nửa vành R Khi đó, P nửa môđun xạ ảnh (mạnh) tồn ma trận lũy đẳng (mạnh) A cấp n lấy hệ số R cho P đẳng cấu với A(Rn), A(Rn) nửa môđun Rn sinh vectơ cột ma trận A Định nghĩa 2.8 ([5]) Cho R nửa vành, E  M mm ( R), F  M nn ( R) ma trận lũy đẳng Ta nói E F tương đương với tồn ma trận A  M mn ( R), B  M nm ( R) , cho E = AB F = BA Ký hiệu: E  F Mệnh đề 2.9 ([5, Mệnh đề 2.7]) Cho P Q nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh nửa vành R, P sinh từ vectơ cột ma trận lũy đẳng E  M mm ( R) , Q sinh từ vectơ cột ma trận lũy đẳng F  M nn ( R ) Khi đó, P  Q  E  F Gọi V ( R ) lớp đẳng cấu nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh nửa vành R Khi đó, V(R) vị nhóm giao hốn với phép tốn cộng định nghĩa  P + Q =  P  Q ,  P , Q V ( R ) Do nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh P ứng với ma trận lũy đẳng n An cho P  A R , nên để thuận tiện cho việc trình ( ) bày chứng minh, ta xem V(R) vị nhóm lớp tương đương (theo quan hệ tương đương Định nghĩa 2.8) ma trận lũy đẳng nửa vành R, với phép toán cộng định nghĩa tương ứng là:  A    A +  B  =  A  B  =     ,   A ,  B   V ( R )  B   Tập lớp tương đương ma trận lũy đẳng mạnh (ứng với nửa môđun xạ ảnh mạnh hữu hạn sinh) ký hiệu SV ( R ) Khi đó, SV ( R ) vị nhóm vị nhóm V ( R ) Định nghĩa 2.10 ([5]) Cho A ma trận cấp m  n nửa vành R, hạng nhân tử A số nguyên không âm k bé cho tồn ma trận B  M m k ( R) , C  M k  n ( R ) A = BC Ký hiệu: f(A) Qui ước hạng nhân tử ma trận khơng Ma trận vuông An gọi ma trận đầy f ( An ) = n Mệnh đề 2.11 ([5, Mệnh đề 2.11]) Cho R nửa vành, E  M mm ( R), F  M nn ( R) ma trận lũy đẳng tương đương với Khi đó, f(E) = f(F) Định nghĩa 2.12 ([5]) Cho A ma trận tùy ý 57 nửa vành R, hạng nhân tử ổn định ma trận A (nếu có) ký hiệu f ( A) xác định f ( A) = lim  f ( A  I r ) − r  Trong đó, A  I r hiểu r → A 0 ma trận   , r   Ir  Ma trận vuông An gọi ổn định đầy f ( An ) = n Định nghĩa 2.13 ([3]) Nửa vành R gọi có IBN (invariant basis number) thỏa mãn điều kiện: R m  R n  m = n, m, n  + Định nghĩa 2.14 ([6]) Nửa vành R gọi có UGN (unbounded generating number) thỏa mãn điều kiện: Nếu tồn số nguyên dương m, n nửa môđun P cho R m  P  R n m  n Định nghĩa 2.15 ([6]) Nửa vành R gọi có SUGN (strongly unbounded generating number) thỏa mãn điều kiện: Nếu có ma trận Amn  M mn ( R ) , Bnm  M nm ( R ) cho AB = I m nm Nhận xét 2.16 Dễ dàng chứng minh rằng, nửa vành có SUGN có UGN (xem [6, Mệnh đề 3.3]) nửa vành có UGN có IBN Mọi nửa vành chia nửa vành nguyên phi khả đối, nửa vành nguyên phi khả đối có SUGN (xem [6, Định lý 3.8]) nên nửa vành chia có SUGN Mệnh đề 2.17 ([6, Định lý 3.6]) Các mệnh đề sau tương đương nửa vành R cho trước: i) R nửa vành có SUGN ii) Mọi ma trận khả nghịch nửa vành R ma trận đầy iii) f ( I m ) = m, m  * Kết nghiên cứu Trong mục này, tác giả chứng minh ma trận tự ổn định nửa vành có UGN có hạng (tự ổn định) khơng âm số tính chất đặc trưng hạng tự ổn định ma trận lũy đẳng lớp nửa vành cụ thể Trước hết, ta có định nghĩa sau phát biểu tương tự vành ngôn ngữ ma trận (xem [2]): Định nghĩa 3.1 Cho R nửa vành An  M n ( R ) ma trận lũy đẳng, ma trận An gọi tự ổn định tồn số nguyên không âm r , s cho An  I r  I s Khi đó, giá trị s − r gọi hạng tự ổn định ma trận lũy đẳng An (hay gọi tắt hạng A ) ký hiệu rank ( A) Nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh P nửa vành R gọi nửa môđun tự ổn định tồn ma trận tự n ổn định An cho P  A R ( ) 58 Hà Chí Cơng Ví dụ 3.2 Xét nửa vành số thực khơng âm  ta có ma trận A =   mãn: 2 2 + ,   ma trận trận lũy đẳng thỏa  2 Ngược lại, tồn số nguyên dương m, n nửa mô đun P cho P  R m  R n , gọi Ak ma trận lũy 2 ( ) đẳng cho A R k  P Khi đó, A  I m  I n suy A ma trận tự ổn định, suy rank ( A) = n − m   n  m hay R nửa vành có UGN  12  0 1 1 0 1  0  =  , 1 01 0 0 1   An  I r  I s  A ( R n )  R r  R s suy r  s (do R có UGN) suy rank ( A) = s − r  0 0      0 1 0 = 0    0 1 1 01 0     2 Do R có UGN nên R nửa vành IBN suy Mặt khác, rank ( A) = s − r suy A  I1  I hay A ma trận tự ổn định rank ( A) = Các kết sau cho ta lớp nửa vành mà Định nghĩa 3.1 tồn tính hạng ma trận tự ổn định Trước hết, nhắc lại rằng, nửa vành xạ ảnh tự nửa vành mà nửa môđun xạ ảnh tự Một số lớp nửa vành xạ ảnh tự xem xét [7] [8], ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.3 Mọi ma trận lũy đẳng nửa vành xạ ảnh tự tự ổn định Chứng minh Giả sử R nửa vành xạ ảnh tự An  M n ( R ) ( ) tự A ( R )  R hay n ma trận lũy đẳng R Khi đó, nửa môđun A R do, suy tồn số nguyên k cho n k An  I k Vậy An ma trận tự ổn định Mệnh đề 3.4 Nếu R nửa vành IBN ma trận tự ổn định có hạng Chứng minh Giả sử An  M n ( R ) ma trận tự ổn định Khi đó, Dưới số đặc trưng thú vị hạng tự ổn định ma trận lớp nửa vành có UGN Mệnh đề 3.7 Cho An , Bm ma trận tự ổn định nửa vành R có UGN Khi đó, i) Nếu A  B rank ( A) = rank ( B ) ii) A  B ma trận tự ổn định rank ( A  B ) = rank ( A) + rank ( B ) Chứng minh Do A, B ma trận tự ổn định nên tồn số nguyên không âm r , s, p, q cho  A  I r  I s   B  I q  I p (1)   A  Ir +q  Is+q i) Từ (1) suy   B  Ir +q  I p+r Do A  B nên A  I r +q  B  I r +q suy I s + q  I p + r Do R có UGN nên R nửa vành IBN suy s + q = p + r  p − q = s − r hay rank ( A) = rank ( B ) ii) Từ (1) suy tồn số nguyên không âm r , s cho An  I r  I s A  B  Ir +q  ( A  Ir )  ( B  Iq )  I s  I p = I s+ p rank ( A) = t tồn số ngun khơng âm q cho suy A  B ma trận tự ổn định rank ( A  B ) = p + s − ( r + q ) = ( p − q ) + ( s − r ) suy suy rank ( A) = s − r Nếu tồn số nguyên t mà An  I q  I q +t Ta có An  I r  I q  I s  I q = I s +q rank ( A  B ) = rank ( A) + rank ( B ) An  Iq  Ir  I q +t  Ir = I q +t +r suy I s +q  I q +t +r hay Định nghĩa 3.8 Cho R nửa vành có UGN, gọi SFV ( R ) tập lớp tương đương ma trận tự ổn Do R nửa vành IBN nên R R s + q = q + t + r  s = t + r  t = s − r Vậy hạng tự ổn định ma trận An □ s+q q +t + r Nhận xét 3.5 Trên nửa vành IBN hạng tự ổn định ma trận đơn vị ln cấp Định lý 3.6 Nếu R nửa vành có UGN ma trận tự ổn định An R có hạng khơng âm Ngược lại, ma trận tự ổn định nửa vành R có hạng khơng âm R có UGN Chứng minh Giả sử An  M n ( R ) ma trận tự ổn định Khi đó, tồn số nguyên không âm r , s cho An  I r  I s định nửa vành R với quan hệ tương đương xác định Định nghĩa 2.8 Nhận xét 3.9 Cho R nửa vành có UGN, dễ thấy ma trận tự ổn định ma trận lũy đẳng mạnh, ma trận đơn vị ma trận tự ổn định nên ta có ( )  SFV ( R )  SV ( R )  V ( R ) Mặt khác, [3, Example 4.7], nửa môđun nửa môđun tự nửa vành Boolean nửa môđun xạ ảnh nửa môđun xạ ảnh mạnh Điều chứng tỏ, nửa vành Boolean tồn ma trận lũy đẳng ma trận lũy đẳng mạnh, đó, khơng phải ma trận tự ổn định Vì vậy, SFV ( R ) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 1, 2022 59 vị nhóm vị nhóm giao hốn V ( R ) nói chung A  I r  I k0 − r  I s  I k0 − r hay A  I k0  I s + k0 − r suy không V ( R ) Kết sau cho ta trường hợp mà s + k0 − r = f I s + k0 − r = f A  I k0 = m + k0 SFV ( R ) V ( R ) Mệnh đề 3.10 Cho An ma trận lũy đẳng nửa vành chia R Khi đó, mệnh đề sau tương đương: i) Tồn số nguyên k không âm cho An  I k ii) An ma trận lũy đẳng mạnh ) ( ) suy Chứng minh i )  ii ) : Hiển nhiên ii)  iii) : Do An ma trận lũy đẳng mạnh nên nửa môđun A R n nửa môđun xạ ảnh mạnh hữu hạn sinh Theo ( ) [3, Theorem 4.5], R nửa vành chia nên A R n nửa môđun tự do, suy tồn số nguyên m không âm cho A ( R n )  R m hay An  I m suy An ma trận tự ổn định m = s − r hay f ( A) = rank ( A ) Trường hợp dấu xảy bất đẳng thức Mệnh đề 3.11 xem xét lớp nửa vành hẹp lớp nửa vành có SUGN Trước hết, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.12 Cho R nửa vành thỏa mãn điều kiện: Với ma trận vuông A, B  M n ( R ) , AB = I n Chứng minh Giả sử R khơng phải nửa vành có SUGN, đó, tồn ma trận A  M mn ( R ) , B  M nm ( R ) cho AB = I m n  m  An1n  Đặt A =   , B = Bn1n  A( m − n )n    ( Bn2( m − n ) ) ta có  A1  AB =   ( B1 A   A1 B1 B2 ) =  A B A1 B   I n = A2 B   0   I m−n  iii )  i ) : Do An ma trận tự ổn định nên An ma trận lũy đẳng mạnh Theo chứng minh trên, tồn số nguyên k không âm cho An  I k Giả sử tồn số suy A1B1 = I n , A1B2 = 0, A2 B1 = 0, A2 B2 = I m−n nguyên m cho An  I m Khi đó, I k  I m suy Do Rk  Rm Do R nửa vành chia nên R có IBN, suy m=k A1 B1 = I n nên B1 A1 = I n suy = A1 = A2 B1 A1 = A2 I n = A2 suy I m−n = A2 B2 = 0B2 = (vô lý) Tiếp theo, tác giả tiến hành so sánh hạng nhân tử hạng tự ổn định ma trận lớp nửa vành rộng khảo sát [6], lớp nửa vành có SUGN Mệnh đề 3.11 Cho R nửa vành có SUGN A ma trận tự ổn định R Khi đó, A có hạng  rank ( A) = f ( A)  f ( A) Chứng minh Do R có SUGN nên R có UGN, suy ma trận A có hạng khơng âm Giả sử rank ( A) = s − r  với r , s số nguyên không âm cho A  I r  I s , theo Mệnh đề 2.17 ta có: s = f ( I s ) = f ( A  I r )  f ( A) + f ( I r ) = f ( A ) + r suy f ( A)  s − r = rank ( A) Do R có SUGN nên theo [5, Định lý 3.2], ma trận A có hạng nhân tử ổn định không âm, giả sử f ( A ) = m Khi đó, lim  f ( A  I k ) − k  = m  f ( A  I ) − k Do k0  + k → Vậy R nửa vành có SUGN Bổ đề 3.13 Cho An ma trận lũy đẳng nửa vành R Khi đó, f ( A) = k tồn ma trận lũy đẳng đầy Bk  M k ( R ) cho An  Bk Chứng minh Nếu f ( A) = k E  M nk ( R ) , F  M k n ( R ) tồn cho ma A = EF trận Đặt Bk = FAE Ta có B = ( FAE )( FAE ) = FAAAE , A ma trận lũy đẳng nên A3 = A suy B2 = FAE = B hay B ma trận lũy đẳng Mặt khác,   A = A = A ( EF ) A = ( AE )( FA )    B = FAE = FAAE = ( FA)( AE ) suy An  Bk k dãy số nguyên nên tồn Theo Mệnh đề 2.11 ta có k = f ( An ) = f ( Bk ) Vậy Bk cho f ( A  I k ) − k = m, k  k0 suy ma trận lũy đẳng đầy Bk  An Ngược lại, tồn f ( A  I k ) = k + m, k  k0 Ta có trường hợp sau: - Nếu r  k0 s = f ( I s ) = f ( A  I r ) = m + r suy f ( A) = m = s − r = rank ( A) - BA = I n Khi đó, R có SUGN iii) An ma trận tự ổn định ( ) ( Nếu r k0 từ A  Ir  Is suy ma trận lũy đẳng đầy Bk  M k ( R ) cho An  Bk f ( A) = f ( Bk ) = k Từ Mệnh đề 3.11, Mệnh đề 3.12 Bổ đề 3.13, ta thu hệ sau điều kiện cần đủ để nửa môđun tự ổn định tự 60 Hà Chí Công Hệ 3.14 Cho R nửa vành thỏa mãn điều kiện: Với ma trận vuông E, F  M n ( R ) , EF = I n Nhận xét 3.16 Nếu R nửa vành thỏa mãn điều kiện: Với ma trận vuông E, F  M n ( R ) , EF = I n FE = I n Giả sử A ma trận tự ổn định R Khi FE = I n Khi đó, ma trận tự ổn định khác khơng đó, rank ( A) = f ( A) tồn số có hạng dương Thật vậy, giả sử Am  M m ( R ) ma nguyên k không âm cho A  I k trận tự ổn định Theo Mệnh đề 3.11, rank ( A) = f ( A)  Mặt khác, theo [5, Mệnh đề 3.9] ta Chứng minh Nếu tồn số nguyên k không âm cho A  I k rank ( A) = k Theo Mệnh đề 2.11 Mệnh đề 2.17, R có SUGN suy f ( A) = f ( I k ) = k = rank ( A) Ngược lại, f ( A) = rank ( A) = t t  tồn số nguyên r không âm cho A  I r  I r + t (2) Mặt khác, f ( A) = t nên theo Bổ đề 3.13, tồn ma trận lũy đẳng đầy Bt  M t ( R ) cho A  Bt (3) Từ (2) (3) suy Bt  I r  I r + t Khi đó, tồn ma trận vuông E, F  M r + t ( R ) cho Bt  I r = EF ; I r + t = FE Theo giả thiết, FE = I r + t suy EF = I r + t suy Bt  I r = I r + t suy Bt = I t Vậy A  I t Giả sử tồn số nguyên không âm q cho A  I q , suy It  I q hay Rt  Rq Do R nửa vành có SUGN nên R nửa vành IBN suy t = q □ Hệ 3.15 Cho R nửa vành thỏa mãn điều kiện: Với ma trận vuông E, F  M n ( R ) , EF = I n FE = I n Giả sử An ma trận tự ổn định R Khi đó, An ma trận ổn định đầy An = I n Chứng minh Nếu An = I n f ( An ) = rank ( An ) = rank ( I n ) = n suy An ma trận ổn định đầy Ngược lại, giả sử An ma trận ổn định đầy, theo Mệnh đề 3.11 ta có n = f ( A) = rank ( A)  f ( A)  n suy f ( A) = f ( A) = rank ( A) = n Áp dụng Hệ 3.14 ta An  I n , suy tồn ma trận vuông E, F  M n ( R ) cho An = EF ; I n = FE Theo giả thiết, EF = I n suy An = I n □ có f ( A )  , suy rank ( A)  Kết luận Bài báo đạt số kết sau đây: + Chỉ lớp nửa vành mà ma trận tự ổn định có hạng khơng âm qua Định lý 3.6 lớp nửa vành mà vị nhóm SFV ( R ) , SV ( R ) V ( R ) trùng + Đưa kết so sánh hạn tự ổn định hạng nhân tử ma trận lũy đẳng lớp nửa vành rộng (nửa vành có SUGN) qua Mệnh đề 3.11, từ đó, điều kiện cần đủ để nửa môđun tự ổn định tự lớp nửa vành đặc biệt thể Hệ 3.14 + Mô tả số tính chất đặc trưng ma trận tự ổn định qua Mệnh đề 3.7, Hệ 3.15 Nhận xét 3.16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P M Cohn, Free ideal rings and localization in general rings Cambridge university press, 2006 [2] O Lezama and C Gallego, “Matrix approach to noncommutative stably free modules and Hermite rings”, Algebr Discret Math., vol 18, no 1, pp 109–137, 2014 [3] Y Katsov, T G Nam, and J Zumbrägel, “On congruencesemisimple semirings and the K0-group characterization of ultramatricial algebras over semifields”, J Algebr., vol 508, no February, pp 157–195, 2018 [4] J S Golan, Semirings and their Applications Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999 [5] H C Công, “Hạng nhân tử ổn định ma trận nửa vành”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - Đại học Đà Nẵng, vol 19, no 5, pp 53–57, 2021 [6] H C Cơng, “Về nửa vành có số phần tử sinh khơng bị chặn mạnh”, Tạp chí khoa học Tài Kế toán, vol 21, pp 89–94, 2021 [7] A Patchkoria, “Projective semimodules over semirings with valuations in nonnegative integers”, Semigr Forum, vol 79, no 3, pp 451–460, 2009 [8] S N Il’in and Y Katsov, “On Serre’s Problem on Projective Semimodules over Polynomial Semirings”, Commun Algebr., vol 42, no 9, pp 4021–4032, 2014

Ngày đăng: 02/03/2023, 07:18

w